Über die Begründung der Theorie der elliptischen Funktionen durch die Betrachtung unendlicher Doppelprodukte

Zusammenfassung

Bekanntlich werden die elliptischen Funktionen sinam x, cosam x, Δam x unendlich groß oder verschwinden der Reihe nach, wenn der Wert des Arguments x, respektive die Formen

$$\begin{gathered} 2mK + \left( {2n + 1} \right)K'\sqrt { - 1} ,2mK + 2nK'\sqrt { - 1} , \hfill \\ \left( {2m + 1} \right)K + 2nK'\sqrt { - 1} ,\left( {2m + 1} \right)K + \left( {2n + 1} \right)K'\sqrt { - 1} \hfill \\ \end{gathered} $$

annimmt, wo m, n beliebige ganze Zahlen und K, K′ die den beiden komplementären Moduln k, k′ entsprechenden vollständigen elliptischen Integrale der ersten Art bezeichnen. Sie sind also gleichsam als Brüche anzusehen, deren Zähler samt dem gemeinschaftlichen Nenner ganze Funktionen von unendlich hohem Grad sind, deren lineare Faktoren die Form

$$x + mK + nK'\sqrt { - 1} .$$

haben. Von dieser Beschaffenheit sind nun die von Jacobi in seinen Fundamentis Novis mit H und Θ bezeichneten Funktionen. Während aber in diesem vortrefflichen Buche die gebrochenen oder eigentlichen elliptischen Funktionen, wie sinam x, den Ausgangspunkt bilden, von dem aus durch eine wunderbare Verkettung von Transformationen zuletzt zur Theorie der ganzen elliptischen Funktionen, wie Θ x, gelangt wird, so treten andererseits die Eigenschaften der elliptischen Funktionen überhaupt nicht minder in ein helles Licht, wenn man von den ganzen elliptischen Funktionen Θ x, oder, was dasselbe ist, von unendlichen Doppelprodukten ausgeht. Diesen Weg hat Cayley ¹) eingeschlagen, und Eisenstein ²) hat das Wesen der fraglichen Doppelprodukte einer sehr genauen Untersuchung unterworfen. Wenn man in möglichster Kürze die bekannten Sätze über die elliptischen Funktionen beweisen will, so scheint mir der genannte umgekehrte Weg diesen Zweck am besten zu erreichen, besonders wenn man die daraus entstehende Schwierigkeit, daß ein und dasselbe Doppelprodukt je nach der Anordnung seiner Faktoren verschiedene Werte darbietet, durch geometrische Hilfsvorstellungen erleichtert.