Zusammenfassung
Die in Nr. 91 von Bd. I hergeleitete Bernoulli-L’Hospitalsche Regel zur Behebung der «Unbestimmtheit» 0/0 lässt sich auch übertragen auf die Untersuchung der Grenzwerte Lim f(x)/g(x), falls beim betrachteten stetigen Grenzübergang f(x) und g(x) ins Unendliche streben, wenn also der Quotient f(x)/g(x) gewissermassen «in der Grenze» die Gestalt ∞/∞ annimmt. Auch hier kann man die Bestimmung von Lim f(x)/g(x) zurückführen auf die Bestimmung von Lim f′(x)/g′(x). Es ist sehr bemerkenswert, dass die so entstehende Regel auch dann richtig bleibt, wenn nur der Nenner ins Unendliche strebt, über die Existenz von Lim f(x) dagegen nichts vorausgesetzt wird.
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Literatur
Man beachte, dass bei dieser und allen ähnlichen Relationen stets vorausgesetzt wird, dass die Addition wirklich möglich ist, d. h. dass die zu addierenden Funktionen den gleichen oder wenigstens einen gemeinsamen Definitionsbereich haben. Im Falle, dass der Durchschnitt der Definitionsbereiche der zu addierenden Funktionen sich nicht mit diesen Definitionsbereichen deckt, hat man dann diese Definitionsbereiche durch ihren Durchschnitt zu ersetzen. Diese Einschränkung wird bei allen derartigen Betrachtungen stillschweigend gemacht und nur dann besonders hervorgehoben, wenn es sich um spezielle Felder und spezielle Operatoren handelt.
In verschiedenen Schriften über die angewandte Mathematik wird neben dem Differentiationsoperator D als seine «Umkehrung» der Integrationsoperator eingeführt und mit dem Symbol D -1 bezeichnet. Dies ist indessen in einer streng logischen Entwicklung unzulässig; denn mit dieser Bezeichnung wird impliziert, dass D -1 mit D v für jedes positive v vertauschbar ist. Hingegen ist die Auffassung der Integration als D -1 ein heuristisches Mittel, das gelegentlich gestattet, wertvolle Ergebnisse zu erraten, die aber dann natürlich erst durch einen strengen Beweis zu erhärten sind. Das Rechnen mit Operatoren, wie es hier dargestellt wurde, ist einigermassen systematisch, wenn auch nicht genügend streng von Lagrange und Laplace in der Differenzenrechnung verwendet worden. Die Methode wurde seitdem etwa ein Jahrhundert lang besonders in England gepflegt, während auf dem europäischen Kontinent man sie nur sehr zögernd benutzte. Seit dem Beginn des 20. Jahrhunderts hat sich indessen diese Methode als besonders wichtig für viele Probleme der Physik und der Technik herausgestellt, so dass sich heute ein Mathematiker mit den einfachsten Begriffen des Operatorenrechnens möglichst früh vertraut machen sollte.
Nach T. J. Stieltjes (1856–1894).
Es gilt nach einem sehr bemerkenswerten Satz von F. Riess auch die Umkehrung hiervon : Jedes im Feld aller in 〈α, β) stetiger Funktionen f(x) distributive und beschränkte Funktional lässt sich in der Form des Stieltjesintegrals (56,3) mit einer geeigneten Funktion g(x) von beschränkter Schwankung darstellen. Doch würde der Beweis dieses Satzes hier zu weit führen.
Man beachte, dass die Vorzeichen der in der obigen Betrachtung vorkommenden Winkel noch nicht eindeutig festgelegt werden können, solange geeignete Festsetzungen über den Umlaufsinn im Raume nicht getroffen sind. Indessen schadet diese Vorzeichenunbestimmtheit hier und in anderen analogen Fragen nicht, wenn in die Rechnungen nur die Kosinusse dieser Winkel eingehen.
Die Bezeichnung Vektor wird auch für eine gerichtete Strecke benutzt und ist in diesem Sinne bereits in Nr. 60 verwendet worden. Eine gerichtete Strecke ist ein geometrisches Gebilde, das gänzlich unabhängig von dem etwa benutzten Koordinatensystem ist. Wird ein festes Achsenkreuz zügrunde gelegt, so bildet das System der Komponenten der gerichteten Strecke in bezug auf dieses Achsenkreuz einen 2- oder 3-dimensionalen Vektor im soeben definierten Sinne. Es ist natürlich wesentlich, die beiden Bedeutungen des Terminus Vektor auseinanderzuhalten, doch ist es in der Regel aus dem Zusammenhang klar, welche gerade gemeint ist. Sonst könnte man etwa bei einer gerichteten Strecke von einem «geometrischen Vektor» und bei einem Vektor im soeben definierten Sinn von einem «algebraischen Vektor» sprechen. Es sei noch hinzugefügt, dass bei einer vertieften Behandlung der linearen Algebra und der sogenannten Tensorenrechnung auch Matrizen und Vektoren jeder Dimension als «geometrisch invariante», koordinatenunabhängige Begriffe aufgefasst werden können.
Es werden in der Matrizentheorie auch zahlreiche anders definierte Normen verwendet. Dann wird die Norm (64,11) zum Unterschied von anderen Matrizennormen als die Spanne von A bezeichnet, eine auf Georg Frobenius (1849–1917) zurückgehende Bezeichnung.
Es ist von Donkin (1854) eingeführt worden.
Aus Nr. 71 folgt leicht, dass es genügt, die Stetigkeit der ersten Ableitungen im betreffenden Punkte allein vorauszusetzen.
Die Formulierungen und Beweise dieses Abschnitts lassen sich leicht auf Funktionen von mehr als zwei Variablen übertragen, was dem Leser als Aufgabe überlassen sei.
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Ostroski, A. (1961). Ergänzungen zur Differentialrechnung. In: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften, vol 5 . Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4100-9_4
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