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Potenzreihen in Aktion

  • Folkmar BornemannEmail author
Chapter
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Part of the Mathematik Kompakt book series (MAKO)

Zusammenfassung

Wie berechnen wir die Koeffizienten der Taylorentwicklung
$$\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}\qquad(|z|<r_{f})$$
einer konkret gegebenen, um Null holomorphen Funktion f?
Nun, in der Regel nicht mit Taylor’scher Formel (1.5.5) oder Cauchy’scher Integralformel (2.5.3a). Meist setzt sich f nämlich aus arithmetischen Operationen und Kompositionen elementarer Bestandteile zusammen; genauso wie wir die Ableitungen dann gemäß den Rechenregeln aus Abschn. 1.4 berechnen würden, gelangen wir auch zur Taylorreihe mit derartigen Formeln (sofern die zugrunde liegenden Operationen zulässig sind). Ein Beispiel möge hier genügen – weitere finden sich in (1.5.3), Abschn. 4.2 und Aufgabe Ch4.I2.e3: Mit
$$\displaystyle g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}z^{n}\qquad(|z|<r_{g})$$
gilt neben der trivialen Summenformel etwa die Cauchy’sche Produktformel
$$\displaystyle(f\cdot g)(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}a_{k}\cdot b_{n-k}\right)z^{n}\qquad(|z|<\min(r_{f},r_{g})).$$
Es geht aber noch einfacher, wenn wir an a n nicht für allgemeines n interessiert sind (meist ohnehin nur in Form einer Rekursion erhältlich), sondern nur an den konkreten ersten \(m+1\) Koeffzienten, also an
$$\displaystyle f(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots+a_{m}z^{m}+O(z^{m+1})\qquad(z\to 0).$$
Der Trick besteht nämlich darin, bereits in jedem Zwischenschritt all jene Entwicklungsterme wegzulassen, die im Endergebnis zu Termen der Ordnung \(O(z^{m+1})\) führen: Was ohnehin auf den „Müll“ geworfen wird, braucht gar nicht erst berechnet zu werden.

Copyright information

© Springer International Publishing AG, CH 2016

Authors and Affiliations

  1. 1.Zentrum Mathematik - M3Technische Universität MünchenMünchenDeutschland

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