Zusammenfassung
Als Einführung in die Differentialgeometrie diskutieren wir in diesem Kapitel die Geometrie der Untermannigfaltigkeiten euklidischer Räume. Diese zerfällt in zwei Teile: die innere und die äußere Geometrie. Die innere Geometrie betrifft Messungen innerhalb der Untermannigfaltigkeit, die äußere Geometrie die Gestalt der Untermannigfaltigkeit relativ zum umgebenden euklidischen Raum. Entlang der Entwicklungslinien, die die Geometrie der Kurven und Untermannigfaltigkeiten in euklidischen Räumen durchlaufen hat, werden Geodätische, erste und zweite Fundamentalform, Zusammenhänge und Krümmung diskutiert. Den Höhepunkt bilden die Gaussgleichungen, die Version des Theorema egregium von Gauss für Untermannigfaltigkeiten beliebiger Dimension und Kodimension.
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- 1.
Euklid (ca. 360–280 v. u. Z.)
- 2.
Johann Carl Friedrich Gauß (1777–1855)
- 3.
Hermann Amandus Schwarz (1843–1921)
- 4.
Brook Taylor (1685–1731)
- 5.
Jean Frédéric Frenet (1816–1900), Joseph Alfred Serret (1819–1885)
- 6.
Hier und in anderen Beispielen benützen wir den Variablennamen als Index.
- 7.
Weil der Definitionsbereich von L ein Raum von Abbildungen ist, nennt man L nicht einfach nur eine Funktion, sondern vornehm ein Funktional, was aber keine tiefere Bedeutung hat.
- 8.
Johann Bernoulli (1667–1748). Er diskutierte natürlich nur Kurven auf Flächen im\(\mathbb{R}^{3}\), was aber in der Argumentation auf dasselbe hinausläuft.
- 9.
Tullio Levi-Civita (1873–1941)
- 10.
Elwin Bruno Christoffel (1829–1900)
- 11.
Julius Weingarten (1836–1910)
- 12.
Benjamin Olinde Rodrigues (1794–1851)
- 13.
Jean Baptiste Marie Charles Meusnier de la Place (1754–1793)
- 14.
August Ferdinand Möbius (1790–1868)
- 15.
Leopold Kronecker (1823–1891)
- 16.
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866)
- 17.
Ferdinand Joachimsthal (1818–1861)
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Ballmann, W. (2015). Geometrie von Untermannigfaltigkeiten. In: Einführung in die Geometrie und Topologie. Mathematik Kompakt. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0901-6_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0901-6_4
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Publisher Name: Birkhäuser, Basel
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Online ISBN: 978-3-0348-0901-6
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