Zusammenfassung
Eine der wichtigsten Methoden zur Berechnung der Integralfunktionen ist die sogenannte Umformung durch partielle Integration. Aus der Formel für die Produktableitung
folgt offenbar, dass die Summe einer beliebigen Stammfunktion von uv′ und einer beliebigen Stammfunktion von vu′ sich von uv nur um eine additive Konstante unterscheiden kann.
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Referenzen
Man sagt auch Produktintegration, Teilintegration, Integration nach Teilen, teilweise Integration.
Die Betrachtung von Exponentialfunktionen, bei denen also das Argument als Exponent auftritt, geht auf Leibniz 1679, 1695 zurück. Diese Untersuchungen wurden von Johann Bernoulli 1694, 1697 aufgenommen und dann namentlich von Euler weiterverfolgt.
Die ersten Logarithmen wurden von John Napier (auch Neper geschrieben) (1550–1617) im Jahre 1614 in Edinburgh veröffentlicht. Unabhängig hat Jost Bürgi (1552–1632) eine Logarithmentafel berechnet und 1620 veröffentlicht. Die Napierschen Logarithmen entsprechen angenähert der Basis (Math). Genauer ist die Basis der Napierschen Logarithmen (Math). Den Bürgischen Logarithmen entspricht die Basis (Math). Die Dezimallogarithmen wurden von Briggs 1624 veröffentlicht. Doch haben alle diese Autoren die Logarithmen keineswegs als Exponenten aufgefasst, sondern den Begriff des Logarithmus aus dem Vergleich geeigneter arithmetischer und geometrischer Reihen hergeleitet, wobei Napier allerdings zur Begründung der Überbrückung seiner Werte durch Interpolation eine mechanische Analogie herangezogen hat. Es ist schwer, mit Bestimmtheit zu sagen, wer den Begriff des natürlichen Logarithmus zum erstenmal klar formuliert hat. Zahlenwerte natürlicher Logarithmen kommen bereits bei John Speidell 1622, sowie in einem anonymen Appendix zu einer 1618 erschienenen Übersetzung einer Schrift von Napier vor. Doch die Benennung logarithmus naturalis wird wohl zuerst 1668 in einer bahnbrechenden Schrift von N. Mercalor (ca. 1620–1687) benutzt, in der die logarithmische Reihe im Prinzip aufgestellt und damit vielleicht auch zum erstenmal der Begriff des natürlichen Logarithmus klar herausgearbeitet wurde. Die übliche Schreibweise der gebrochenen und negativen Exponenten ist wohl erst durch Newton 1676 in Gebrauch gekommen. Wann die Exponentendefinition der Logarithmen aufkam, ist wiederum schwer zu sagen. Diese Definition wird indessen von Euler 1736 in seiner Mechanica sive motus scientia analytice exposita, t. I, Cap. II, Nr. 171 (p. 60 der opera omnia (2), Bd. lì bereits als eine Selbstverständlichkeit behandelt. 1668 benutzt N. Mercator zur Definition des Logarithmus den Flächeninhalt eines durch einen Hyperbelbogen und gewisse geradlinige Strecken begrenzten Flächenstücks, was auf die Definition (74,1) hinausläuft. R. Cotes (1682–1716) leitete 1714 die Logarithmusfunktion aus einer Funktionalgleichung her.
Die Formel (77,8) rührt von Euler, 1743, her.
Diese Formel findet sich wohl zuerst bei E. Halley (1656–1742), 1695, wenn auch ohne ausreichende Begründung.
Hyperbolische Funktionen wurden von V. Riccati 1757 eingeführt. Ihre Theorie wurde sodann 1768 von J. H. Lambert (1728–1777) weiterentwickelt, von dem auch die heute üblichen Bezeichnungen sinh x etc. stammen. Daneben sind auch gebräuchlich die Bezeichnungen Sin x (C. Gudermann), Sin x, Sh x und analog für andere hyperbolische Funktionen. Für die Umkehrungen hyperbolischer Funktionen schreibt man auch anstatt Ar sinh x z. B.: Arg sinh x. — Area (lat. Fläche) bei hyperbolischen Funktionen entspricht arcus (lat. Bogen) bei trigonometrischen Funktionen, da man das Argument hyperbolischer Funktionen als einen Flächeninhalt deuten kann. (Vgl. Aufgabe 67 zu diesem Paragraphen.)
Man vergleiche die Mitteilung des Verfassers: Mathematische Miszellen XIV. Über die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und verwandte Funktionalgleichungen. Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung, Bd. 38 (1929), pp. 54–62.
Diese Methode wurde, nach den ersten Ansätzen aus dem Jahre 1702 von Leibniz und Johann Bernoulli, vom letzteren 1719 vollständig durchgebildet.
Man findet einen Beweis dieses Satzes in jedem Lehrbuch der höheren Algebra.
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Ostrowski, A. (1952). Die Technik des Integrierens. In: Vorlesungen Über Differential- und Integralrechnung. Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften, vol 4 . Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4099-6_6
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