Réduction d’une intégrale multiple, qui comprend l’arc de cercle et l’aire du triangle sphérique comme cas particuliers

Résumé

On a réduit depuis longtemps l’intégrale multiple

$\int {{}^{^n}dx\;dy\;dz\;...,\quad \quad \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + \cdot \cdot \cdot < 1} \right)} $

c’est-à-dire l’intégrale $\int {{}^{^n}dx\;dy\;dz\;...}$ prise pour toutes les valeurs positives ou négatives de x, y, z,... remplissant la condition

$${x^2} + {y^2} + {z^2} + \cdot \cdot \cdot < 1$$

, à l’expression $\frac{{{\pi ^{n/2}}}} {{\Gamma \left( {\frac{n} {2} + 1} \right)}}$ qui, pour n = 2, représente l’aire du cercle, et, pour n = 3, le volume de la sphère de rayon 1. Mais si l’on demande que l’intégrale proposée représente, pour n = 2, un secteur de cercle, ou, pour n = 3, une pyramide sphérique triangulaire, il faut ajouter encore des limites linéaires et homogènes par rapport à toutes les variables, comme ax + b y +...> 0; et l’on a besoin au moins de n inégalités partielles, si l’on veut que la formule proposée ne se réduise pas dès le premier abord à un nombre moindre d’intégrations. Lorsque, au contraire, le nombre des polynômes-limites linéaires surpasse n, on peut toujours partager l’intégrale multiple en plusieurs autres, où ce nombre est précisément n. C’est donc le cas de n limites linéaires qui excite surtout notre attention; et comme il ne m’est pas connu que l’on ait déjà traité cette intégrale ainsi limitée, j’en signalerai quelques propriétés remarquables dans ce mémoire.