Zusammenfassung
Obwohl sich die klassische Ergodentheorie fast ausschließlich mit einzelnen Transformationen und Flüssen beschäftigt (also mit Aktionen von ℤ, ℕ, ℝ, oder ℝ+), führen viele Probleme aus der statistischen Mechanik, der mathematischen Biologie und anderen Gebieten zur Untersuchung von räumlich ausgedehnten Systemen mit mehrdimensionalen Symmetriegruppen. Im Sinne des in der Mathematik üblichen Abstraktionsprozesses verallgemeinert man also das klassische Konzept einer „linearen“ (oder „eindimensionalen“) Zeitentwicklung und betrachtet stetige Wirkungen allgemeiner – üblicherweise lokalkompakter und metrisierbarer – Gruppen auf topologischen Räumen oder Wahrscheinlichkeitsräumen. Dabei soll wiederum entweder die Topologie des Raumes oder das Wahrscheinlichkeitsmaß unter dieser Wirkung invariant bleiben.
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Notes
- 1.
Wenn G kommutativ ist, dann schreiben wir die Gruppenoperation meist als Addition und bezeichnen das Einheitselement von G mit 0 = 0 G .
- 2.
Ein topologischer Raum ist lokalkompakt, falls jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt.
- 3.
Ein topologischer Raum ist separabel, falls er eine dichte abzählbare Teilmenge besitzt.
- 4.
Ein messbarer Raum \((X,\mathcal{S})\) ist ein Standard-Borel-Raum, wenn X überabzählbar ist und mit einer Metrik ausgestattet werden kann, in der X vollständig und \(\mathcal{S}\) die Borel-σ-algebra auf X ist. Jeder Standard-Borel-Raum \((X,\mathcal{S})\) ist zu (ℝ, ℬℝ) isomorph [14, Theorem 2.12].
- 5.
- 6.
Zwei natürliche Zahlen p, q sind multiplikativ unabhängig, wenn log p∕log q irrational ist.
- 7.
Daniel J. Rudolph (1949–2010) war tätig in den USA und einer der bedeutendsten Forscher auf dem Gebiet der Ergodentheorie mit fundamentalen Beiträgen zur Klassifikation und Struktur dynamischer Systeme.
- 8.
Für jede Menge X bezeichnen wir mit \(\textup{Id}_{X}\colon X\longrightarrow X\) die Identitätsabbildung Id X (x) = x, x ∈ X.
- 9.
In der Quotiententopologie ist eine Teilmenge von X offen, wenn ihr Urbild in \(\mathbb{R}^{2}\setminus\{ 0\}\) offen ist.
- 10.
Elon Lindenstrauss, geboren 1970 in Jerusalem und dort Professor, arbeitet in der Anwendung der Ergodentheorie in der Zahlentheorie und erhielt 2010 für seine Arbeiten auf diesem Gebiet die Fields-Medaille.
- 11.
Die euklidische Norm eines Vektors v = (v 1, …, v n ) ∈ ℝn ist durch \(\mathopen{\boldsymbol{|}}\mathbf{v}\mathclose{\boldsymbol{|}}=(\sum _{{i=1}}^{n}v_{i}^{2})^{{1/2}}\) gegeben.
- 12.
Der Träger einer Funktion \(f:X\longrightarrow\mathbb{R}\) ist der Abschluss der Menge {x ∈ X : f(x) ≠ 0}.
- 13.
Wenn X ein separabler metrisierbarer Raum ist und μ ein Maß auf ℬ X ist, dann nennt man die kleinste abgeschlossene Menge A ⊂ X mit \(\mu(X\setminus A)=0\) den Träger von μ. Gilt für eine stetige Funktion eine Gleichung μ-f.ü., dann gilt diese Gleichung auch auf dem Träger von μ.
- 14.
Da G nicht mittelbar ist, muss ein solches Maß zwar i. A. nicht existieren, aber wir haben zumindest schon ein Beispiel für ein solches Maß gesehen.
- 15.
Üblicherweise wird der Satz von Howe-Moore in der Sprache der unitären Darstellungen formuliert und dann Satz über das Verschwinden der Matrixkoeffizienten im Unendlichen genannt.
- 16.
Es seien H ein Hilbertraum und v n ∈ H eine Folge. Dann konvergiert v n schwach gegen ein v ∈ H, falls für alle w ∈ H gilt \(\lim _{{n\to\infty}}\langle\!\langle v_{n},w\rangle\!\rangle=\langle\!\langle v,w\rangle\!\rangle\).
- 17.
Shrikrishna Gopalrao Dani, geboren 1974 in Belgaum, Indien, Professor in Mumbai (TIFR). Wichtige Beiträge zur Geometrie und Dynamik von Gruppenaktionen und Anwendungen der Ergodentheorie in diophantischen Problemen.
- 18.
Wir verwenden hier wieder die Idee in Aufgabe 5.4.19: Wenn in einem kompakten Raum Y eine Folge (a n ) und ein Punkt a die Eigenschaft haben, dass jede Teilfolge von (a n ) eine weitere Teilfolge besitzt, die gegen a strebt, dann strebt die ursprüngliche Folge ebenso gegen a. Hier ist Y das kompakte Intervall [−∥f∥∞, ∥f∥∞], (a n ) ist eine Folge von ergodischen Mitteln und \(a=\int _{X}f\, dm_{X}\).
- 19.
Grigori Alexandrowitsch Margulis, geboren 1946 in Moskau, Student von Jakow Sinai, Professor in Yale, USA. Er ist für eine Vielzahl von tiefen Anwendungen der Dynamik in arithmetischen Problemen, wie z. B. der Klassifikation von Gittern in \(\operatorname{SL}_{n}(\mathbb{R}),\, n\ge 3\), bekannt und erhielt für seine Arbeiten im Jahr 1978 die Fields-Medaille.
- 20.
Marina Ratner, geboren 1938 in Moskau, Studentin von Jakow Sinai, Professor in Berkeley, USA. Sie wurde berühmt durch ihre sogenannten Starrheitssätze der unipotenten Dynamik.
- 21.
Gilt dies auch, wenn \(B\subset\mathbb{T}\) S-invariant, aber nicht strikt S-invariant ist?
- 22.
Peter Clive Sarnak, geboren 1953 in Johannesburg, Südafrika, Professor in Princeton, USA. Er arbeitet auf dem Gebiet der analytischen Zahlentheorie und an arithmetisch motivierten Problemen in der Analysis, v. a. über Zetafunktionen und automorphe Formen, mit Anwendungen in der Kombinatorik und der mathematischen Physik.
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Einsiedler, M., Schmidt, K. (2014). Mehrparametrische dynamische Systeme. In: Dynamische Systeme. Mathematik Kompakt. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0634-3_5
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0634-3_5
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Publisher Name: Birkhäuser, Basel
Print ISBN: 978-3-0348-0633-6
Online ISBN: 978-3-0348-0634-3
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