Abstract
This chapter analyses the philosophical views on mathematics and logic of scientists connected with the Cracow Centre, i.e. the views of Jan Sleszyński (his last name is also given by the Polish ‘Śleszyński’), Stanisław Zaremba and Witold Wilkosz. Let us add that for a certain period Zygmunt Zawirski and Leon Chwistek worked within the Cracow Centre. However, for several reasons (cf. Introduction) we have decided to discuss their works and views in the other chapters (namely, Zawirski’s works in Chap. 3 and Chwistek’s in Chap. 2).
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Notes
- 1.
The library of Warsaw University contains numerous Sleszyński ’s scripts, including his lecture notes and excerpts from his reading matters.
- 2.
‘Treść matematyki jest wspaniała, lecz forma jej pozostawia dużo do życzenia. Te słowa wypowiadam z rozmysłem, aby je przeciwstawić hymnom wygłaszanym na cześć nauki w ogóle, a matematyki w szczególności.’
- 3.
‘wszystko, co jest ciemne i skomplikowane, jest bez wartości’; ‘poszukiwanie jasności i prostoty powinno być myślą przewodnią wszelkich badań w tym zakresie.’
- 4.
‘wyplenić chwasty na polu naukowym i drogą analizy skracać i kondensować ten przeogromny materiał, który daje twórczość naukowa. Logika [bowiem] jest jedynym środkiem otrzeźwiającym badacza, wskazującym mu normy ważności tematu i dojrzałości jego pracy.’
- 5.
In fact, Sleszyński had few disciples. They included Stanisław Krystyn Zaremba (1903–1990) (son of Stanisław Zaremba mentioned in Sect. 5.2 of this chapter) and Wacław Borejko . He also influenced the following: Antoni Maria Hoborski (1879−1940), Leon Chwistek (1884−1944), Tadeusz Ważewski (1896−1972) and Stefan Rozental (1903−1944?) [footnote is mine].
- 6.
‘Nie był jednym z tych, którzy pogrążeni w swojej twórczej pracy, nie interesują się swymi studentami, a wykład uważają za balast; nie należał również do tych, którzy w stałym kontakcie ze studentami gromadzą koło siebie przyszłych pracowników naukowych, budują tym samym szkołę matematyczną i tworzą ośrodek naukowy. Prof. Śleszyński nakreślił sobie zadanie zupełnie odmienne i wręcz oryginalne: pragnął w swych wykładach elementów, czy to analizy, czy teorii wyznaczników, czy też rachunku prawdopodobieństwa itd. wyjaśnić wszelkie trudności natury logicznej i matematycznej, tkwiące właśnie w elementach tych nauk, zwykle nie dostrzeganych przez matematyków; pragnął zapełnić luki w klasycznych niekiedy rozumowaniach, by wywody matematyczne, które podawał, miały charakter rozumowań “zupełnych”.’
- 7.
‘1) ogromnej zawiłości i trudności badań matematycznych i
2) ogromnej trudności wykładu wyników tych badań.’
- 8.
‘niedokładności metod badania’; ‘istoty rzeczy badanych, tj. od prawd matematycznych.’
- 9.
‘które są dowodami pewnych innych twierdzeń, wplecionych do danego dowodu, ale niesformułowanych dokładnie.’
- 10.
This is what, for example, Descartes did in La géométrie [The Geometry]: he omitted proofs, replacing them with such remarks as: ‘I hope that posterity will judge me kindly, not only as to the things which I have explained, but also to those which I have intentionally omitted so as to leave to others the pleasure of discovery.’
- 11.
Sleszyński illustrates his remarks (1923) by giving large quotations from Descartes , Leibniz , Jocobi, Eisenstein , Gauss and Galois .
- 12.
‘Odkrycie prawd matematycznych odbywa się przeważnie drogą intuicji przy pomocy fantazji twórczej i nie daje się ująć w żadne określone prawidła.’
- 13.
‘zaniedbaniem kultury logicznej.’
- 14.
Some considerations of the sources of ambiguity in mathematics can be also found in Sleszyński ’s work ‘Sur le raisonnement dans les sciences deductives’ [On a Reasining in Deductive Sciences] (1921b). In this work he formulates similar theses.
- 15.
‘[…] części (ogniw), z których każde jest zastosowaniem jakiegoś poprzednio dowiedzionego albo przyjętego twierdzenia na podstawie modus ponens, tj. na podstawie tego, że jeżeli z p wynika q, i p jest prawdą, to i q jest prawdą.’
- 16.
