Abstract
The logic of gauge theory is considered by tracing its development from general relativity to Yang-Mills theory, through Weyl’s two gauge theories. A handful of elements—which for want of better terms can be called geometrical justice, matter wave, second clock effect, twice too many energy levels—are enough to produce Weyl’s second theory; and from there, all that’s needed to reach the Yang-Mills formalism is a non-Abelian structure group (say \( \mathbb{SU}(N) \)).
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Notes
- 1.
I cannot help writing in 2017—not before at any rate. The article will be read no earlier than 2017, by readers whose habits, mental categories and means of understanding were formed in recent decades, not in the nineteenth century. Any attempt to understand the ideas of 1929 will have to be made using the cognitive resources available to actual or possible readers, not to fancied readers bred in a fictitious past; so-called anachronisms can be as necessary as they are dangerous (the slope is indeed slippery, there’s no denying that).
- 2.
Best of both worlds is more the idea than having one’s cake and eating it—which suggests an attempt to violate inescapable constraints.
- 3.
An appropriate image might be the discreet amputation of a mischievous or perhaps embarrassing limb.
- 4.
Weyl (1929b) p. 333: “man beschränke sich auf solche lineare Transformationen U von ψ 1, ψ 2, deren Determinante den absoluten Betrag 1 hat.”
- 5.
Einstein (1916)
- 6.
- 7.
See Afriat (2009) for details of this ‘geometrical justice’—which can also be understood in terms of group extensions (see Scholz (2004) pp. 183, 189, 191–2, Scholz (2011a) pp. 195, Scholz (2011b), third page of the paper): since a Levi-Civita connection subjects direction to \( {\mathbb{SO}}^{+}\left(1,3\right) \) but length to the (group containing only the) identity \( \mathsf{1} \), it is only fair to extend the identity by the dilations, yielding \( \mathsf{1}\times {\mathbb{R}}={\mathbb{R}} \)—which (unlike \( \mathsf{1} \)) allows length anholonomies and therefore geometrical justice. The total group, for direction and length together, is the extension \( {\mathbb{SO}}^{+}\left(1,3\right)\times {\mathbb{R}} \) giving the relativistic similarities. But the group \( \mathbb{W} \) Weyl uses in 1929 is (globally) not the extension \( \mathbb{SL}\left(2,{\mathbb{C}}\right)\times \mathbb{U}(1) \); see §10.3.4.1. Ryckman (2003a, b, 2005, 2009) provides an alternative account of Weyl’s agenda.
- 8.
- 9.
\( \mathfrak{J}\subset {\mathbb{R}} \) is an appropriate interval containing 0 and 1.
- 10.
Here the structure group is the multiplicative group ℝ of dilations, generated by the Lie algebra 〈ℝ, + , [⋅, ⋅]〉 or rather 〈ℝ, +〉; the Lie product [⋅, ⋅] vanishes since real numbers commute.
- 11.
Einstein’s summation convention will sometimes be used.
- 12.
I often use angular brackets 〈α, X〉 to denote the value of the form or covector α at the vector X. Bras and kets (which presuppose an appropriate natural pairing) will also be useful, especially where inner 〈η| ζ〉 and outer |ζ〉〈η| products both arise.
- 13.
Cf Ryckman (2009) pp. 290–1.
- 14.
- 15.
∇ ⋅ B = 0 and ∇ × E + ∂ t B = 0
- 16.
Ryckman (2003b) p. 61: “[…] Weyl did not start out with the objective of unifying gravitation and electromagnetism, but sought to remedy a perceived blemish in Riemannian ‘infinitesimal’ geometry. The resulting ‘unification’ was, as it were, serendipitous.” See also p. 63, Ryckman (2003a) p. 86, Ryckman (2005) pp. 149–54, 158, Ryckman (2009) pp. 287–94.
- 17.
Cf. Weyl (1931a) p. 54: “insbesondere konnte ich nichts a priori Einleuchtendes vorbringen zugunsten der Koppelung des willkürlichen additiven Gliedes ∂λ/∂x p, das nach der Erfahrung in den Komponenten des elektromagnetischen Potentials steckt, mit dem von der klassischen Geometrie geforderten Eichfaktor e λ.”
