Abstract
During his life Weyl approached the problem of space (PoS) from various sides. Two aspects stand out as permanent features of his different approaches: the unique determination of an affine connection (i.e., without torsion in the terminology of Cartan) and the question which type of group characteries physical space. The first feature came up in 1919 (commentaries to Riemann’s inaugural lecture) and played a crucial role in Weyl’s work on the PoS in the early 1920s. He defended the central role of affine connections even in the light of Cartan’s more general framework of connections with torsion. In later years, after the rise of the Dirac field, it could have become problematic, but Weyl saw the challenge posed to Einstein gravity by spin coupling primarily in the possibility to allow for non-metric affine connections. Only after Weyl’s death Cartan’s approach to infinitesimal homogeneity and torsion became revitalied in gravity theories.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Notes
- 1.
“Für den Mathematiker handelt es sich darum, das quantitativ, in logisch- arithmetischen Relationen Erfaßbare am Wesen des Raumes und der räumlichen Struktur richtig zu erkennen und mit den Hilfsmitteln der Logik, Arithmetik und Analysis auf seine einfachsten Gründe zurückzuführen” (Weyl 1922a, 206).
- 2.
- 3.
See the contribution of S. de Bianchi, Chap. 7, this volume.
- 4.
Scholz (2018).
- 5.
“Man kommt so zu der folgenden Formulierung des Homogeneitätspostulats im n- dimensionalen Raum: Es soIl möglich sein, mit Hilfe einer zur Gruppe G gehörigen Abbildung ein System Σ inzidenter Richtungselemente der 0ten bis (n − 1)ten Stufe in ein gleichartiges, beliebig vorgegebenes System Σ/ überzuführen; aber die Identität soll unter den Abbildungen von G die einzige sein, welche ein derartiges System Σ inzidenter Richtungselemente festläßt” (Weyl 1923b, 100).
- 6.
“Von einem tieferen, gruppentheoretischen Gesichtspunkt aus hat Helmholtz zuerst die Homogeneitätsfrage gestellt. Helmholtz setzt nicht die Gültigkeit des Pythagoreischen Lehrsatzes im Unendlichkleinen, ja nicht einmal die Meßbarkeit der Linienelemente voraus; er spricht allein von dem wahren Grundbegriff der Geometrie, der Gruppe G der kongruenten Abbildungen des Raumes.” (Weyl 1923b, 100).
- 7.
“Es ist eine wunderbare gruppentheoretische Tatsache, die von Helmholtz, strenger und allgemeiner von S. Lie bewiesen wurde, daß die einzigen dieser Bedingung genügenden Gruppen G die Gruppen Gλ … [sind]” ibid. By Gλ Weyl denoted the congruence groups of hyperbolic, parabolic, or elliptic geometry (in the terminology introduced by F. Klein).
- 8.
Similarly in the 5th edition of Raum – Zeit – Materie, where he characterized the “nature” of a Riemannian metric by its signature and its “orientation” by the point dependent value of the respective quadratic differential form (Weyl 1923b, 102). In the 4th edition (translated into English and French) he still fought more indirectly with the problem that space as “a form of phenomena … is necessarily homogeneous”, while the Riemannian metric is not (Weyl 1922b, 96ff.).
- 9.
“Ich komme jetzt zum synthetischen Teil im KANTischen Sinne. Da gilt es, das früher angedeutete Postulat präzis zu formulieren, das die für die wirkliche Welt charakteristische Art der Drehungsgruppe festlegen soll” (Weyl 1923a, 49), emph. in original.
- 10.
(Scheibe 1957)
- 11.
For more details see the literature cited in fn. 2.
- 12.
Speaking in global terms, Weyl would surely have assumed a transitive diffeomorphism group of the spacetime manifold.
- 13.
Similar in (Weyl 1949, 87).
- 14.
Cf. (Scholz 2018).
- 15.
- 16.
