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Entre phénoménologie et intuitionnisme: la définition du continu

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Weyl and the Problem of Space

Part of the book series: Studies in History and Philosophy of Science ((AUST,volume 49))

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Abstract

Notre objet est ici de comprendre, à travers l’exemple de Hermann Weyl et de son travail en philosophie des mathématiques, ce qui constitue la spécificité d’une philosophie ou d’une épistémologie des mathématiques qui soit de style proprement phénoménologique, et de ressaisir les traits caractéristiques par lesquels elle se distingue tant d’une épistémologie historique (Brunschvicg, Bachelard, Koyré) qui tente de déchiffrer dans l’histoire les étapes de la construction de la raison mathématique ou les moments de mutation de la rationalité mathématicienne, que d’une philosophie des mathématiques de type logico-syntaxique (Hilbert, Frege, Russell, Carnap) qui tente d’éclairer la teneur eidétique des objets mathématiques grâce à l’examen des systèmes de propositions qui portent sur de tels objets. En quoi, donc, le travail de Weyl en philosophie des mathématiques relève-t-il d’une position proprement phénoménologique ? Quels sont, dans la démarche de Weyl, les traits spécifiquement phénoménologiques qui, par généralisation, permettent de faire le partage rigoureux entre une philosophie des mathématiques qui est bien phénoménologique et une autre qui ne l’est pas ?

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Notes

  1. 1.

    Husserl, Brief an Weyl, 10. IV. 1918, in Briefwechsel, VII, 287.

  2. 2.

    Ibid.

  3. 3.

    Ibid.

  4. 4.

    Husserl, Logische Untersuchungen, VI. Unters., § 60, Hua XIX/1, 713 (trad. fr. H. Élie et alii, Recherches logiques, III, Paris, Puf, 19742, p. 221).

  5. 5.

    L.E.J. Brouwer, “Intuitionnisme et formalisme” (Amsterdam, 1912), Bull. Amer. Math. Soc., 20 (1913), p. 85–86, trad. angl. “Intuitionism and formalism” in Brouwer, Collected Works (= CW), vol. 1, Amsterdam-Oxford, North Holland Publishing Company, 1975, p. 127–128 (trad. fr. J. Largeault in Intuitionnisme et théorie de la démonstration, Paris, Vrin, 1992, p. 43–44). Nous vérifions systématiquement, et parfois corrigeons les traductions de J. Largeault.

  6. 6.

    H. Bergson, Essai sur les données immédiates de la conscience, Paris, Puf, 1927 (20079), p. 57 sqq.

  7. 7.

    Nous empruntons cette dénomination à J. Vuillemin qui, dans La philosophie de l’algèbre, (Paris, Puf, 19932, p. 495), l’applique curieusement à Husserl, et non à Brouwer.

  8. 8.

    Husserl, Ideen zu einer reinen Phänomenologie, Bd. I, § 24, Hua III/1, 51 (trad. fr. P. Ricœur, Idées directrices pour une phénoménologie pure, Paris, Gallimard, 1950, p. 78–79).

  9. 9.

    R. Dedekind, Stetigkeit und irrazionale Zahlen (1872), § 3, in Gesammelte mathematische Schriften (= GMS), Band III, Braunschweig, Vieweg, 1932, p. 322 (trad. fr. H. Benis Sinaceur, Continuité et nombres irrationnels in Dedekind, La création des nombres, Paris, Vrin, 2008, p. 71–72), et la lumineuse Note introductive de la traductrice, p. 36 sqq.

  10. 10.

    Husserl, „„ <Zum Begriff der Operation> “, Hua XII, V. Abhandl., 409 (trad. fr. J. English, « Sur le concept d’opération » in Husserl, Articles sur la logique, Paris, Puf, 1975, p. 476).

  11. 11.