- 18.
- 19.
The misunderstandings go at least as far back as Eddington (1987, first published in 1920), who first, at the top of p. 169, goes out of his way to explain the anholonomic propagation of length; which then, just a few lines on, gets propagated in the very way that was to be avoided, subject to the very restriction that was to be overcome: “a definite unit of interval, or gauge, at every point of space and time. […] when the comparison depends on the route taken, exact equality is not definable; and we have therefore to admit that the exact standards are laid down at every point independently.” Cf. Dirac (1931) p. 63: “We may assume that γ has no definite value at a particular point, but only a definite difference in values for any two points. We may go further and assume that this difference is not definite unless the two points are neighbouring. For two distant points there will then be a definite phase difference only relative to some curve joining them and different curves will in general give different phase differences.” Indeed there are three cases, not two: [1] no variation at all, [2] holonomic variation, [3] anholonomic variation. Eddington has rightly understood that Weyl wants to go beyond [1]. But that leaves the other two—the whole point of W18 being that Weyl wants to go beyond [2] as well. If one’s bent on conflation, the first two cases can be more or less conflated in W18: F vanishes ([1], [2]), or not ([3])—how it vanishes is hardly the point. Eddington seems to feel that conflation is needed somewhere, and duly conflates the last two instead. The tradition he may or may not have founded has had considerable and perhaps growing success—it persists to this day, with an ample, zealous following, and no sign of abating; cf. Afriat (2013), especially footnotes 5 and 9, about an equivalent misunderstanding.
- 20.
See Ryckman (2003a) p. 77.
- 21.
Letter to Weyl dated 15 April 1918: “So schön Ihre Gedanke ist, muss ich doch offen sagen, dass es nach meiner Ansicht ausgeschlossen ist, dass die Theorie der Natur entspricht. Das ds selbst hat nämlich reale Bedeutung. Denken Sie sich zwei Uhren, die relativ zueinander ruhend neben einander gleich rasch gehen. Werden sie voneinander getrennt, in beliebiger Weise bewegt und dann wieder zusammen gebracht, so werden sie wieder gleich (rasch) gehen, d. h. ihr relativer Gang hängt nicht von der Vorgeschichte ab. Denke ich mir zwei Punkte P 1 & P 2 die durch eine zeitartige Linie verbunden werden können. Die an P 1 & P 2 anliegenden zeitartigen Elemente ds 1 und ds 2 können dann durch mehrere zeitartigen Linien verbunden werden, auf denen sie liegen. Auf diesen laufende Uhren werden ein Verhältnis ds 1: ds 2 liefern, welches von der Wahl der verbindenden Kurven unabhängig ist.—Lässt man den Zusammenhang des ds mit Massstab- und Uhr-Messungen fallen, so verliert die Rel. Theorie überhaupt ihre empirische Basis.” Another letter to Weyl, 4 days later: “wenn die Länge eines Einheitsmassstabes (bezw. die Gang-Geschwindigkeit einer Einheitsuhr) von der Vorgeschichte abhingen. Wäre dies in der Natur wirklich so, dann könnte es nicht chemische Elemente mit Spektrallinien von bestimmter Frequenz geben, sondern es müsste die relative Frequenz zweier (räumlich benachbarter) Atome der gleichen Art im Allgemeinen verschieden sein. Da dies nicht der Fall ist, scheint mir die Grundhypothese der Theorie leider nicht annehmbar, deren Tiefe und Kühnheit aber jeden Leser mit Bewunderung erfüllen muss.”
- 22.
- 23.
Letter to Seelig—quoted in Seelig (1960) p. 274—in which Weyl quotes Einstein: “So – das heisst auf so spekulative Weise, ohne ein leitendes, anschauliches physikalisches Prinzip – macht man keine Physik!”
- 24.
- 25.
“Rache”; Pauli (1979) p. 518: “Als Sie früher die Theorie mit \( {g}_{ik}^{\prime }=\lambda {g}_{ik} \) machten, war dies reine Mathematik und unphysikalisch. Einstein konnte mit Recht kritisieren und schimpfen. Nun ist die Stunde der Rache für Sie gekommen; jetzt hat Einstein den Bock des Femparallelismus geschossen, der auch nur reine Mathematik ist und nichts mit Physik zu tun hat, und Sie können schimpfen!”
