Lineare Funktionale und Dualräume

Zusammenfassung

Stetige lineare Funktionale auf einem normierten Vektorraum verallgemeinern die Komponentenauswertung von endlichdimensionalen Vektoren und bilden dessen Dualraum; diese Begriffe stellen fundamentale Werkzeuge in der Funktionalanalysis dar. Dieses Kapitel ist der Darstellung solcher Funktionale auf Folgen-, Funktionen-, und Quotientenräumen gewidmet.

Aufgaben

Aufgabe 7.1

Normen von Funktionalen

Berechnen Sie die Operatornorm folgender linearer Funktionale:

• (i) $x^*\in \ell ^1(\mathbb {R})^*$ mit $\langle x^*, x \rangle _1 := \sum _{k=1}^\infty (1-\frac{1}{k})x_k$ für alle $x\in \ell ^1(\mathbb {R})$.

• (ii) $x^*\in c_0(\mathbb {R})^*$ mit $\langle x^*, x \rangle _{c_0} := \sum _{k=1}^\infty \frac{1}{2^{k-1}} x_k$ für alle $x\in c_0(\mathbb {R})$.

Wird das Supremum in der Definition der Operatornorm jeweils angenommen?

Aufgabe 7.2

Kern unbeschränkter Funktionale

Sei X ein normierter Vektorraum und $f:X\rightarrow \mathbb {K}$ ein unbeschränktes lineares Funktional. Zeigen Sie, dass dann $\ker f$ dicht in X ist, aber $\ker f\ne X$ gilt.

Aufgabe 7.3

Der Dualraum von $c_0(\mathbb {K})$

Zeigen Sie, dass die Abbildung T: $\ell ^1(\mathbb {K}) \rightarrow c_0(\mathbb {K})^*$,

$$\begin{aligned} \langle Tx, y \rangle _{c_0} = \sum _{k = 1}^\infty x_k y_k, \end{aligned}$$

ein isometrischer Isomorphismus ist, d. h. $c_0(\mathbb {K})^* \cong \ell ^1(\mathbb {K})$.

Aufgabe 7.4

Der Dualraum von $c(\mathbb {K})$

• (i) Zeigen Sie, dass die Abbildung $T:\mathbb {K}\times \ell ^1(\mathbb {K})\rightarrow c(\mathbb {K})^*$,

  $$\begin{aligned} \langle T(a,x), y \rangle _{c} = a\lim _{k\rightarrow \infty }y_n + \sum _{k=1}^\infty x_k y_k \end{aligned}$$

  ein isometrischer Isomorphismus ist.

  Hinweis: Wählen Sie eine geeignete Norm auf $\mathbb {K}\times \ell ^1(\mathbb {K})$.

• (ii) Folgern Sie daraus, dass die Dualräume von $c(\mathbb {K})$ und $c_0(\mathbb {K})$ isometrisch isomorph sind.