“Or, c’est le développement même de la théorie de la relativité, liée par l’obligation paradoxale d’interpréter dans et par un Univers non homogène les résultats de nombreuses expériences faites par des observateurs qui croyaient à l’homogenéité de cet Univers, qui permit de combler en partie le fosse qui separait les espaces de Riemann de l’espace euclidien. Le premier pas dans cette voie fut l’oeuvre de M. Levi-Civita, par l’introduction de sa notion de parállelisme.” (Cartan 1924, 86))
- 17.
“… si un espace de Riemann ne possede pas une homogeneite absolue, il possede cependant une sorte d’homogeneite infinitesimale; au voisinage immediat d’un point donne il est assimilable a une espace euclidien” (Cartan 1924, 85).
- 18.
In the Euclidean case G ≅ ℝn ⋊ SO(n, ℝ), with H = SO(n, ℝ), thus S = G/H ≅ ℝn.
- 19.
Cf. (Sharpe 1997).
- 20.
\( {\Gamma}_{\mu \nu}^{\uplambda}-{\Gamma}_{\nu \mu}^{\uplambda}={T}_{\nu \mu}^{\uplambda} \) is the torsion tensor, i.e., the translational curvature expressed in coordinate coefficients.
- 21.
Cf. (Scholz 2016).
- 22.
For a survey see (Scholz 2016); a more refined evaluation of the correspondence is being prepared by C. Eckes and P. Nabonnand.
- 23.
“Und darauf beruht wohl überhaupt die mathematische Bedeutung seines allgemeinen Schemas: es erreicht den natürlichen weitesten Umfang der Begriffsbildung, welche die Aufstellung einer Krümmungstheorie analog der Riemannschen noch ermöglicht” (Weyl 1925/1988, 39).
- 24.
In the same article he reiterated that he still stood to the content of his PoS21–23: “Das neue gruppentheoretische Raumproblem, das vom Standpunkt der Relativitätstheorie an Stelle des Helmholtz-Lie’schen tritt, glaube ich in meiner Schrift “Mathematische Analyse des Raumproblems” (1923, Vorlesung 7 und 8) formuliert und gelöst zu haben.” (Weyl 1925/1988, 37)
- 25.
“Es entsteht eine unendlich kleine Parallelogrammfigur” (Weyl 1918c, 7).
- 26.
Die Geometrie “ergründet, was im Wesen der metrischen Begriffe liegt” (Weyl 1918c, 2). In the paper presenting his purely infinitesimal geometry to physicists (as the geo- metrical background for his unified field theory) Weyl introduced the affine connection in more concrete form and axiomatically (Weyl 1918a, 32), (Weyl 1918/1997, 26).
- 27.
“Bei der fundamentalen Bedeutung, die nach den neueren Untersuchungen (…) dem affine Grundbegriff der infinitesimalen Parallelverschiebung eines Vektors für den Aufbau der Geometrie zukommt, erhebt sich insbesondere die Frage, ob die Mannigfaltigkeiten der Pythagoreischen Raumklasse die einzigen sind, welche die Aufstellung dieses Begriffs ermöglichen und welche dementsprechend nicht bloß eine Metrik, sondern auch affine Zusammenhang besitzen. Die Antwort lautet wahrscheinlich bejahend, ein Beweis dafür ist aber bisher nicht erbracht worden.” (Riemann/Weyl 1919, 27).
- 28.
Cartan discussed this point in his investigation of Weyl’s PoS in slightly different terms (Cartan 1923b, §3).
- 29.
In the modern understanding of Cartan spaces this is an indispensable property inbuilt in the definition of a Cartan gauge, e.g. (Sharpe 1997, 174). Note that Weyl’s “T P” stood for for \( \mathfrak{l} \) in the function of what would now be considered the tangent space of the translative subgroup in the fibre direction.
- 30.
For that Weyl drew upon the results of the Princeton school of differential geometry, A.L. Eisenhart, O. Veblen, T.Y Thomas, intending to build bridges between the “French” (E. Cartan) and the “US” (Princeton school) traditions in differential geometry.
