Zusammenfassung
Ist M irgendeine beliebige Menge und ist jedem Element E von M auf irgendwelche Weise eindeutig eine Zahl zugeordnet, so ist damit, wie man sagt, eine Funktion auf M definiert. Eine solche Funktion wird man im allgemeinen mit f(E), g(E) usw. bezeichnen. Wir setzen hierbei voraus, dass jedes Element von M in M nur einfach vorkommt, und dasselbe soll für das ganze Kapitel II gelten.
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Literatur
Selbstverständlich ist der Bolzanosche Zwischenwertsatz prinzipiell einfacher als der Darbouxsche ,da in ihm die Begriffe der Ableitung und des Integrals gar nicht vorkommen; und er lässt sich in der Tat «elementar» beweisen, ohne von Ableitungen und Integralen Gebrauch zu machen. Da wir aber den Darbouxschen Zwischenwertsatz ohnehin brauchen, wird die ganze Darstellung kürzer, wenn man auf die «selbständige» Herleitung des Bolzanoschen Zwischenwertsatzes verzichtet.
Nach dem Beweis dieses Satzes ist klar, dass er auch dann richtig bleibt, wenn man den Begriff der zusammenhängenden Menge etwas weiter fasst als in Nr. 12, indem man eine Punktmenge M dann als zusammenhängend bezeichnet, wenn zwei beliebige ihrer Punkte sich durch eine ganz in M liegende stetige Kurve verbinden lassen. Doch ist die in Nr. 12 gegebene Definition aus andern Gründen im Rahmen dieses Buches angemessener.
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Ostroski, A. (1961). Funktionen auf Mengen. In: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften, vol 5 . Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4100-9_2
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