Nachtrag zu der Abhandlung über die Entwicklung des Produktes $\prod\limits_{}^n {\left( x \right)} = 1\left( {1 + x} \right)\left( {1 + 2x} \right) \ldots \left[ {1 + \left( {n - 1} \right)x} \right]$ nach den steigenden Potenzen von x

Zusammenfassung

Die frühere Abhandlung über diesen Gegenstand stellte den Koeffizienten ${\mathop A\limits^n _i}$ von x ⁱ als eine nach Binomialkoeffizienten geordnete ganze und rationale Funktion von n dar, die als sechsfache Summe erschien und in ihren letzten Entwicklungen die transzendenten Funktionen ${\mathop S\limits^i _n},{\mathop T\limits^i _n}$ enthielt, welche für ein ganzes positives Argument n gewissen Summen kombinatorischer aus den natürlichen Brüchen 1/1, 1/2, 1/3, …, 1/n usw. gebildeter Produkte der i-ten Klasse gleich sind. Jene Funktion ${\mathop S\limits^i _n}$ nämlich ist der Koeffizient von x ⁱ in der Entwicklung von $\left( {1 + \frac{x}{1}} \right)\left( {1 + \frac{x}{2}} \right)\left( {1 + \frac{x}{3}} \right) \ldots \left( {1 + \frac{x}{n}} \right)$ und daher gleich $\frac{1}{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots n}}{\mathop A\limits^{n + 1} _{n - i}}$, mit andern Worten, sie ist die Summe der aus den Elementen 1/1, 1/2, 1/3, …, 1/n ohne Wiederholung zur i-ten Klasse gebildeten Produkte, während die rationale Funktion ${\mathop A\limits^{n + 1} _i}$ auf dieselbe Weise aus den Elementen 1, 2, 3, …, n gebildet ist. Die andere Funktion ${\mathop A\limits^i _n}$ befolgt ein minder einfaches Gesetz; sie ist die Summe aller kombinatorischen Produkte, welche aus den Elementen 1/2, 1/3, 1/4, …, 1/(n+i−1), 1/(n+i) gebildet und der Bedingung unterworfen sind, daß in jedem Produkt keiner seiner Faktoren seinen Nenner um eine die Einheit übersteigende Zahl größer haben darf, als der ihm unmittelbar vorangehende Faktor. Für die ersten Ordnungen ist z. B.