- 31.
\( {l}_2=\left({\overline{\psi}}_3{\psi}_1+{\overline{\psi}}_4{\psi}_2\right)\left({\overline{\psi}}_1{\psi}_3+{\overline{\psi}}_2{\psi}_4\right) \). The “laborious calculations” seem to have been presented in the manuscript (not preserved) for the publication (Weyl 1948a). K. Chandrasekharan, the editor of Weyl’s Gesammelte Abhandlungen remarks about this paper that “due to typographical errors, it is incomprehensible” (Weyl 1968, vol. 4, p. 285, footnote). It was therefore not reprinted in the edition.
- 32.
“The dual nature of reality accounts for the fact that we cannot design a theoretical image of being except upon the background of the possible. Thus the four-dimensional continuum of space and time is the field of the a priori existing possibilities of coincidences.” (Weyl 1949, 231).
- 33.
For a rich collection of sources with detailed commentaries from the theoretical physics side see (Blagojevic and Hehl 2013).
- 34.
See A. Afriat’s paper, this volume.
- 35.
To be more precise: Sciama presupposed an Einsteinean background and gained spin as an additional current, modifying Einstein gravity to what was later called Einstein-Cartan gravity. Kibble, on the other hand, started from localizing the symmetries of Minkowski space and considered different Lagrangians, the simplest of which led to Einstein-Cartan theory (Blagojevic and Hehl 2013, 106).
- 36.
- 37.
- 38.
- 39.
- 40.
- 41.
The so-called teleparallel version of Cartan geometric gravity rearranges the coordi- nation between Noether currents and dynamical equations: Energy-momentum becomes the source of translational curvature and the spin current of the rotational curvature, rather than the other way round as in EC gravity. In oral communications D. Lehmkuhl has indicates that teleparallel gravity may be an interesting example of a principled (in contrast to temporal) underdetermination of empirically equivalent gravity theories.
References
Bernard, Julien. 2013. L’ idéalisme dans l’ infinitésimal. Weyl et l’ espace à l’ époque de la rélatvité. Paris: Presse Universitaires de Paris Ouest.
———. 2015. La redécouverte des tapuscrits des conférences d’Hermann Weyl à Barcelone. Revue d’ histoire des mathématiques 21 (1): 151–171.
Blagojević, Milutin, and Friedrich W. Hehl. 2013. Gauge theories of gravitation. A reader with commentaries. London: Imperial College Press.
Cartan, Élie. 1922. Sur une généralisation de la notion de courbure de Riemann et les espaces à torsion. Comptes Rendus Académie des Sciences 174: 593–595. In (Cartan 1952ff., III, 616–618).
———. 1923a. Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée. Annales de l’École Normale 40: 325–421. In (Cartan 1952ff., III, 659–746).
———. 1923b. Sur un théoréme fondamental de M. H. Weyl. Journal des Mathématiques pures et appliquées 2: 167–192. In (Cartan 1952ff., III, 633–658).
———. 1924. “La théorie des groupes et les recherches récentes de géométrie différentielle” (Conférence faite au Congrès de Toronto). In Proceedings of International Mathematical Congress Toronto. Vol. 1. Toronto 1928, 85–94. L’enseignement mathématique t. 24, 1925, 85–94. In (Cartan 1952ff., III, 891–904).
———. 1952. Oeuvres Complètes. Paris: Gauthier-Villars.
Cogliati, Alberto. 2015. Continuous groups and geometry frorn Lie to Cartan. Preprint to appear In Mathematics: Place, production and publication, ed. J. Barrow-Green e.a., 1730–1940.
Coleman, Robert, and Herbert Korté. 2001. Hermann Weyl: Mathematician, physicist, philosopher. In Hermann Weyl’s Raum – Zeit – Materie and a general introduction to his scientific work, ed. E. Scholz, 161–388. Basel: Birkhäuser.