    Loc. cit., Hua XII, 385–386 (trad. fr., 454–455). Une telle détermination des ensembles est évidemment insuffisante : seule la théorie abstraite des ensembles thématise ces derniers dans l’abstrait, en laissant indéterminées les propriétés caractéristiques des éléments qui appartiennent à tel ou tel ensemble ; dans la pratique mathématique en revanche, la considération de ces propriétés est primordiale, puisque ces dernières seules définissent un ensemble comme tel. Husserl en était cependant conscient, puisqu’il écrivait dans une note au texte cité : « Il est bien plus utile d’introduire avec Bolzano, au lieu de quelque chose, “quelque chose du genre A”, mais de laisser A indéterminé et pourtant constant, de sorte que son nom n’ait pas à intervenir dans les considérations » (Hua XII, 388, trad. fr., 457).

  12. 12.

    Loc. cit., Hua XII, 389 (trad. fr., 457).

  13. 13.

    G. Frege, Die Grundlagen der Arithmetik, §§ 38 et 34, Breslau, Koebner, 1884, p. 49–50 et 44–46 (trad. fr. C. Imbert, Les fondements de l’arithmétique, Paris, Seuil, 1969, p. 166–168 et 162–163).

  14. 14.

    Husserl, Formale und transzendentale Logik, § 24, Hua XVII, 81–82 (trad. fr. S. Bachelard, Logique formelle et logique transcendantale, Paris, Puf, 1957, p. 107–108).

  15. 15.

    Husserl, Brief an Weyl, 10. IV. 1918, in Briefwechsel, VII, 287.

  16. 16.

    Ibid.

  17. 17.

    Brouwer, “Intuitionism and formalism”, CW 1, 127 (trad. cit., 43).

  18. 18.

    H. Poincaré, « Nature du raisonnement mathématique » in La Science et l’Hypothèse (1902), Paris, Flammarion, 1968, p. 38–40 ; « Les Mathématiques et la Logique » in Science et Méthode (1908), Paris, Kimé, 1999, p. 130–138.

  19. 19.

    Husserl, Brief an Weyl, 10. IV. 1918, in Briefwechsel, VII, 287.

  20. 20.

    Husserl, Logik und allgemeine Erkenntnistheorie, § 40b, Hua XXX, 181. C’est à dessein que, dans la traduction de la locution centrale, nous inversons les termes, l’expression jugement fonctionnel rendant en effet fort imparfaitement l’idée d’une fonction dont le parcours de valeurs se limite aux seules valeurs de vérité.

  21. 21.

    Husserl, Form. u. transz. Log., §§ 28–32, Hua XVII, 93–102 (trad. fr., 123–134).

  22. 22.

    Husserl, Brief an Weyl, 09. IV. 1922, in Briefwechsel, VII, 295.

  23. 23.

    Hilbert, „„Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung“, in Abhandlungen aus dem mathem. Seminar der Hamburg. Universität, Bd. 1, 1922, p. 157–177, repris in Hilbert, Gesammelte Abhandlungen (= GA), Band III, Berlin-Heidelberg-New York, Springer, 1970, p. 157–177 (trad. fr. J. Largeault, « Nouvelle fondation des mathématiques. Première communication », in Intuitionnisme…, p. 111–130).

  24. 24.

    Loc. cit., GA III, 160 (trad. fr., 114–115).

  25. 25.

    Loc. cit., GA III, 158–159 et 161 (113–114 et 115).

  26. 26.

    Loc. cit., GA III, 163 (trad. fr., 117).

  27. 27.

    Weyl, Brief an Husserl, 26/27 III. 1921, in Husserl, Briefwechsel, VII, 290.

  28. 28.

    Hilbert, „„Neubegründung… “, GA III, 163 (trad. fr., 117–118).

  29. 29.

    Weyl, Brief an Husserl, 26/27 III. 1921, in Husserl, Briefwechsel, VII, 290.

  30. 30.

    Weyl, „„Diskussionsbemerkungen zu dem zweiten Hilbertschen Vortrag über die Grundlagen der Mathematik“, Abhandl. aus dem Mathem. Seminar der Hamburger Universität, 8, 1928, repris dans les Gesammelte Abhandlungen, Berlin-Heidelberg-New York, Springer, 1968, Band III (= GA III), p. 147 et 149 (trad. fr. J. Largeault in Intuitionnisme…, p. 166 et 169 ; trad. angl. in J. van Heijenoort, From Frege to Gödel. A source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, p. 482 et 484).

