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Normale Familien

  • Folkmar BornemannEmail author
Chapter
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Part of the Mathematik Kompakt book series (MAKO)

Zusammenfassung

Kompaktheitsargumente sind eine kraftvolle Quelle von Existenz- und Unmöglichkeitsresultaten: Ein Beispiel ist der Auftritt des Satzes von Montel 3.3.4 im Beweis des Riemann’schen Abbildungssatzes 7.6.2. Sehr weitreichende Resultate lassen sich erzielen, wenn das zugrundegelegte Konvergenzkonzept auch die Möglichkeit des „Abwanderns“ von Werten nach \(\infty\) miteinbezieht:

Diese Definition sieht in f n und \(1/f_{n}\) symmetrischer aus als sie es tatsächlich ist: Ist nämlich \(1/f_{n}\to g\in H(U)\) lokal-gleichmäßig, so gibt es genau zwei einander ausschließende Fälle:
  • g ist nullstellenfrei. Dann konvergiert f n lokal-gleichmäßig gegen \(1/g\).

  • g besitzt eine Nullstelle. Da alle \(1/f_{n}\) nullstellenfrei sind, muss nach dem Satz von Hurwitz 7.4.4 \(g\equiv 0\) gelten. (Hier geht ein, dass U ein Gebiet ist.) Wir sagen dann, dass f n lokal-gleichmäßig gegen \(\infty\) divergiert: \(f_{n}\to\infty\).

Copyright information

© Springer International Publishing AG, CH 2016

Authors and Affiliations

  1. 1.Zentrum Mathematik - M3Technische Universität MünchenMünchenDeutschland

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