Die wesentlich singulären Stellen und die Picardschen Sätze

Zusammenfassung

Unter Ziffer 166, Bd. 1, S. 162f., wurde der Weierstraßsche Satz in beträchtlicher Weise erweitert. Es wurde dort gezeigt, daß die Funktionswerte, welche in einer Umgebung einer wesentlich singulären Stelle unendlich oft angenommen werden, überall dicht auf der Riemannschen Kugel liegen. E. Picard (1856–1941) hat im Jahre 1879 das aufsehenerregende Resultat erhalten, wonach diese Stellen nicht nur überall dicht liegen, sondern die ganze Kugel bis auf höchstens zwei Ausnahmepunkte ausfüllen. Schon bei der Exponentialfunktion e ^z, die im Punkte z = ∞ eine wesentlich singuläre Stelle besitzt, treten zwei Ausnahmewerte auf, nämlich 0 und oo. Dieses merkwürdige Resultat hängt damit zusammen, daß die Riemannsche Fläche des Logarithmus (Ziffer 249, Bd. 1, S. 249f.) auf die ganze Gaußsche Ebene konform abgebildet werden kann, während die Riemannsche Fläche der Modulfunktion, deren (logarithmische) Windungspunkte über drei Grundpunkten liegen, schon auf das Innere eines Kreises oder einer Halbebene abgebildet wird. Den bequemsten Zugang zu diesem ganzen Fragenkomplex bildet folgender Satz von E. Landau (1877–1938), der erst 1904 entdeckt wurde und dem wir uns jetzt zuwenden.