Zusammenfassung
Wir beginnen mit einem Beispiel. Ein Körper der Masse m werde von der Erdoberfläche senkrecht in die Höhe geworfen. Wir möchten den Zeitpunkt T ∗ berechnen, an dem er wieder zur Erdoberfläche zurückkehrt. Der Strömungswiderstand der Atmosphäre wird vernachlässigt und die Erde als Kugel mit dem Radius R betrachtet. An Hand dieses Beispiels gehen wir der Frage nach, ob man auf systematischem Wege geeignete intrinsische Größen und dimensionslose Parameter finden kann, um ein vorgegebenes mathematisches Modell zu entdimensionalisieren. Diese Frage lässt sich allgemein mit Ja beantworten. Desweiteren wird behandelt wie solche entdimensionalisierten Modelle in geeigneter Weise reduziert werden können ohne wesentliche physikalische Eigenschaften zu verlieren.
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Notes
- 1.
MKS = MeterKilogrammStunde.
- 2.
cgs = CentimeterGrammSekunde.
- 3.
Buckingham, Edgar , 1867–1940, amerikanischer Physiker. Er beschäftigte sich mit Bodenphysik, Gasdynamik, Akustik, Fluidmechanik und Wärmestrahlung.
- 4.
LMT = LängeMasseZeit.
- 5.
Mit [α] wird die Dimension einer Größe α bezeichnet.
- 6.
\(y^{{\prime\prime}}:=\frac{d^{2}}{d\tau^{2}}y\).
- 7.
Das ist die allgemeine Form für eine formal asymptotische Entwicklung mit α beliebig. Im weiteren Verlauf dieses Kapitels betrachten wir immer α = 1.
- 8.
Denn es ist: \(\frac{\sin\frac{1}{\varepsilon}}{\sin\frac{1+\varepsilon\pi}{\varepsilon}}=\frac{\sin\frac{1}{\varepsilon}}{\sin(\frac{1}{\varepsilon}+\pi)}=\frac{\sin\frac{1}{\varepsilon}}{\sin\frac{1}{\varepsilon}\cos{\pi}}=-1\).
- 9.
Die Beschränktheit von d y ε ∕d ε in einer Umgebung von ε = 0 folgt hier iterativ aus der Theorie „Gewöhnlicher Differentialgleichungen“.
- 10.
Die in (2.18) auftretenden Parameter sind
Parameter
Dimension
2 ρ
1∕T
ω
1∕T
ω 0
1∕T
γ
L
Man löst
$$\begin{aligned}\displaystyle\bordermatrix{&2\rho&\omega&\omega _{0}&\gamma\cr T&-1&-1&-1&0\cr L&0&0&0&1}\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\\ a_{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix},\end{aligned}$$dann erhält man als dimensionslose Parameter \(\varepsilon=\frac{2\rho}{\omega}\) und ε 2 = ω/ω 0. Die intrinsischen Größen werden auf die gleiche Weise bestimmt.
- 11.
Van der Pol, Balthasar, 1889–1959, niederländischer Elektroingenieur und Physiker. Grundlegende Arbeiten zum deterministischen Chaos.
- 12.
Das heißt, wir setzen die nullte Näherung y 0 in die Van-der-Pol-Gleichung (2.22) ein. Dann ist die linke Seite identisch 0 und auf der rechten Seite verbleibt \(\varepsilon(1-y_{0}^{2})\, y^{{\prime}}_{0}\), da y 0 ja keine exakte Lösung von (2.22) ist. Wir prüfen nun, wie sich dieser verbleibende Term für ε → 0 verhält. Für die genaue Definition des Residuum siehe Definition 2.4.1.
- 13.
Das liegt am τ cos τ-Term in y 1 und an der Tatsache, dass wir ein unendliches Intervall [0, ∞ betrachten. Auf einem endlichen Intervall [0, T] würde die gleichmäßige Konvergenz erhalten bleiben.
- 14.
Benutzen Sie die Transformation z(s) = e −1/2 s a(s). Dann erhalten Sie aus der ersten Gleichung von (2.31) die DGL
$$\begin{aligned}\displaystyle z^{{\prime}}(s)=-\frac{1}{8}e^{{s}}z^{3}(s).\end{aligned}$$Durch Trennung der Variablen und Integration ergibt sich
$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\left[-\frac{1}{2}z^{{-2}}\right]_{0}^{{T_{1}}}=\left[-\frac{1}{8}e^{s}\right]_{0}^{{T_{1}}}\\ \displaystyle&\displaystyle\Rightarrow\quad\frac{1}{z^{2}(T_{1})}=\frac{1}{4}e^{{T_{1}}}-\frac{1}{4}-\frac{1}{z^{2}(0)}=\frac{1}{4}e^{{T_{1}}}-\frac{1}{4}-\frac{1}{\overline{y}^{2}}\\ \displaystyle&\displaystyle\Rightarrow\quad e^{{-t}}a^{2}(T_{1})=\frac{4\overline{y}^{2}}{\overline{y}^{2}e^{t}-\overline{y}^{2}+4}\quad\Rightarrow\quad a(T_{1})=\frac{2\overline{y}}{\sqrt{\overline{y}^{2}-(\overline{y}^{2}-4)e^{{-T_{1}}}}}.\end{aligned}$$ - 15.
\(\| x\| _{\infty}:=\sup _{{\tau\in[0,T]}}|x(\tau)|\).
- 16.
\(\| x\| _{\infty}:=\sup _{{\tau\in[0,T]}}|x(\tau)|\).
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© 2014 Springer Basel
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Hoffmann, KH., Witterstein, G. (2014). Grundlagen. In: Mathematische Modellierung. Mathematik Kompakt. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0650-9_2
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0650-9_2
Publisher Name: Birkhäuser, Basel
Print ISBN: 978-3-7643-9974-0
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