Schwache Konvergenz

Zusammenfassung

Die schwache Konvergenz in einem normierten Vektorraum verallgemeinert die komponentenweise Konvergenz in endlichdimensionalen Vektorräumen und ersetzt damit die oft fehlende Konvergenz bezüglich der Norm. In diesem Kapitel werden die wesentlichen Aussagen über diesen Konvergenzbegriff gezeigt, darunter die Sätze von Banach–Alaoglu und Eberlein–Smulian.

Aufgaben

Aufgabe 11.1

Schwache Konvergenz und Operatoren

Seien X, Y Banachräume und $\{x_n\}_{n\in \mathbb {N}}\subset X$ mit $x_n\, \mathop {\rightharpoonup }\, x\in X$. Zeigen Sie, dass dann für $T \in L(X, Y)$ auch $Tx_n\,\mathop {\rightharpoonup }\, Tx$ gilt.

Aufgabe 11.2

Schwache Cauchy-Folgen

Sei X ein reflexiver Banachraum und $\{x_n\}_{n\in \mathbb {N}}\subset X$ eine schwache Cauchy-Folge, d. h. die Folge $\{\langle x^*, x_n \rangle _X\}_{n\in \mathbb {N}}\subset \mathbb {K}$ ist eine Cauchy-Folge für alle $x^*\in X^*$. Zeigen Sie, dass dann $\{x_n\}_{n\in \mathbb {N}}$ schwach konvergiert.

Aufgabe 11.3

Schwache Konvergenz und dichte Teilmengen

Zeigen Sie, dass eine beschränkte Folge $\{x_n\}_{n\in \mathbb {N}}$ in einem normierten Raum X genau dann schwach gegen $x \in X$ konvergiert, wenn es eine Teilmenge $D \subset X^*$ gibt mit ${\mathrm {cl }}\,({{\,\mathrm{\mathrm {span}}\,}}D) = X^*$ und

$$ \lim _{n\rightarrow \infty } \langle x^*, x_n \rangle _X = \langle x^*, x \rangle _X \quad \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r}\,\text {alle}\, x^* \in D. $$

Aufgabe 11.4

Schwache Konvergenz

Bestimmen Sie, ob und wenn ja, gegen welchen Grenzwert die folgenden $\{x_n\}_{n\in \mathbb {N}}\subset \ell ^2(\mathbb {K})$ schwach in $\ell ^2(\mathbb {K})$ konvergieren:

• (i) $x_n := a + e_n$ für gegebenes $a\in \ell ^2(\mathbb {K})$, wobei $e_n$ die Einheitsvektoren in $\ell ^2(\mathbb {K})$ bezeichnen;

• (ii) $x_n := ne_n$.

Aufgabe 11.5

Schwach- $*$ Konvergenz

Sei $\{a_k\}_{k\in \mathbb {N}}\in \ell ^\infty (\mathbb {K})$ und betrachte die Folge $\{x_n\}_{n\in \mathbb {N}}\subset \ell ^\infty (\mathbb {K})$,

$$ x_n:=(0,\dots , 0,a_{n+1}, a_{n+2},\dots ), $$

d. h. $(x_n)_k = 0$ für alle $k\ne n$. Zeigen Sie, dass $x_k\, \mathop {\rightharpoonup }^*\, 0$ gilt.

Aufgabe 11.6

Schwach- $*$ Konvergenz der Ableitung

Für alle $\varepsilon > 0$ und $x \in C^1([-1,1])$ sei

$$ f_\varepsilon (x) = \frac{1}{2\varepsilon }\big (x(\varepsilon ) - x(-\varepsilon )\big ) \quad \text {und}\quad f_0(x) = x'(0), $$

wobei $C^1([-1,1])$ mit der Norm $\Vert x\Vert _{C^1} = \Vert x\Vert _\infty + \Vert x'\Vert _\infty$ versehen sei. Zeigen oder widerlegen Sie:

• (i) $f_\varepsilon \in C^1([-1,1])^*$ für alle $\varepsilon \ge 0$;

• (ii) $f_{\varepsilon _n} \,\mathop {\rightharpoonup }^*\, f_0$ für jede Nullfolge $\{\varepsilon _n\}_{n\in \mathbb {N}} \subset [0,\infty )$;

• (iii) $f_{\varepsilon _n} \rightarrow f_0$ für jede Nullfolge $\{\varepsilon _n\}_{n\in \mathbb {N}} \subset [0,\infty )$.

Aufgabe 11.7

Nicht schwach- $*$ abgeschlossene Mengen

Geben Sie ein Beispiel an für eine Menge, die abgeschlossen und konvex aber nicht schwach-$*$ abgeschlossen ist.

Hinweis: Es muss sich um eine Teilmenge eines nichtreflexiven Dualraums handeln, und Kerne linearer Operatoren sind stets abgeschlossen und konvex.

Aufgabe 11.8

Satz von Mazur

Sei X ein normierter Raum und $\{x_n\}_{n\in \mathbb {N}}\subset X$ mit $x_n \, \rightharpoonup \, x$. Zeigen Sie: Dann existiert eine Folge $\{y_n\}_{n\in \mathbb {N}} \subset X$ von Konvexkombinationen

$$ y_n = \sum _{k=1}^{N_n} \lambda _{n, k}x_k \quad \text { mit }\quad \sum _{k=1}^{N_n} \lambda _{n, k} = 1,\quad \lambda _{n, k} \ge 0,\quad N_n \in \mathbb {N}, $$

mit $y_n \rightarrow x$.

Hinweis: Betrachten Sie die konvexe Hülle

$$ \mathrm {co}\,\{x_n\}_{n\in \mathbb {N}} := \left\{ \sum _{k=1}^N \lambda _k x_k: \sum _{k=1}^N \lambda _k = 1,\, \lambda _k \ge 0,\, N \in \mathbb {N}\right\} . $$