  31. 31.

    Weyl, „„Diskussionsbemerkungen…“, GA III, 147 (trad. fr., 167 ; trad. angl., 483).

  32. 32.

    Brouwer, “Intuitionism and formalism”, CW 1, 133–134 (trad. fr., op. cit., 48–49).

  33. 33.

    Loc. cit., CW 1, 134–135 (trad. fr., 50).

  34. 34.

    Loc. cit., CW 1, 133–134 (trad. fr., 49).

  35. 35.

    Weyl, „„Die heutige Erkenntnislage in der Mathematik“, IV, Symposion (Berlin), 1, 1925–27, GA II, 533–534 (trad. fr. J. Largeault, « L’état présent de la connaissance en mathématique » in Weyl, Le continu et autres écrits, Paris, Vrin, 1994, p. 154).

  36. 36.

    Husserl, Ideen… I, § 24, Hua III/1, 51 (trad. fr., 78–79).

  37. 37.

    Weyl, „„Die heutige Erkenntnislage…“, V, GA II, 54 (trad. fr., 160).

  38. 38.

    Loc. cit., V, GA II, 533 (trad. fr., 154).

  39. 39.

    Weyl, „„Diskussionsbemerkungen…“, GA III, 148 (trad. fr., 167 ; trad. angl., 483).

  40. 40.

    Loc. cit, GA III, 148 (trad. fr., 168 ; trad. angl., 483).

  41. 41.

    Weyl, „„Die heutige Erkenntnislage…“, V, GA II, 538–540 (trad. fr., 158–160).

  42. 42.

    Weyl, „„Die heutige Erkenntnislage…“, V, GA II, 540 (trad. fr., 160). Cette distinction entre la mathématique symbolique des règles du jeu et l’application qui lui confère un sens épistémique est à rapprocher du § 40 de Form. u. transz. Logik, où Husserl refuse la réduction de la mathématique à un « jeu de symboles », à une discipline « élaborée de façon purement calculatoire », considérant à l’inverse que la « référence à une application possible », qui en fait une « composante de la détermination physicienne », appartient au sens de la mathesis formelle (Hua XVII, 113–115, trad. fr., 148–150). Nota bene : le texte de Weyl est antérieur à celui de Husserl !

  43. 43.

    Weyl, „„Die heutige Erkenntnislage…“, V, GA II, 542 (trad. fr., 161).

  44. 44.

    Husserl, Cartesianische Meditationen, § 22, Hua I, 90 (trad. fr. dir. M. de Launay, Méditations cartésiennes, Paris, Puf, 1994, p. 99–100). Ideen… I, § 138, Hua III/1, 321 (trad. fr., 467). Ideen… III, § 7, Hua V, 36 (trad. fr. D. Tiffeneau, La phénoménologie et les fondements des sciences, Paris, Puf, 1992, p. 44).

  45. 45.

    Weyl, „„Die heutige Erkenntnislage…“, II, GA II, 522–523 (trad. fr., 146).

  46. 46.

    Weyl, Das Kontinuum, Kap. I, Leipzig, von Veit, 1918, p. 37 (trad. fr. J. Largeault, Le continu et autres écrits, Paris, Vrin 1994, p. 83 ; nous modifions la traduction, ici assez gravement défectueuse).

  47. 47.

    Weyl, „„Die heutige Erkenntnislage…“, IV, GA II, 533 (trad. fr., 154).

  48. 48.

    Weyl, “The Mathematical Way of Thinking”, Science 92 (1940), repris in GA III, 713 (« Le mode de pensée mathématique », trad. fr. J. Largeault in Weyl, Le continu…, p. 218).

  49. 49.

    Poincaré, « Les Mathématiques et la Logique » in Science et Méthode, p. 130.

  50. 50.

    Poincaré, « Sur la nature du raisonnement mathématique » in La Science et l’Hypothèse, p. 41.

  51. 51.

    Ibid.

  52. 52.

    Weyl, “Mathematics and Logic. A brief Survey serving as a Preface to a Review of “The Philosophy of Bertrand Russell”, § 8, The American Mathematical Monthly, 53 (1946), GA IV, p. 278–279 (trad. fr. J. Largeault, « Mathématique et logique » in Weyl, Le continu…, p. 246).

