Zusammenfassung
Wir werden uns jetzt mit der Modellierung von Strömungen und insbesondere mit der Umströmung von Körpern befassen. Dazu betrachten wir die Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung)
und die Impulserhaltungsgleichung
Zur Vereinfachung werde angenommen, dass ϱ ≡ ϱ 0 im ganzen Gebiet Ω konstant ist, der Spannungstensor σ nicht von der Temperatur θ abhängt und keine äußeren Kräfte vorliegen f = 0.
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- 1.
Navier, Claude L.M. Henri: 1785–1836, französischer Mathematiker. Mathematische Formulierung der Elastizitätstheorie, Begründer der Baustatik.
- 2.
Stokes, George G.: 1819–1903, Mathematiker und Physiker. Beschäftigte sich mit der elektromagnetischen Ausbreitung von Wellen und der Theorie der Schallausbreitung.
- 3.
Mit der Kettenregel berechnen wir
$$\begin{aligned}\displaystyle\partial _{t}v&\displaystyle=\frac{|v_{\infty}|}{t^{*}}\partial _{\tau}u,\\ \displaystyle(v\cdot\nabla _{x})v&\displaystyle=\sum _{{i=1}}^{3}v_{i}\partial _{{x_{i}}}v=\sum _{{i=1}}^{3}|v_{\infty}|u_{i}\,|v_{\infty}|\partial _{{y_{i}}}u\,\frac{1}{l}=\frac{|v_{\infty}|^{2}}{l}\sum _{{i=1}}^{3}u_{i}\partial _{{y_{i}}}u=\frac{|v_{\infty}|^{2}}{l}(u\cdot\nabla _{y})u,\\ \displaystyle\nabla _{x}p&\displaystyle=\frac{p_{0}}{l}\nabla _{y}r,\\ \displaystyle\mu\Updelta _{x}v&\displaystyle=\mu\sum _{{i=1}}^{3}\partial _{{x_{i}x_{i}}}v=\mu\sum _{{i=1}}^{3}\partial _{{x_{i}}}\bigg(|v_{\infty}|\partial _{{y_{i}}}u\frac{1}{l}\bigg)=\mu\frac{|v_{\infty}|}{l}\sum _{{i=1}}^{3}\partial _{{y_{i}y_{i}}}u\frac{1}{l}=\mu\frac{|v_{\infty}|}{l^{2}}\Updelta _{y}u.\end{aligned}$$Wir setzen diese Ableitungen in Gleichung (4.2) ein und multiplizieren die erhaltene Identität mit t*∕|v ∞|.
- 4.
Die Massenerhaltung ändert, im Gegensatz zur Impulserhaltung, ihr Aussehen nicht. Denn
$$\begin{aligned}\displaystyle 0\stackrel{(4.3)}{=}divv=\sum _{{i=1}}^{3}\partial _{{x_{i}}}v_{i}=\sum _{{i=1}}^{3}|v_{\infty}|\partial _{{y_{i}}}u_{i}\frac{1}{l}=\frac{|v_{\infty}|}{l}divu\quad\Longrightarrow\quad divu=0.\end{aligned}$$ - 5.
Hele-Shaw, Henry S.: 1854–1941, britischer Ingenieur. Pionier auf dem Gebiet der Automobiltechnik und Luftfahrt.
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© 2014 Springer Basel
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Hoffmann, KH., Witterstein, G. (2014). Strömungen. In: Mathematische Modellierung. Mathematik Kompakt. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0650-9_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0650-9_4
Publisher Name: Birkhäuser, Basel
Print ISBN: 978-3-7643-9974-0
Online ISBN: 978-3-0346-0650-9
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