Adjungierte Operatoren

Zusammenfassung

Ähnlich wie ein normierter Vektorraum durch seinen Dualraum charakterisiert wird, wird auch ein linearer Operator durch einen „dualen“ – adjungierten – Operator charakterisiert. Dieses Kapitel befasst sich vor allem mit dem Zusammenhang zwischen den wichtigsten Eigenschaften (Stetigkeit, Injektivität, Surjektivität) eines linearen Operators und seines Adjungierten; das Hauptresultat darüber ist der Satz vom abgeschlossenen Bild.

Aufgaben

Aufgabe 9.1

Beispiele adjungierter Operatoren

Bestimmen Sie jeweils den adjungierten Operator zu

• (i) $\displaystyle A: \ell ^1 (\mathbb {K}) \rightarrow \ell ^1 (\mathbb {K}),\quad \{x_k\}_{k\in \mathbb {N}} \mapsto \left( \sum _{k=1}^\infty x_k, 0, 0, \dots \right)$;

• (ii) $\displaystyle B: \ell ^2 (\mathbb {K}) \rightarrow \ell ^2 (\mathbb {K}),\quad \{x_k\}_{k\in \mathbb {N}} \mapsto \left\{ \frac{1}{k^2} \sum _{j=1}^k x_j \right\} _{k\in \mathbb {N}}$.

Aufgabe 9.2

Rechenregeln für adjungierte Operatoren (Lemma 9.3 )

Seien X, Y, Z normierte Räume, $T_1, T_2 \in L(X, Y)$ und $S \in L(Y, Z)$. Dann gelten:

• (i) $(T_1 + T_2)^* = T_1^* + T_2^*$;

• (ii) $(\lambda T_1)^* = \lambda T_1^*$ für alle $\lambda \in \mathbb {K}$;

• (iii) $(S \circ T_1)^* = T_1^* \circ S^*$.

Aufgabe 9.3

Stetige Einbettungen

Seien X, Y normierte Räume mit $X\hookrightarrow Y$ dicht in Y. Zeigen Sie, dass der Einschränkungsoperator

$$\begin{aligned} R:Y^*\rightarrow X^*,\qquad y^* \mapsto y^*|_X, \end{aligned}$$

stetig und injektiv ist (d. h. $Y^*\hookrightarrow X^*$).

Aufgabe 9.4

Adjungierte Operatoren

Seien X und Y Banachräume und

• (i) entweder $A: X \rightarrow Y$ und $B: Y^* \rightarrow X^*$ gegeben, so dass

  $$\begin{aligned} \langle y^*, A(x) \rangle _Y = \langle B(y^*), x \rangle _X \quad \text {f}{\ddot{\mathrm{u}}}\text {r}\, \text {alle }\, x \in X\text { und }y^* \in Y^*, \end{aligned}$$

• (ii) oder $A: X \rightarrow Y^*$ und $B: Y \rightarrow X^*$ gegeben, so dass

  $$\begin{aligned} \langle A(x), y \rangle _Y = \langle B(y), x \rangle _X \quad \text {f}{\ddot{\mathrm{u}}}\text {r}\, \text {alle }\, x \in X\text { und }y \in Y. \end{aligned}$$

Zeigen Sie, dass in beiden Fällen A und B linear und stetig sind.

Aufgabe 9.5

Satz von Banach–Nečas–Babuška

Seien X und Y Banachräume. Zeigen Sie, dass ein Operator $T \in L(X, Y)$ genau dann invertierbar ist, wenn die folgenden beiden Eigenschaften gelten:

• (i) es existiert ein $\alpha > 0$ mit

  $$\begin{aligned} \Vert Tx\Vert _Y \ge \alpha \Vert x\Vert _X \quad \text {f}{\ddot{\mathrm{u}}}\text {r}\, \text {alle }\, x \in X; \end{aligned}$$

• (ii) $\ker T^* = \{0\}$.

Zeigen Sie weiter, dass aus diesen Eigenschaften insbesondere $\Vert T^{-1}\Vert _{L(Y, X)} \le \alpha ^{-1}$ folgt.