Geometrie von Untermannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

Als Einführung in die Differentialgeometrie diskutieren wir in diesem Kapitel die Geometrie der Untermannigfaltigkeiten euklidischer Räume. Diese zerfällt in zwei Teile: die innere und die äußere Geometrie. Die innere Geometrie betrifft Messungen innerhalb der Untermannigfaltigkeit, die äußere Geometrie die Gestalt der Untermannigfaltigkeit relativ zum umgebenden euklidischen Raum. Entlang der Entwicklungslinien, die die Geometrie der Kurven und Untermannigfaltigkeiten in euklidischen Räumen durchlaufen hat, werden Geodätische, erste und zweite Fundamentalform, Zusammenhänge und Krümmung diskutiert. Den Höhepunkt bilden die Gaussgleichungen, die Version des Theorema egregium von Gauss für Untermannigfaltigkeiten beliebiger Dimension und Kodimension. Die Konzepte werden in einer Reihe von Beispielen ausgearbeitet und in Aufgaben eingeübt.