Primzahlen

Zusammenfassung

Wir kehren nun wieder zur Arithmetik zurück und widmen uns in diesem Kapitel den ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$. Da sich jede ganze Zahl als Produkt von Primzahlen  schreiben lässt, lenken wir unser Hauptaugenmerk darauf. Dabei sind Primzahlen diejenigen natürlichen Zahlen, die genau zwei natürliche Teiler haben, und zwar 1 und sich selbst. Anders gesagt sind Primzahlen die positiven Primelemente bzw. irreduziblen Elemente in $\mathbb {Z}$.

Übungsaufgaben

7.1

Zeige, für eine ungerade Primzahl $p=2k+1$:

• (a) $(k!)^2 \equiv (-1)^{k+1} \mathrm {mod}\, p$.

• (b) $2^2 \cdot 4^2 \cdot \ldots \cdot (p-3)^2 \cdot (p-1)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \mathrm {mod}\, p .$

• (c) $1^2 \cdot 3^2 \cdot \ldots \cdot (p-4)^2 \cdot (p-2)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \mathrm {mod}\, p .$

Hinweis: Satz von Wilson!

7.2

Seien A und B disjunkte nicht leere Mengen von Primzahlen. Seien weiter

$$a = \prod _{p \in A} p ~~~~\text {und}~~~~ b = \prod _{p \in B} p.$$

Zeige, dass $a + b$ durch eine Primzahl teilbar ist, die nicht in $A \cup B$ liegt. Insbesondere zeigt dies, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Kann man das gleiche Resultat auch mit $a - b$ erreichen?

7.3

Für alle $m, n \in \mathbb {N}$ setzen wir

$$B_{m, n} = m(n+1) - (n! + 1)$$

und

$$f(m, n) = \frac{n-1}{2}(\mid (B_{m, n}^2 - 1)\mid - (B_{m, n}^2 - 1)) + 2.$$

Zeige, dass f(m, n) immer eine Primzahl ist, dass jede Primzahl vorkommt, und dass jede ungerade Primzahl genau einmal vorkommt.

7.4

Sei $p > 5$ eine Primzahl. Zeige, dass dann $p^4 -1$ durch 240 teilbar ist.

7.5

• (a) Welchen Rest hat $4^{100}$ bei Division durch 7?

• (b) Welchen Rest hat 9! bei Division durch 10, und 10! bei Division durch 11, und 11! bei Division durch 12?

• (c) Seien $n \in \mathbb {N}$ und $n+1$ keine Primzahl. Was ist der Rest von n! bei Division durch $n+1$?

7.6

Sei $n \in \mathbb {N}$ und $n \ge 3$. Zeige, dass dann $\varphi (n)$ gerade ist.

7.7

Sei $p \in \mathbb {N}$ eine Primzahl und sei $2p+1$ keine Primzahl. zeige, dass es dann kein $x \in \mathbb {N}$ gibt, das die Gleichung $\varphi (x) = 2p$ erfüllt.

7.8

Bestimme für alle $i\in \{0,2,3,4\}$ jeweils das kleinste $x_{i}\in \mathbb {N}$, für das die Gleichung $\varphi (n) = x_{i}$ genau i Lösungen n hat⁷.

7.9

Zeige: Die Gleichung $\varphi (n^{2}) = k^{2}$ hat nur eine Lösung, und zwar $\varphi (1)=1$.

7.10

Ist die Eulersche $\varphi$-Funktion (als Abbildung von $\mathbb {N}$ nach $\mathbb {N}$) injektiv? Surjektiv? Monoton steigend?

7.11

Brahmagupta (598–668) war ein bedeutender indischer Mathematiker und Astronom (siehe [3] ab S. 133). Ihm wird folgende Aufgabe zugeschrieben:

Eine alte Frau geht über den Marktplatz. Ein Pferd tritt auf ihre Tasche und zerbricht die gekauften Eier. Der Besitzer des Pferdes möchte für den Schaden aufkommen und fragt deshalb, wie viele Eier in der Tasche waren. Die Frau kennt aber die genaue Zahl nicht mehr, sie erinnert sich nur:

Wenn sie beim Auspacken immer zwei Eier rausnimmt, bleibt genau ein Ei übrig. Das Gleiche geschieht, wenn sie die Eier immer zu dritt, zu viert, zu fünft, zu sechst aus der Tasche nimmt. Nur, wenn sie die Eier zu siebt aus der Tasche nimmt, bliebt kein Ei übrig.

Welche ist die kleinste Zahl an Eiern, die in der Tasche gewesen sein können?

7.12

Sei $n \in \mathbb {N}$. Zeige, dass dann $n^7-n$ ohne Rest durch 42 teilbar ist in $\mathbb {Z}$.