‘[…] ta logika nie wystarcza dla matematyki przyszłości. Jeśli mianowicie będziemy się zajmowali badaniem podstaw matematyki, to do tego potrzebna jest logika nowa, której pierwsze zarysy znajdujemy w Principia Mathematica. W tych badaniach bowiem wszystkie twierdzenia są oczywiste, a chodzi o to, aby ustanowić związek logiczny między twierdzeniami.’
- 17.
‘Z poprzednich rozważań wypływa odpowiedź na pytanie o znaczenie logiki dla matematyki. Bez dowodów zupełnych poważne badania nad podstawami matematyki są właściwie niemożliwe. Dla innych badań matematycznych wystarczą, co prawda skróty dowodów, ale takie skróty, które dawałyby pewność, nie mogą być zbudowane bez dokładnej znajomości teorii dowodu.
Widzimy więc, że logika jako teoria dowodu, jest konieczna dla wyprowadzenia matematyki z jej obecnego smutnego, moim zdaniem, stanu na drogę, gdzie forma jej, zaniedbywana dotychczas, odpowiadałaby jej wspaniałości i wzniosłej treści. Wtedy dopiero znajdzie matematyka jak najszersze rozpowszechnienie, a potężna metoda matematycznego myślenia wywrze decydujący wpływ na myślenie naukowe w ogólności! Cudowność polotu całkiem swobodnej fantazji matematycznej i posągowa piękność prawd matematycznych nie będą omraczane gmatwaniną logiczną jej dotychczasowej formy i staną się źródłem najwyższej rozkoszy dla szerokich kół ludzi myśli.’
- 18.
‘twierdzeniami warunkowymi, których treścią jest związek między poprzednikiem a następnikiem.’
- 19.
‘Fikcje sprzeczne ukazują się w matematyce tylko tam, gdzie pojęcia matematyczne nie zostały dokładnie zbadane.’
- 20.
‘graniczą z teorią poznania, a nawet w pewnej mierze należą do tej gałęzi dociekań filozoficznych.’
- 21.
‘Na podstawie tych uwag mogłoby się wydawać, że kwestia niezależności logicznej postulatu Euklidesa od innych aksjomatów geometrii zlewa się z pytaniem, czy postulat Euklidesa wyraża prawdę, czy też błąd. W rzeczywistości jednak tak nie jest.’
- 22.
‘Znaczenie teoriopoznawcze badań nad podstawami geometrii możemy, jak sądzę, przedstawić w sposób następujący:
-
1.
Badania te pouczają nas, iż wytworzyć sobie możemy bardzo ogólne pojęcie, mianowicie pojęcie rozciągłości n-wymiarowej, która mieści w sobie, jako przypadek szczególny rozciągłości trójwymiarowej, pojęcie przestrzeni.
-
2.
Przy sposobności badań nad podstawami geometrii rozwinęło się ogólne pojęcie niezależności logicznej pewnych twierdzeń od pewnych innych.
-
3.
Przez to, iż badania nad podstawami geometrii doprowadziły do ustawienia wykazu [tzn. układu—uwaga moja, R.M.] logicznie niezależnych od siebie orzeczeń [czyli stwierdzeń—uwaga moja, R.M.], z których cała geometria klasyczna wynika już na drodze czysto dedukcyjnej, uzyskane zostały niezbędne podstawy do bliższego zbadania natury psychologicznej pojęcia przestrzeni.’
-
1.
- 23.
‘jedna z wielu postaci, w której pojęcie nieskończoności występuje w analizie matematycznej’
- 24.
‘zasługuje na szczególną uwagę filozofa z tej przyczyny, iż z pojęcia tak mętnego, jakim jest pospolite pojęcie nieskończoności, zdołała wysnuć cały szereg pojęć i twierdzeń, które pod względem precyzji i jasności nie ustępują żadnym innym pojęciom matematycznym.’
- 25.
‘nadzwyczaj zajmujące ze stanowiska filozoficznego’; ‘konieczne do głębszego zrozumienia obu tych gałęzi wiedzy ludzkiej i biegu ewolucji każdej z nich.’
- 26.
‘Samo sformułowanie większości z najważniejszych hipotez fizyki nieodzownie wymaga posługiwania się matematyką. […]
Z biegiem czasu teorie fizyki przybierają coraz bardziej charakter teorii matematycznych, a już w dobie obecnej matematyka jest głównym narzędziem, którym fizyka posługuje się do urzeczywistnienia swoich wywodów logicznych; wobec tego matematyka stanowi główny środek, którym posługuje się fizyka do dopięcia w miarę możności swych celów. […]
Historia fizyki poucza, że dedukcja matematyczna doprowadza niekiedy do odkrycia zjawisk nowych, których możliwości zgoła skądinąd nie przewidywano, a które dopiero a posteriori zostawały eksperymentalnie urzeczywistnione. […]
Pomiędzy pewnymi klasami zjawisk fizycznych, pozornie nic wspólnego nie mającymi, zachodzi ścisły związek ujawniający się w tym, że jedna i ta sama teoria matematyczna, zależnie od znaczenia nadanego jej symbolom, przedstawiać może teorię zjawisk którejkolwiek z tych klas.’