  53. 53.

    Weyl, Das Kontinuum, Kap. I, p. 37 (trad. fr., p. 83).

  54. 54.

    Hilbert, „„Neubegründung…“ (1922), GA III, 164 (trad. fr. cit., 118).

  55. 55.

    Loc. cit., GA III, 175 (trad. fr., 128–129).

  56. 56.

    Weyl, “Mathematics and Logic”, § 6, GA IV, 275 (trad. fr., 242).

  57. 57.

    Kant, Kritik der reinen Vernunft, A 431–432/B 459–460 (trad. fr. Critique de la raison pure, Delamarre-Marty, Paris, Gallimard, 1980, folio, p. 396, A. Renaut, Paris, GF-Flammarion, 20063, p. 432–434).

  58. 58.

    Weyl, „„Die heutige Erkenntnislage…“, II, GA II, 522 : « Pour la théorie des ensembles, aucune borne de principe [keine grundsätzliche Schranke] ne s’érige entre le fini et l’infini » (trad. fr., 145).

  59. 59.

    Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen ?, § 5, 64, GMS III, 356 (trad. fr. H. Benis Sinaceur, Que sont et à quoi servent les nombres ? in Dedekind, La création des nombres, 173).

  60. 60.

    Loc. cit., § 4, 36–37, GMS III, 351–352 (trad. fr., 166).

  61. 61.

    Loc. cit., § 6, 71, GMS III, 359 (trad. fr., 178).

  62. 62.

    Loc. cit., § 6, 80, GMS III, 361 (trad. fr., 181–182).

  63. 63.

    Weyl, „„Die heutige Erkenntnislage…“, II, GA II, 522 (trad. fr., 145).

  64. 64.

    Weyl, Das Kontinuum, I. Kap., p. 34 (trad. fr., 80). Telle est la définition donnée par Dedekind d’un System au § 1 de Was sind und was sollen die Zahlen ? (GMS III, 344, trad. fr. cit., p. 154), de même que l’explicitation de la constitution des ensembles par Husserl au § 119 des Ideen… I (Hua III/1, 275–277, trad. fr., 405–407).

  65. 65.

    Weyl, „„Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik“, II, § 1, Mathem. Zeitschrift, 10, GA II, 156 (trad. fr. J. Largeault, « Sur la crise contemporaine des fondements des mathématiques », in Intuitionnisme…, p. 80).

  66. 66.

    On remarquera que cette conclusion contredit l’analyse que nous avons précédemment faite du texte de 1926, ce qui semble indiquer qu’en dépit de sa fidélité à Husserl, Weyl a changé de point de vue, oscillant entre un finitisme revendiqué et un élargissement au domaine de l’infini ; c’est dire que la notion d’intuition mathématique n’admet pas d’interprétation fixe.

  67. 67.

    Weyl, Das Kontinuum, II. Kap., § 5, p. 62, et § 6, p. 65–66 (trad. fr., 105 et 108).

  68. 68.

    Op. cit., II. Kap., § 6, p. 72 (trad. fr., 114).

  69. 69.

    Op. cit., II. Kap., § 6, p. 68 (trad. fr., 111).

  70. 70.

    Op. cit., II. Kap., § 6, p. 70 (trad. fr., 112).

  71. 71.

    Op. cit., II. Kap., § 6, p. 69–70 (trad. fr., 112).

  72. 72.

    Op. cit., II. Kap., § 6, p. 71 (trad. fr., 113).

  73. 73.

    Weyl, „„Über die neue Grundlagenkrise…“, I, § 2, GA II, 149 (trad. fr. in Intuitionnisme…, 73) ; „„Die heutige Erkenntnislage…“, II, GA II, 518 (trad. fr. in Le continu…, 142).

  74. 74.

    Dedekind, Stetigkeit und irrazionale Zahlen, § 3, GMS III, 322–323 (trad. fr. in La création des nombres, 72–73), et l’excellente Introduction de la traductrice, p. 46 sqq.

  75. 75.

