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Residuenkalkül in Aktion

  • Folkmar BornemannEmail author
Chapter
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Part of the Mathematik Kompakt book series (MAKO)

Zusammenfassung

Eine der Stärken des Residuensatzes liegt in der Auswertung bestimmter (oft uneigentlich konvergenter) Integrale. Das ist dann von besonderem Interesse, wenn der Integrand keine elementare Stammfunktion besitzt und damit der Weg über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung versperrt ist. Hängt das Integral zudem von Parametern ab, so ist eine Auswertung als Funktion der Parameter einer numerischen Approximation für einzelne Parameterwerte häufig vorzuziehen.

Die Strategie zur Auswertung des Integrals I von g über dem reellen Intervall \((\alpha,\beta)\) (wobei \(\alpha=-\infty\) und \(\beta=\infty\) zulässig sind) lautet:
  1. 1.
    Identifiziere
    $$\displaystyle I=\int_{\alpha}^{\beta}g(x)\,dx=\lim_{r\to\infty}\mathop{\mathrm{Re}}\int_{\Gamma_{r}^{\prime}}f(z)\,dz$$
    für eine Kette \(\Gamma^{\prime}_{r}\) und eine um diese Kette holomorphe Funktion f. Statt des Realteils kann hier auch der Imaginärteil stehen oder gar nichts.
     
  2. 2.
    Schließe ggf. \(\Gamma_{r}^{\prime}\) durch eine Kette \(\Gamma^{\prime\prime}_{r}\) zu dem Randzyklus \(\Gamma_{r}=\Gamma_{r}^{\prime}+\Gamma^{\prime\prime}_{r}\) eines Kompaktums K r ; dabei sei f um K r bis auf eine diskrete Menge S r holomorph. Die Kunst besteht nun darin, dafür zu sorgen, dass
    $$\displaystyle A=\lim_{r\to\infty}\int_{\Gamma_{r}^{\prime\prime}}f(z)\,dz,\qquad B=\lim_{r\to\infty}2\pi i\sum_{z\in S_{r}\cap K_{r}}\mathop{\mathrm{res}}_{z}f$$
    einfach zu berechnen sind; nach dem Residuensatz gilt \(I=\mathop{\mathrm{Re}}(B-A)\).
     

Copyright information

© Springer International Publishing AG, CH 2016

Authors and Affiliations

  1. 1.Zentrum Mathematik - M3Technische Universität MünchenMünchenDeutschland

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