- 27.
‘uskuteczniania wywodów logicznych’; ‘zagadnienia nastręczane matematyce przez fizykę, połączone bywają z trudnościami, którym obecnie matematyka nie może jeszcze podołać w sposób zadowalający.’
- 28.
‘w matematyce, jak i w fizyce rozumowanie dedukcyjne, czyli, dokładniej mówiąc, dowodzenie dedukcyjne odgrywa pierwszorzędną rolę.’
- 29.
‘powiedzenia, że jeżeli wszystkie założenia, przyjęte w dowodzie twierdzenia T, są zdaniami słusznymi, to twierdzenie T jest także zdaniem słusznym.’
- 30.
‘wpływu nauczyciela na rozwój swojego ucznia, gdyby tenże poprzestawał niemal wyłącznie na stawianiu uczniowi rozumnie obmyślanych pytań przy podawaniu niekiedy niektórych wskazówek w odniesieniu do odpowiedzi.’
- 31.
‘L’étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. Non seulement cette étude, en offrant aux recherches un but déterminé, a l’avantage d’exclure des questions vagues et les calculs sans issue: elle est encore un moyen assuré de former l’Analyse elle-même, et d’un découvrir les éléments qu’il nous importe le plus de connaître, et que cette science doit toujours conserver: ces éléments fondamentaux sont ceux qui se reproduisent dans tous les effets naturels’ (Fourier 1888, vol. 1, p. XXIII).
- 32.
‘Rola matematyki w rozwoju fizyki określona być może w niewielu wyrazach: przyjąwszy za postulaty hipotezy, nastręczane przez obserwację i doświadczenie w odniesieniu do pewnej klasy zjawisk, zwracamy się do matematyki, żeby poznać następstwa logiczne powyższych postulatów; jeżeli fakty potwierdzą (z dostatecznym stopniem dokładności) powyższe wyniki, to teoria, która została rozwinięta koordynuje zjawiska rozważanej klasy; w razie przeciwnym powyższa teoria stanowi dowód na to, że układ postulatów, z którego się wyszło, winien być zmodyfikowany; ta ostatnia okoliczność może się objawić i bez zwracania się do faktów; żeby się to wydarzyło potrzeba i wystarcza, ażeby, przy rozwijaniu następstw przyjętych postulatów, okazało się, że rzeczone postulaty są sprzeczne ze sobą.’
- 33.
‘Głębokie przekonanie, że w naukach matematycznych należy dążyć do maksimum precyzji i ścisłości skłoniło mnie do zajęcia się logiką.’
- 34.
‘Ajoutons que la logique théorique est appelée encore à rendre de précieux services dans l’œuvre de coordination et de simplification des théories mathématiques, œuvre que le développement considérable des ces théories rend de plus en plus nécessaire.’
- 35.
‘Wydaje mi się, że życie matematyczne w Polsce toczy się dwiema całkiem różnymi drogami: jedna z nich ciąży ku klasycznym działom matematyki, druga zaś ku teorii mnogości (funkcji). Tendencje te w Polsce wykluczają się nawzajem, są sobie bardzo wrogie i obecnie trwa między nimi zacięta walka. Obydwie strony są bardzo energiczne, lecz jak mi się wydaje, siły ich są nierówne. […] Stronę klasyczną reprezentuje obecnie tylko stary […] uniwersytet krakowski. […] Spośród matematyków polskich najbardziej nieugiętym zwolennikiem tej drogi jest p. profesor Zaremba . Inni zwolennicy tej drogi trzymają się blisko p. Zaremby. […] Jednakże tendencja klasyczna zakończyła się w wielu miastach […], gdzie zastąpiła ją tendencja szkoły p. Sierpińskiego.’
- 36.
Let us add that the authority, Zaremba enjoyed in the Cracow’s environment (although not only there—he was a mathematician of international renown and unquestioned authority all over Poland), caused that his views concerning the role and place of logic with reference to mathematics had consequences on the institutional level and influenced the situation of logic in Cracow. Although around the year 1918, Cracow was a much more developed centre of mathematical logic than Warsaw, it was Warsaw that created a school of logic. The power of tradition is also testified by the fact that until today there has been no chair and department of logic at the Faculty of Mathematics of the Jagiellonian University, which is rather an exception at Polish universities.
