Zusammenfassung
Die in der Nr. 49 durchgerechneten Beispiele lassen erkennen, dass die direkte Berechnung des bestimmten Integrals als Grenzwert geeigneter Folgen von Zwischensummen nur in Ausnahmefällen ohne weiteres durchführbar ist und jedesmal sehr spezielle, auf den einzelnen Fall zugeschnittene Kunstgriffe erfordert. Eine allgemeine Methode zur Berechnung bestimmter Integrale lässt sich auf diesem Wege nicht aufbauen.
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Literatur
Joseph Louis Lagrange (1736–1813).
Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz (1946–1716) haben unabhängig voneinander die Infinitesimalrechnung entdeckt. Sie haben insbesondere als erste geeignete Symbole für den Begriff der Ableitung eingeführt, der allerdings im Prinzip schon seit langer Zeit bekannt gewesen war.
Zuerst veröffentlicht im Aufsatz von P. Du Bois-Reymond, Journ. f. d. r. u. a. Math. Bd. 79 (1875), p. 29. Übrigens ist man neuerdings darauf aufmerksam geworden, dass ein derartiges Beispiel lange Zeit vor Weierstrass durch Bolzano konstruiert worden war.
Michel Rolle (1652–1719). Es ist nicht ohne Interesse, festzustellen, dass, während Rolle einer der erbittertsten Gegner des «neuen Kalküls» der Infinitesimalrechnung war, der Rollesche Satz heute zur strengen Begründung der Infinitesimalrechnung ganz wesentlich ist.
Übrigens lässt sich unschwer beweisen, dass auch im Mittelwertsatz der Integralrechnung und sogar in der Fassung (53,1) ξ sich so wählen lässt, dass es im engeren Sinne zwischen α und β liegt.
Die Fundamentalsätze der Infinitesimalrechnung, durch die der Zusammenhang zwischen den Prozessen der Differentiation und der Integration hergestellt wird, sind von Newton und Leibniz, wie wir heute wissen, unabhängig aufgestellt worden. Newton besass zwar diese Sätze lange vor Leibniz, hat sie aber erst nach Leibniz veröffentlicht. Über die Priorität dieser Entdeckung spielte sich ein sehr unerquicklicher Streit ab, der in den Jahren 1699–1722 sehr viel Staub in der gebildeten Welt Europas aufgewirbelt hat. Heute kann man vielleicht als das eine erfreuliche Resultat dieses Streites wenigstens die Auffassung nennen, dass es ein Verstoss gegen die Interessen der Wissenschaft ist, wissenschaftliche Entdeckungen, oder Methoden, die zu solchen Entdeckungen führen, geheim zu halten oder nur innerhalb eines kleinen Kreises bekannt zu geben. In dieser Beziehung hat die Tätigkeit der grossen Schweizer Mathematiker des 18. Jahrhunderts: Johann Bernoulli, Jakob Bernoulli, Daniel Bernoulli (1700–1782) und vor allem Leonhard Euler besonders segensreich gewirkt.
Wird die Figur 20 an der Winkelhalbierenden des Hauptquadranten gespiegelt, so geht dieser Winkel natürlich in den Winkel von t mit der Achse Oy über, die dann in die alte Ox-Achse weist.
Allgemeine Exponenten sind erst durch Newton um 1686 eingeführt worden. Doch spricht bereits Wallis 1655 von negativen Exponenten, und auch mit gebrochenen Exponenten wurde bereits von A. Girard 1629 und D. Gregory 1684 gerechnet.
In der älteren englischen Literatur benutzt man gelegentlich anstatt der von Lagrange und C. Scherffer herrührenden Symbole aresin x, arccos x, arctg x, arcctg x auch die von J. H ersehet vorgeschlagenen Bezeichnungen: sin-1 x, cos-1 x, tg-1 x, ctg-1 x.
Conte di Fagnano (1682–1766).
Adrien Marie Legendre (1752–1833).
Niels Henrik Abel (1802–1829).
Im Jahre 1841. Doch rührt dieser Vorschlag eigentlich von Legendre, 1786, her. Allerdings hat Legendre selbst seinen Vorschlag nicht befolgt, und so war diese Bezeichnung vollständig in Vergessenheit geraten.
Die den Ableitungen aufzuerlegenden Bedingungen würden hier z.B. im Falle von drei Variablen x, y, z dahin lauten, dass f x ’{x, y, z), fy (x 0 , y, z) in einer Umgebung von x 0 , y 0 , z 0 existieren und in x 0 , y 0 , z 0 stetig sind, sowie, dass f z’ {x 0 , y 0 , z 0 ) existiert.
Man sagt auch Produktintegration, Teilintegration, Integration nach Teilen, teilweise Integration.
Diese Methode wird in der Theorie der Differentialgleichungen vielfach benutzt.
In den folgenden Erörterungen von § 20 wird vorausgesetzt, dass die Ableitungen der Funktionen, die nur durch ein Funktionszeichen angegeben werden, in den in Betracht kommenden Punkten existieren.
Man schreibt gewöhnlich anstatt [f(x)]n einfacher f(x) n, seltener f n (x), jedoch bei trigonometrischen Funktionen immer sin n x, . . ., ctg n x.