- 26.
Weyl (1929b) p. 331: “Es scheint mir darum dieses nicht aus der Spekulation, sondern aus der Erfahrung stammende neue Prinzip der Eichinvarianz […].” Weyl (1931a) p. 57: “Das neue Prinzip ist aus der Erfahrung erwachsen und resümiert einen gewaltigen, aus der Spektroskopie entsprungenen Erfahrungsschatz.” On Weyl’s ‘empirical turn’ see Scholz (2004) pp. 165, 183, 191–3.
- 27.
Weyl (1931a) p. 57: “Dieses Transformationsgesetz der ψ ist zuerst von Pauli aufgestellt worden und folgt mit unfehlbarer Sicherheit aus den spektroskopischen Tatsachen, genauer aus den Termdubletts der Alkalispektren und der Tatsache, daß die Dublettkomponenten nach Ausweis ihres Zeemaneffekts halbganze innere Quantenzahlen besitzen.”
- 28.
On the logical priority of relativity over spin cf. Weyl (1931b) p. 193: “Da die Möglichkeit einer solchen relativitätsinvarianten Gleichung für ein skalares ψ nicht vorhanden ist, erscheint der Spin als ein durch die Relativitätstheorie notwendig gefordertes Phänomen.”
- 29.
But here Planck’s constant h and the speed of light c—and even charge—are set equal to one.
- 30.
Weyl (1929c) p. 284: “By this new situation, which introduces an atomic radius into the field equations thereelves—but not until this step—my principle of gauge-invariance, with which I had hoped to relate gravitation and electricity, is robbed of its support.” Weyl (1931a) p. 55: “Die Atomistik gibt unsja absolute Einheiten für alle Maßgrößen an die Hand […]. So geht in die Diracsche Feldgesetze des Elektrons die „Wellenlänge des Elektrons“, die Zahl h/mc, als eine absolute Konstante ein. Damit fällt das Grundprinzip meiner Theorie, das Prinzip von der Relativität der Längcomessung, dem Atomismus zum Opfer und verliert seine Überzeugungskraft.” See also Penrose (2016) pp. 55–6.
- 31.
See also Weyl (1929c) p. 290.
- 32.
Weyl (1929b) p. 331, Weyl (1929c) p. 284: “this principle has an equivalent in the quantum-theoretical field equations which is exactly like it in formal respects; the laws are invariant under the simultaneous replacement of ψ by e iλ ψ, φ α by φ α − ∂λ/∂x α where λ is an arbitrary real function of position and time.”
- 33.
The transformation (10.6) is invisible ‘with respect to position,’ or rather with respect to an observable compatible with the unitary operator determined by (10.6); cf. Weyl (1928) p. 87. The requirement ∥ψ′∥ = ∥ψ∥ is very natural but too weak to determine (10.6), being satisfied by any unitary operator—not just those compatible with the representation (position, momentum or other) in which the wavefunction happens to be written.
- 34.
Weyl (1931a) p. 55: “In dem theoretischen Weltbild bedeutet die Verwandlung von f p in −f p eine objektive Änderung des metrischen Feldes; denn es ist etwas anderes, ob sich eine Strecke bei kongruenter Verpflanzung längs einer geschlossenen Bahn vergrößert oder verkleinert. Nach dem angenommenen Wirkungsgesetz aber ist die Entscheidung über das Vorzeichen der f p auf Grund der beobachteten Erscheinungen unmöglich. Hier enthält darum, in Widerstreit mit einem oben ausgesprochenen erkenntnistheoretischen Grundsatz, das theoretische Weltbild eine Verschiedenheit, welche sich auf keine Weise für die Wahmehmung aufbrechen läßt. P. 57: “Die an der alten Theorie gerügte Unsicherheit des Vorzeichens ±f p löst sich dadurch in das unbestimmte Vorzeichen der \( \sqrt{-1} \) auf. Schon damals, als ich die alte Theorie aufstellte, hatte ich das Gefühl, daß der Eichfaktor die Form e iλ haben sollte; nur konnte ich dafür natürlich keine geometrische Deutung finden. Arbeiten von Schrödinger und F. London stützten die Forderung durch die allmählich sich immer deutlicher abzeichnende Beziehung zur Quantentheorie.” See also Weyl (1931b) p. 89. Scholz (2004) p. 193 associates the ‘geometry to matter’ transition from (10.3)&(10.5) to (10.3)&(10.6) with a transition from the a priori fantasies of 1918 to the sober empiricism of 1929.