- 37.
In this context one should also mention Antoni Maria Hoborski (1879−1940) and Otto Nikodym (1887−1974).
- 38.
‘0’ was written in brackets since it played a specific role among the natural numbers, evolving from the symbol of an empty place in the positional notation to the status of a rightful number.
- 39.
It is the author’s abstract from his talk.
- 40.
‘nieodzowny składnik każdego systemu dedukcyjnego’; ‘logika dedukcyjna, a więc matematyczna, to tylko narzędzie [podkr. moje—R.M.] rozbudowy pierwotnych pojęć systemu drogą określeń i pierwotnych jego zdań drogą dowodzeń.’
- 41.
‘w praktyce spotykamy się niemal wyłącznie z systemami dedukcyjnymi w matematyce i dla potrzeb matematyki.’
- 42.
‘“logikę” zastępuje system “dyrektyw”.’
- 43.
‘Metodologicznie logika formalna przybrała pewną postać nieco jednostronną. Wyrugowanie języka imion ogólnych na rzecz języka klas lub warunków zdaniowych, zarzucenie techniki konkludowania epicherematycznego, zatracenie różnicy między znanymi z gramatyki odcieniami zdań warunkowych jest teoretycznie najzupełniej dopuszczalne. Ale czy korzystne w praktyce?’
- 44.
‘Metoda aksjomatyczna ma swe naturalne miejsce tam, gdzie główne hipotezy danej konkretnej nauki opłaca się uważać, choćby na jakiś czas, za niewymagające zmian. Wtedy przełożenie ich na język poddający się procesom logicznym i wtłoczenie ich w metodykę dedukcyjną może przynieść korzyści, a teoria dysponować będzie dostateczną ilością czasu, by swe żmudne dowodzenie przeprowadzić z całą precyzją.’
- 45.
‘aksjomatyzacja zmuszałaby niejednokrotnie do nadmiernej symplifikacji założeń i zwężeń tematu.’
- 46.
It is worth mentioning Wilkosz ’s interests in the Middle Eastern philology and languages. After his graduation Wilkosz received a grant and studied at the University of Beirut for several months. After having returned to Poland he enrolled in the programme of classical philology and Eastern languages at the Jagiellonian University, giving it up after 2 years and enrolling in mathematics [the footnote is mine].
- 47.
‘przyszedł już czas na stosowanie dzisiejszej precyzji w naukach takich jak ekonomia, socjologia—nie mówiąc już o filologii czy historii.’
- 48.
- 49.
‘postać jej dzisiejsza i poręczność procederów wedle jej wymogów nie przedstawia się świetnie’; ‘niezmiernie odstrasza np. matematyków, nie zajmujących się zawodowo logiką, od posługiwania się nią w całej rozciągłości.’
- 50.
‘nazwać abstraktem przedmiotu termin klasowy (imię wspólne) wszystkich i tylko tych przedmiotów, które z nim wchodzą w dany stosunek.’
- 51.
‘pewien określony i oznaczony wedle osobnego przepisu przedmiot z pola R, który jest R-równoważny elementowi a (być może jest nim właśnie a) pod warunkiem, że o ile aRb, to a i b przypiszemy ten sam przedmiot.’
- 52.
‘określamy, co oznaczają zdania wypowiedziane o Abs R a.’
- 53.
‘każde orzeczenie o przedmiocie a jest równocześnie orzeczeniem o przedmiocie b, jednocześnie z nim prawdziwym lub fałszywym.’
References
Fourier, J. (1888). Œuvres de Fourier. Paris: publiée par G. Darboux. Gauthier-Villars et Fils. English translation: Fourier (1978).
Fourier, J. (1978). The analytical theory of heat (A. Freeman, Trans.). Cambridge: Dover.
Luzin, N. N. (1983). List do Arnauda Denjoy z 1926 r. Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Seria II: Wiadomości Matematyczne, 25, 65–68.
Szarski, J. (1962). Stanisław Zaremba (1863–1942). Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Seria II: Wiadomości Matematyczne, 5, 15–28.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 2014 Springer Basel
About this chapter
Cite this chapter
Murawski, R. (2014). Cracow Centre. In: The Philosophy of Mathematics and Logic in the 1920s and 1930s in Poland. Science Networks. Historical Studies, vol 48. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0831-6_5
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0831-6_5
Published:
Publisher Name: Birkhäuser, Basel
Print ISBN: 978-3-0348-0830-9
Online ISBN: 978-3-0348-0831-6
eBook Packages: Mathematics and StatisticsMathematics and Statistics (R0)