Zwei Zahlensequenzen aus je n Elementen wie z.B. a 1, . . ., a n ; b 1, . . ., b n heissen proportional, wenn entweder alle a v verschwinden oder alle b v verschwinden oder für diejenigen v, für welche nicht die beiden Zahlen a v , b v zugleich verschwinden, der Quotient a v /b v einen von v unabhängigen, endlichen positiven Wert besitzt. Im Falle der Proportionalität gibt es immer eine solche Zahl σ, dass entweder die erste Sequenz aus der zweiten oder die zweite aus der ersten durch Multiplikation mit σ entsteht.
Die Betrachtung von Exponentialfunktionen, bei denen also das Argument als Exponent auftritt, geht auf Leibniz 1679, 1695 zurück. Diese Untersuchungen wurden von Johann Bernoulli 1694, 1697 aufgenommen und dann namentlich von Euler weiterverfolgt.
Die ersten Logarithmen wurden von John Napier (auch Neper geschrieben) (1550–1617) im Jahre 1614 in Edinburgh veröffentlicht. Unabhängig hat Jost Bürgt (1552–1632) eine Logarithmentafel berechnet und 1620 veröffentlicht. Die Napierschen Logarithmen entsprechen angenähert der Basis 1/e. Genauer ist die Basis der Napierschen Logarithmen (1 — (1/107))107. Den Bürgischen Logarithmen entspricht die Basis (1+ (1/104))104. Die Dezimallogarithmen wurden von Briggs 1624 veröffentlicht. Doch haben alle diese Autoren die Logarithmen keineswegs als Exponenten aufgefasst, sondern den Begriff des Logarithmus aus dem Vergleich geeigneter arithmetischer und geometrischer Reihen hergeleitet, wobei Napier allerdings zur Begründung der Überbrückung seiner Werte durch Interpolation eine mechanische Analogie herangezogen hat. Es ist schwer, mit Bestimmtheit zu sagen, wer den Begriff des natürlichen Logarithmus zum erstenmal klar formuliert hat. Zahlenwerte natürlicher Logarithmen kommen bereits bei John Speidell 1622, sowie in einem anonymen Appendix zu einer 1618 erschienenen Übersetzung einer Schrift von Napier vor. Doch die Benennung logarithmus naturalis wird wohl zuerst 1668 in einer bahnbrechenden Schrift von Nikolaus Mercator (ca. 1620–1687) benutzt, in der die logarithmische Reihe im Prinzip aufgestellt und damit vielleicht auch zum erstenmal der Begriff des natürlichen Logarithmus klar herausgearbeitet wurde. Die übliche Schreibweise der gebrochenen und negativen Exponenten ist wohl erst durch Newton 1676 in Gebrauch gekommen. Wann die Exponentendefinition der Logarithmen aufkam, ist wiederum schwer zu sagen. Diese Definition wird indessen von Euler 1736 in seiner Mechanica sive motus scientia analytice exposita, t. I, Cap. II, Nr. 171 (p. 60 der opera omnia [2], Bd. 1) bereits als eine Selbstverständlichkeit behandelt. 1668 benutzt N. Merkator zur Definition des Logarithmus den Flächeninhalt eines durch einen Hyperbelbogen und gewisse geradlinige Strecken begrenzten Flächenstücks, was auf die Definition (74,1) hinausläuft. R. Cotes (1682–1716) leitete 1714 die Logarithmusfunktion aus einer Funktionalgleichung her.
Die Formel (77,8) rührt von Euler, 1743, her.
Diese Formel findet sich wohl zuerst bei E. Halley (1656–1742), 1695, wenn auch ohne ausreichende Begründung.
Hyperbolische Funktionen wurden von V. Riccati 1757 eingeführt. Ihre Theorie wurde sodann 1768 von J. H. Lambert (1728–1777) weiterentwickelt, der die Bezeichnungen sinh x, cosh x, tgh x, ctgh x verwendete, die auch heute noch sehr oft benutzt werden, trotz ihrer Schwerfälligkeit. Man liest dies dann Sinus hyperbolicus x, Cosinus hyperbolicus x, Tangens hyperbolicus x, Cotangens hyperbolicus x. Daneben sind auch gebräuchlich die Bezeichnungen Sin x (C. Gudermann), Sh x und analog für andere hyperbolische Funktionen. Für die Umkehrungen hyperbolischer Funktionen schreibt man auch oft anstatt Ar Sin x z.B. Ar sinh x oder Arg sinh x. Man liest dies dann Area sinus hyperbolicus oder Argument sinus hyperbolicus. Area (lat. Fläche) bei hyperbolischen Funktionen entspricht arcus (lat. Bogen) bei trigonometrischen Funktionen, da man das Argument hyperbolischer Funktionen als einen Flächeninhalt deuten kann.
Unter dem Symbol lg lgx versteht man lg (lgx).
Man vergleiche die Mitteilung des Verfassers: Mathematische Miszellen XIV. Über die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und verwandte Funktionalgleichungen. Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung, Bd. 38 (1929), pp. 54–62.
Diese Methode wurde, nach den ersten Ansätzen aus dem Jahre 1702 von Leibniz und Johann Bernoulli, vom letzteren 1719 vollständig durchgebildet.
Man findet einen Beweis dieses Satzes in jedem Lehrbuch der höheren Algebra.
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Ostrowski, A. (1965). Der Begriff der Ableitung und die Fundamentalsätze der Infinitesimalrechnung. In: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Mathematische Reihe, vol 4. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4014-9_5
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4014-9_5
Publisher Name: Birkhäuser, Basel
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