Die Existenz von Lösungen der Beltramischen Differentialgleichung

Zusammenfassung

In Abschnitt 2.8 wurde die Transformation der Differentialgleichung zweiter Ordnung auf die Normalform auf die Lösung der Gleichung

$$\left[ {d,{\kern 1pt} {d_n}\phi } \right] + \left[ {d,{\kern 1pt} \left( {a{\phi _x} + b{\phi _y}} \right)dy - \left( {b{\phi _x} + c{\phi _y}} \right)dx} \right] = 0$$

((5.0.1))

in G zurückgeführt. Dabei interessierten uns die Randwerte von Φ nicht, dagegen mußten wir

$$\phi _x^2 + \phi _y^2 \ne 0{\kern 1pt} in{\kern 1pt} \overline G $$

((5.0.2))

verlangen. Wir werden im elliptischen Fall eine solche Funktion Φ zunächst lokal und dann in $\overline G$ konstruieren. Dazu verlangen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit, daß $\overline G$ im Inneren des Einheitskreises hegt:

$$\overline G \subset {R_1} = \left\{ {\left( {x,y} \right)/{x^2} + {y^2} < 1} \right\}$$

.