Deppert, W. e.a. (eds.). 1988. Exact sciences and their philosophical foundations. Exakte Wissenschaften und ihre philosophische Grundlegung. Vorträge des Internationalen Hermann-Weyl-Kongresses, Kiel 1985. Frankfurt/Main: Peter Lang. Weyl, Kiel Kongress 1985.
Einstein, Albert. 1925. Einheitliche Feldtheorie von Gravitation und Elektrizität. In Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu, Berlin, 414–419.
Friedman, Michael. 1999. Reconsidering logical positivism. Cambridge: University Press.
Hehl, Friedrich. 1970. Spin und Torsion in der allgemeinen Relativi-tätstheorie oder die Riemann-Cartansche Geometrie der Welt. Habilitations-schrift, Mimeograph. Technische Universität Clausthal.
Hehl, Friedrich W. 2017. Gauge theory of gravity and spacetime. In Toward a theory of spacetime theories, ed. D. Lehmkuhl e.a. Basel: Birkhäuser.
Hehl, Friedrich, Paul von der Heyde, Kerlick G. David, and J.M. Nester. 1976. General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects. Reviews of Modern Physics 48: 393–416.
Kibble, Thomas. 1961. Lorentz invariance and the gravitational field. Journal for Mathematical Physics 2: 212–221. In (Blagojevic/Hehl 2013, chap. 4).
Laugwitz, Detlef. 1958. Über eine Vermutung von Hermann Weyl zum Raumproblern. Archiv der Mathematik 9: 128–133.
Nabonnand, Philippe. 2005. Correspondance Cartan – Weyl sur les connexions. Cartan to Weyl Oct 9, 1922, Jan 5, 1930, Dec. 19, 1930, Weyl to Cartan Nov. 24, 1930. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01095190.
———. 2016. L’apparition de la notion d’espace généralisé dans les travaux d’Élie Cartan en 1922. In Eléments d’une biographie de l’Espace géométrique, ed. L. Bioesmat Martagon, 313–336. Nancy: Editions Universitaires de Lorraine.
O’Raifeartaigh, Lochlainn. 1997. The Dawning of gauge theory. Princeton: University Press.
Riemann, Bernhard. 1919. Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Neu herausgegeben und eingeleitet von H. Weyl. Berlin etc.: Springer. Weitere Auflagen: 21919, 31923.
Scheibe, Erhard. 1957. Über das Weylsche Raumproblern. Journal für Mathematik 197:162–207. Dissertation Universität Göttingen.
———. 1988. Hermann Weyl and the nature of spacetime. In Deppert e.a. 1988, 61–82.
Scholz, Erhard. 2004. Hermann Weyl’s analysis of the “problem of space” and the origin of gauge structures. Science in Context 17: 165–197.
———. 2016. The problem of space in the light of relativity: The views of H. Weyl and E. Cartan. In Eléments d’une biographie de l’espace mathématique, ed. L. Bioesmat-Martagon, 255–312. Nancy: Edition Universitaire de Lorraine. arXiv:1412.0430.
———. 2018. Weyl’s search for a difference between ‘physical’ and ‘mathematical’ automorphisms. Studies in History and Philosophy of Modern Physics 61–1. arXiv 1510: 00156.
Sciama, Dennis W. 1962. On the analogy between charge and spin in general relativity. In Recent developments in general relativity, ed. Festschrift for L. Infeld, 415–439. Oxford/Warsaw: Pergamon and PWN. In (Blagojević/Hehl 2013, chap. 4).
Sharpe, Richard W. 1997. Differential geometry: Cartan’s generalization of Klein’s Erlangen program. Berlin: Springer.
Sigurdsson, Skúli. 1991. Hermann Weyl, mathematics and physics, 1900–1927. Cambridge, MA: PhD Dissertation, Harvard University.
Trautman, Andrzej. 1973. On the structure of the Einstein-Cartan equations. Symposia Mathematica 12: 139–162. Relativitá convegno del Febbraio del 1972.
