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Über den Ort der Mittelpunkte größter und kleinster Krümmung beim Ellipsoid, die kürzeste Kurve auf demselben und verwandte Gegenstände

  • Ludwig Schläfli
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Zusammenfassung

Flächen zweiten Grades, welche den Mittelpunkt und die Brennpunkte ihrer Hauptschnitte gemein haben, heißen konfokale Flächen. Die drei Unterschiede der Quadrate ihrer homologen Halbachsen sind alle einander gleich. Man wird daher ein System konfokaler Flächen erhalten, wenn man, bei einem gegebenen Ellipsoid (I) anfangend, die Quadrate seiner Halbachsen gleichmäßig abnehmen läßt. Das Quadrat der kleinsten Halbachse wird bei diesem Verlauf zuerst auf den Nullwert herabsinken, und somit wird die konfokale Fläche in die Ebene des ersten Hauptschnitts degenerieren. Hierauf bekommt das Quadrat der kleinsten Halbachse einen negativen Wert, und die konfokale Fläche wird ein Hyperboloid mit einem Mantel (II). Sodann erreicht das Quadrat der mittleren Halbachse den Nullwert, und die konfokale Fläche degeneriert in die Ebene des zweiten Hauptschnitts, um, wenn auch dieses Quadrat negativ geworden sein wird, in ein Hyperboloid mit zwei Mänteln überzugehen (III). Endlich erreicht auch das Quadrat der größten Halbachse den Nullwert, und die konfokale Fläche degeneriert in die Ebene des dritten Hauptschnitts. Bei weiterer Abnahme der Quadrate der Halbachsen hört sie auf, reelle Punkte zu haben (IV).

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© Springer Basel AG 1950

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  • Ludwig Schläfli

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