Zusammenfassung
Es sei f(x) eine etwa im Intervall ‹α, β› definierte Funktion. Um eine brauchbare Definition der Stetigkeit der Funktion f(x) finden zu können, wird man sich zuerst von der anschaulichen Vorstellung, die man mit diesem Begriff gefühlsmässig verbindet, leiten lassen. Man wird etwa sagen : Stetig ist eine Funktion f(x), wenn die sie darstellende Kurve sich ohne Abreissen durchzeichnen lässt. Allerdings ist dies eine Definition, die sich exakt nicht fassen lässt. Denn in ihr werden mechanische, ja sogar eigentlich physiologische Momente herangezogen. Übrigens ist sie sogar im Grunde genommen nicht ganz richtig. Zeichnen lässt sich nur eine Kurve, deren Tangente, wie man sagt, stückweise stetig1) ist.
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Literatur
Diese Definition geht auf die Schrift von Bernhard Bolzano zurück: «Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liegt.» Prag (1817) ; Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 153.
Dieser Satz ist zuerst von Eduard Heine (1821–1881) 1872 formuliert und bewiesen worden. Auch der Begriff der gleichmässigen Stetigkeit rührt von Heine her.
Dieser Satz rührt von Karl Weierstrass her und geht auf Weierstrass’ an der Berliner Universität gehaltene Vorlesungen zurück.
Dieser Satz ist zuerst in Bolzanos oben zitierter Schrift bewiesen worden.
Man beachte, dass das so definierte Bogenmass eine reine (dimensionslose) Zahl und das Verhältnis von Längen ist.
Auf diese Weise wird man dazu geführt, positive und negative Winkel zu betrachten, was in der elementaren Geometrie im allgemeinen noch nicht gemacht wird. Doch ist die Einführung von mit Vorzeichen versehenen Winkeln auch bereits in der elementaren Geometrie recht nützlich, z.B. in der Theorie der Polygone, wo man den Aussenwinkel eines überstumpften Winkels negativ nehmen muss, um zu einfachen Sätzen zu kommen.
Durch eine derartige Festlegung der positiven Umlaufssinne um die Punkte der Ebene wird die Ebene, wie man in der Topologie sagt, orientiert. Man könnte übrigens die Ebene auch orientieren, indem man die entgegengesetzten Umlaufssinne als positiv bezeichnet.
Diese Bezeichnungen rühren davon her, dass Potenzen von x mit ganzen, geraden Exponenten: x 2n gerade, während Potenzen von x mit ganzen, ungeraden Exponenten: x 2n+1 ungerade Funktionen sind.
Bernhard Riemann (1826–1866), wohl der genialste deutsche Mathematiker. Seine kühnsten Leistungen allerdings, die Schöpfung des Begriffs der sogenannten Riemannschen Fläche und die Grundlegung der sogenannten Riemannschen Geometrie, mit denen er neuartige geometrische Gebüde und Geometrieen erschlossen hat, gehen über den Rahmen dieser Vorlesung hinaus.
Dirichlet, 1837, gesammelte Werke, Bd. I, p. 137.
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Ostrowski, A. (1965). Stetige Funktionen einer Variablen und Bestimmte Integrale. In: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Mathematische Reihe, vol 4. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4014-9_4
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