Stetige Konvergenz

Zusammenfassung

Das einfachste und bequemste Mittel, um analytische Funktionen im einzelnen zu studieren, besteht darin, sie als Grenzen konvergenter Folgen von Polynomen oder rationalen Funktionen herzustellen. Gewöhnlich wird aber durch solche Prozesse die betrachtete Funktion nur in einem Teil des Gebietes, in welchem sie existiert, dargestellt, was man schon an den einfachsten Beispielen erkennen kann. Setzt man zum Beispiel

$$w = {f_n}(z) = {z^n}(n = 1,2,...),$$

((174.1))

so konvergiert die Zahlenfolge f ₁(z), f ₂(z), ... gegen Null für |z| < 1, gegen Unendlich für |z| > 1 und gegen Eins für z = 1. Dagegen divergiert die Folge, falls z unimodular und von Eins verschieden ist.