Reflexivität

Zusammenfassung

Ein normierter Vektorraum ist reflexiv, wenn er mit dem Dualraum seines Dualraums identifiziert werden kann. Dieses Kapitel gibt wichtige Situationen an, in denen dies möglich ist.

Aufgaben

Aufgabe 10.1

Operatornorm in reflexiven Räumen

Sei X ein reflexiver Banachraum. Zeigen Sie, dass gilt

$$ \Vert x^*\Vert _{X^*} = \max _{x\in B_X} {\mid }\langle x^*,x \rangle _X{\mid } \qquad \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r}\,\text {alle}\, x^*\in X^*, $$

d. h. das Maximum in der Definition der Operatornorm wird stets angenommen.

Aufgabe 10.2

Operatornorm in nicht-reflexiven Räumen

Sei $x^*\in c_0(\mathbb {R})$ gegeben durch

$$ \langle x^*, x \rangle _X := \sum _{k=1}^\infty 2^{-k}x_k\qquad \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r}\,\text {alle}\, x\in c_0(\mathbb {R}). $$

Zeigen Sie, dass für $x^*$ das Supremum in der Operatornorm nicht angenommen wird.

Aufgabe 10.3

Reflexivität von Quotientenräumen

Sei X ein reflexiver Banachraum und $U\subset X$ ein abgeschlossener Unterraum. Zeigen Sie, dass dann auch X/U reflexiv ist.

Aufgabe 10.4

Nicht-adjungierte Operatoren

• (i) Seien X, Y normierte Räume. Zeigen Sie, dass $S \in L(Y^*, X^*)$ genau dann ein adjungierter Operator ist, wenn

  $$ {\mathrm {ran}\,}(S^* \circ J_X) \subset {\mathrm {ran}\,}J_Y $$

  gilt, wobei $J_X$ die kanonische Einbettung von X in $X^{**}$ bezeichnet.

• (ii) Geben Sie ein Beispiel für einen stetigen linearen Operator an, der kein adjungierter Operator ist.