———. 2006. Einstein-Cartan theory. In Encyclopedia of mathematical physics, ed. J.-P. Françoise, G.L. Naber, S.T. Tsou, vol. 2, 189–195. Oxford: Elsevier. In (Blagojević/Hehl 2013, chap. 4).
Weyl, Hermann. 1918/1997. Gravitation and electricity. In The Dawning of gauge theory, ed. L. O’Raifeartaigh, 23–37. Princeton: University Press. (English translation of (Weyl 1918a)).
———. 1918a. Gravitation und Elektrizität. In Sitzungsberichte der Königlich Preußischen. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 465–480. In (Weyl 1968, II, 29–42) English in (O’Raifeartaigh 1997, 24–37).
———. 1918b. Raum, − Zeit – Materie. Vorlesungen über allgemeine Relativitätstheorie. Berlin: Springer. Further editioins: 21919, 31919, 41921, 51923, 61970, 71988, 81993. English and French translations from the 4th ed. in 1922.
———. 1918c. Reine Infinitesimalgeometrie. Mathematische Zeitschrift 2: 384–411. In (Weyl 1968, II, 1–28).
———. 1921. Raum, − Zeit – Materie. Vorlesungen über allgemeine Relativitätstheorie. Vierte, erweiterte Auftage. Berlin: Springer.
———. 1922a. Das Raumproblem. Jahresbericht DMV 31: 205–221. In (Weyl 1968, II, 328–344).
———. 1922b. Space – Time – Matter. Translated from the 4th German edition by H. Brose. London: Methuen. Reprint New York: Dover, 1952.
———. 1923a. Mathematische Analyse des Raumproblems. Vorlesungen gehalten in Barcelona und Madrid. Berlin: Springer. Reprint Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft 1963.
———. 1923b. Raum – Zeit – Materie, 5. Auflage. Berlin: Springer.
———. 1925/1988. Riemanns geometrische Ideen, ihre Auswirkungen und ihre Verknüpfung mit der Gruppentheorie, ed. K. Chandrasekharan. Berlin: Springer.
———. 1929a. Elektron und Gravitation. Zeitschrift für Physik 56: 330–352. In (Weyl 1968, III, 245–267). English in (O’Raifeartaigh 1997, 121–144).
———. 1929b. On the foundations of infinitesimal geometry. Bulletin American Mathematical Society 35: 716–725. In (Weyl 1968, III, 207–216).
———. 1948a. A remark on the coupling of gravitation and electron. Actas de la Academia Nacional de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales de Lima 11: 1–17. (not contained in (Weyl 1968)).
———. 1948b/49. Similarity and congruence: A chapter in the epistemology of science. ETH Bibliothek, Hochschularchiv Hs 91a:31, 23 Bl. In (Weyl 1955, 3rd ed. 2016).
———. 1949. Philosophy of mathematics and natural science. Princeton: University Press. 21950, 32009.
———. 1950. A remark on the coupling of gravitation and electron. The Physical Review 77: 699–701. In (Weyl 1968, III, 286–288).
———. 1955. Symmetrie. Ins Deutsche übersetzt von Lulu Bechtolsheim. Basel/Berlin: Birkhäuser/Springer. 21981, 3. Auflage 2017: Ergänzt durch einen Text aus dem Nachlass ‘Symmetry and congruence’.
———. 1968. Gesammelte Abhandlungen, 4 vols. Ed. K. Chandrasekharan. Berlin etc.: Springer.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Editor information
Editors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 2019 Springer Nature Switzerland AG
About this chapter
Cite this chapter
Scholz, E. (2019). The Changing Faces of the Problem of Space in the Work of Hermann Weyl. In: Bernard, J., Lobo, C. (eds) Weyl and the Problem of Space. Studies in History and Philosophy of Science, vol 49. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-11527-2_8
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-11527-2_8
Published:
Publisher Name: Springer, Cham
Print ISBN: 978-3-030-11526-5
Online ISBN: 978-3-030-11527-2
eBook Packages: Religion and PhilosophyPhilosophy and Religion (R0)