Zusammenfassung
Wir sagen, eine im Punkte x 0 und in einer Umgebung von x 0 definierte Funktion wächst beim Durchgang durch x 0 (geht wachsend durch x 0 ), wenn ihre Werte für benachbarte x unterhalb x 0 kleiner als f(x 0) und für benachbarte x oberhalb x 0 grösser als f(x 0) sind; m. a. W., wenn für alle hinreichend kleinen positiven h:
gilt.
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Referenzen
Wir erinnern an die Definition der Monotonie in der Nr. 35, p. 88.
Pierre de Fermat (1601–1665).
Cauchy, 1821.
Zuerst veröffentlicht von Marquis de L’Hospital (Guillaume François Marquis de L’Hospital, 1661–1704) in seiner „Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes“, 1696, dem ersten Lehrbuch der Differentialrechnung, das wegen seiner leicht fasslichen Darstellung grosse Verbreitung gefunden hat. Doch geht die obige Regel auf Johann Bernoulli zurück.
Diese Formel bleibt auch für n = 0 richtig, wenn man 0! als gleich 1 definiert. Dann bleibt insbesondere die Formel (n + 1)! = (n + 1) n! auch für n = 0 richtig.
Unter einer Differentialgleichung versteht man eine Relation zwischen Funktionen, ihren Ableitungen und den Argumenten.
Diese Entwicklung ist zuerst 1668 von Mercator entdeckt worden. Auf Mercator geht überhaupt die Benutzung unendlicher Reihen in der Analysis zurück.
Die entsprechende unendliche Reihe ist dem Wesen der Sache nach von Gregory (James Gregory, 1638–1675) 1668 und in voller Ausführlichkeit durch E. Halley 1695 aufgestellt worden.
Diese Entwicklung ist 1671 von J. Gregory aufgestellt worden.
Von Leibniz ohne Kenntnis der Formel (98,4) aufgestellt in einer anscheinend 1674 an Huygens übersandten Schrift; doch ist diese Entwicklung natürlich in der 1671 entdeckten Formel (98,4) von Gregory enthalten.
Diese zuerst von Lhuilier 1786 als Taylorsche Reihe bezeichnete Formel findet sich in B. Taylors 1715 erschienenen Werke: Methodus incrementorum directa et inversa. Taylor gelangt zu ihr durch einen Grenzübergang aus einer entsprechenden Formel der sogenannten Differenze nrechnung.
Colin Maclaurin (1698–1746).
Diese Entwicklung ist zuerst 1668 von Mercator entdeckt worden. Auf Mercator geht überhaupt die Benutzung unendlicher Reihen in der Analysis zurück.
Die entsprechende unendliche Reihe ist dem Wesen der Sache nach von Gregory (James Gregory, 1638–1675) 1668 und in voller Ausführlichkeit durch E. Halley 1695 aufgestellt worden.
Diese Entwicklung ist 1671 von J. Gregory aufgestellt worden.
Von Leibniz ohne Kenntnis der Formel (98,4) aufgestellt in einer anscheinend 1674 an Huygens übersandten Schrift; doch ist diese Entwicklung natürlich in der 1671 entdeckten Formel (98,4) von Gregory enthalten.
Diese zuerst von Lhuilier 1786 als Taylorsche Reihe bezeichnete Formel findet sich in B. Taylors 1715 erschienenen Werke: Methodus incrementorum directa et inversa. Taylor gelangt zu ihr durch einen Grenzübergang aus einer entsprechenden Formel der sogenannten Differenze nrechnung.
Colin Maclaurin (1698–1746).
Diese Potenzreihe dürfte um 1669 durch eine, allerdings erst im nächsten Jahrhundert durch den Druck veröffentlichte Schrift von Newton in Gelehrtenkreisen bekannt geworden sein. Newton kam auf diese Potenzreihe, indem er direkt die Umkehrung der Potenzreihe für lg x herausreehnete.
Auch die Reihenentwicklungen (102,6) und (102,7) von sin x und cos x rühren von Newton her und waren ihm bereits vor 1669 bekannt.
Die Irrationalität von e wurde zuerst von Lambert 1767 bewiesen, mit Hilfe einer Kettenbruchentwicklung. Der obige elementare Beweis rührt im wesentlichen von J.B. Fourier her.
Von dem Zusammenhang zwischen den trigonometrischen und Exponential-Funktionen findet sich die erste Spur bei Johann Bernoulli, der bei einer Integration durch Partialbruczerlegung komplexe Zahlen benutzt und damit implizite den Übergang vom arctg zum lg einer imaginären Grösse leistet. Die Formel (103,1) findet sich in logarithmischer Form wohl zum erstenmal bei R. Cotes 1714 und 1722. Doch ist der gesamte Zusammenhang erst durch Euler seit 1740 klargelegt und 1748 vollständig dargestellt worden.
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Ostrowski, A. (1952). Erste Anwendungen der Differentialrechnung auf die Funktionen-Diskussion. In: Vorlesungen Über Differential- und Integralrechnung. Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften, vol 4 . Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4099-6_7
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4099-6_7
Publisher Name: Springer, Basel
Print ISBN: 978-3-0348-4028-6
Online ISBN: 978-3-0348-4099-6
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