Die Fredholm-Alternative

Zusammenfassung

Die Fredholm-Alternative gibt an, wann eine Eigenwertgleichung für kompakte Operatoren eine eindeutige Lösung hat.

Aufgaben

Aufgabe 13.1

Invertierbar plus kompakt ist Fredholm

Sei $S\in L(X)$ invertierbar und $T\in K(X)$ kompakt. Zeigen Sie, dass dann $S+T$ ein Fredholm-Operator ist.

Aufgabe 13.2

Kompakte Operatoren sind nicht Fredholm

Sei X ein unendlichdimensionaler Banachraum und $T\in K(X)$. Zeigen Sie, dass dann T kein Fredholmoperator ist.

Hinweis: Verwenden Sie Satz 6.4.

Aufgabe 13.3

Fredholmoperatoren auf $\ell ^p$

Zeigen Sie: Die Shift-Operatoren

$$\begin{aligned} S_+: (x_0,x_1,x_2,x_3,\dots )&\mapsto (0,x_0,x_1,x_2,\dots ) \quad \text {und}\\ S_-: (x_0,x_1,x_2,x_3,\dots )&\mapsto (x_1,x_2,x_3,x_4,\dots ) \end{aligned}$$

sind für $1 \le p \le \infty$ Fredholmoperatoren auf den Folgenräumen $\ell ^p(\mathbb {K})$ mit ${{\,\mathrm{\mathrm {ind}}\,}}S_+ = 1$ und ${{\,\mathrm{\mathrm {ind}}\,}}S_- = -1$.

Aufgabe 13.4

Ableitung als Fredholmoperator

Zeigen Sie, dass der Ableitungsoperator

$$ T:C^1([0,1]) \rightarrow C([0,1]),\qquad f \mapsto f', $$

ein Fredholmoperator ist, und berechnen Sie ${{\,\mathrm{\mathrm {ind}}\,}}T$.