Numerische Merkmale: Verteilungsfunktionen und Quantile

Zusammenfassung

Auch in diesem Kapitel konzentrieren wir uns auf ein Merkmal eines Datensatzes mit Stichprobenwerten X ₁, X ₂, …, X _n . Das Merkmal ist nun numerisch, und wir betrachten die Stichprobenwerte als stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit unbekannter Verteilung P beziehungsweise Verteilungsfunktion F: ℝ → [0, 1]. Das heißt, F(x) = P((-∞, x)) = ℙ(X _i  ≤ x). Mit der Verteilungsfunktion eng verknüpft sind sogenannte Quantile. Für eine vorgegebene Zahl γ ∈ (0, 1) unterteilt ein γ-Quantil x _γ die reelle Achse grob gesagt in zwei Halbgeraden, von denen die linke Wahrscheinlichkeit γ und die rechte Wahrscheinlichkeit 1 - γ hat.

Mit Hilfe der sortierten Stichprobenwerte lassen sich exakte Konfidenzbereiche für ein bestimmtes Quantil x _γ konstruieren. Außerdem behandeln wir Kolmogorov-Smirnov-Konfidenzbänder für F. Das heißt, wir konstruieren mit Hilfe der Beobachtungen zwei Funktionen, welche die unbekannte Verteilungsfunktion mit vorgegebener Sicherheit überall nach unten und nach oben abschätzen, und mit wachsendem Stichprobenumfang n wird der maximale Abstand dieser Funktionen beliebig klein.