    Weyl, „„Die heutige Erkenntnislage…“, II, GA II, 518 (trad. fr., 143).

  76. 76.

    Ibid.

  77. 77.

    Weyl, „„Über die neue Grundlagenkrise…“, II, § 1, GA II, 151 sqq. (trad. fr., 75 sqq.) ; „„Die heutige Erkenntnislage…“, IV, GA II, 531–532 (trad. fr., 152–153).

  78. 78.

    Weyl, „„Über die neue Grundlagenkrise…“, II, § 1, GA II, 152 (trad. fr., 76).

  79. 79.

    Op. cit., II, § 1, GA II, 152 (trad. fr., 76).

  80. 80.

    Op. cit., II, § 1, GA II, 153 (trad. fr., 77).

  81. 81.

    Op. cit., I, § 2, GA II, 151 (trad. fr., 75).

  82. 82.

    Op. cit., II, § 4, GA II, 173 et 177 (trad. fr., 99 et 103).

  83. 83.

    Op. cit., II, § 4, GA II, 177 et 172 (trad. fr., 103 et 99) ; cf. Das Kontinuum, II. Kap., § 6, p. 69 (trad. fr., p. 112).

  84. 84.

    Husserl, Cart. Medit., § 22, Hua I, 90 (trad. fr., 99–100), Ideen… I, § 138, Hua III/1, 321 (trad. fr., 467), Ideen… III, § 7, Hua V, 36 (trad. fr. D. Tiffeneau, La phénoménologie et les fondements des sciences, Paris, Puf, 1992, p. 44).

  85. 85.

    Ibid.

  86. 86.

    Heidegger, Die Frage nach dem Ding, § 18e, GA 41, p. 95 : « Acquérir une détermination plus précise du rapport du mathématique (pris au sens de la mathématique) à l’expérience intuitive de la chose donnée et à celle-ci, voilà qui demeure problématique. » (trad. fr. O. Reboul et J. Taminiaux, Qu’est-ce qu’une chose ?, Paris, Gallimard, 1962, p. 105).

  87. 87.

    Loc. cit., § 10, GA 41, p. 41 : « la science moderne ne devint possible que grâce à un débat prolongé (…) avec le savoir antique, ses concepts et ses principes. » (trad. fr., 52).

  88. 88.

    Cf. Desanti, « Réflexions sur le concept de “mathesis” » in La philosophie silencieuse, Paris, Seuil, 1975, p. 201–203.

  89. 89.

    Cf. L. Brunschvicg, Les étapes de la philosophie mathématique, § 272, Paris, Blanchard, 1993, p. 446.

  90. 90.

    Kant, Kritik der reinen Vernunft, A 411/B 438 (trad. fr. DM, 380, AR, 420).

  91. 91.

    L. Couturat, « La philosophie des mathématiques de Kant », in Les principes des mathématiques, Paris, Alcan, 1905, p. 287–292 et 301–302. J. Cavaillès, « Transfini et continu », in Philosophie mathématique, Paris, Hermann, 1962, p. 272 (repris in Œuvres complètes de philosophie des sciences, Paris, Hermann, 1994, p. 470). Nous avons mis en évidence cette convergence des critiques de Kant dans « Le sens de l’antikantisme en mathématiques », Cahiers philosophiques de Strasbourg n° 26 (2009), p. 171–199.

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Authors and Affiliations

  1. Department of Philosophy, Sorbonne University, Faculté des Lettres, Paris, France

    Dominique Pradelle

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  1. Dominique Pradelle
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Correspondence to Dominique Pradelle .

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Editors and Affiliations

  1. Assistant Professor in Philosophy, Centre Gilles Gaston Granger (CGGG) UMR 7304, Aix-Marseille-University, Marseille, France

    Julien Bernard

  2. Collège International de Philosophie, Paris, France, Centro de Filosofia das Ciencias Universidade de Lisboa, Lisboa, Portugal

    Carlos Lobo

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Pradelle, D. (2019). Entre phénoménologie et intuitionnisme: la définition du continu. In: Bernard, J., Lobo, C. (eds) Weyl and the Problem of Space. Studies in History and Philosophy of Science, vol 49. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-11527-2_6

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