- 35.
Weyl (1931b) pp. 187–8: “Es ist klar, daß man zu einer befriedigenden Theorie des Elektrons nur kommen wird, wenn es gelingt, das Grundgesetz seiner Bewegung in der von der Relativitätstheorie geforderten, gegenüber Lorentz-Transformationen invarianten Form zu fassen.”
- 36.
See Scholz (2006) p. 470.
- 37.
Weyl (1939) p. 165
- 38.
See Weyl (1931b) pp. 45–6, 89.
- 39.
Weyl (1931b) p. 186 attributes it to Louis de Broglie.
- 40.
Weyl (1931b) p. 188: “Sie ist nicht im Einklang mit dem allgemeinen Schema der Quantenmechanik, welches verlangt, daß die zeitliche Ableitung nur in der ersten Ordnung auftritt.” P. 193: “Legt man die de Brogliesche Wellengleichung für das skalare ψ zugrunde, in welche die elektromagnetischen Potentiale [A μ] durch die Regel [(10.15)] eingeführt sind, so ergibt sich aber für die elektrische Dichte ein Ausdruck, der außer ψ die zeitliche Ableitung ∂ψ/∂t enthält und nichts mit der Ortswahrscheinlichkeit zu tun hat; sein Integral ist überhaupt keine Einzelform. Dies ist nach Dirac das entscheidendste Argument dafür, daß die Differentialgleichungen des in einem elektromagnetischen Feld sich bewegenden Elektrons von 1. Ordnung in bezug auf die zeitliche Ableitung sein müssen.”
- 41.
Dirac (1928)
- 42.
Weyl (1931b) p. 190: “Nach dem allgemeinen Schema der Quantenmechanik sollte, wie schon erwähnt, die Differentialgleichung für ψ von 1. Ordnung hinsichtlich der zeitlichen Ableitung von ψ sein. Gemäß dem Relativitätsprinzip kann sie aber dann auch nur die 1. Ableitungen nach den räumlichen Koordinaten enthalten.”
- 43.
Symplectic for time, in the rather standard representation (10.8), but simply ‘NOT’ for space. The inter-weaving produced by four purely NOT γ μ’s (anti-diagonality with no minuses) would be pointless; Dirac’s unusual hyperbolicity has to be expressed by one or more appropriately placed minuses: if the three spatial gammas have merely NOT anti-diagonality, γ 0 will be symplectically anti-diagonal.
- 44.
Weyl (1929b) p. 330–1: “Die Diracsche Theorie, in welcher das Wellenfeld des Elektrons durch ein Potential ψ mit vier Komponenten beschrieben wird, gibt doppelt zu viel Energieniveaus; man sollte darum, ohne die relativistische Invarianz preiszugeben, zu den zwei Komponenten der Paulischen Theorie zurückkehren können. Daran hindert das die Masse m des Elektrons [...].” Weyl (1929c) p. 292: “The [mass] term (10.5) of the Dirac theory is, however, more doubtful. It must be admitted that if we retain it we can obtain all details of the line spectrum of the hydrogen atom—of one electron moving in the electrostatic field of a nucleus—in accord with what is known from experiment. But we obtain twice too much; if we replace the electron by a particle of the same mass and positive charge +e (which admittedly does not exist in nature) the Dirac theory gives, contrary to all reason and experience, the same energy terms as for a negative electron, except for a change in sign. Obviously an essential change is here necessary.” P. 294: “Be bold enough to leave the term involving mass entirely out of the field equations.”
- 45.
W18 & MW & SC give something like Dirac-Maxwell theory in curved space-time.
- 46.
Weyl’s spinors will in fact be subject to a slightly larger group but we can think of \( \mathbb{SL}\left(2,{\mathbb{C}}\right) \) for the time being. Relevant group theory will be looked at more closely in §10.3.4.
- 47.
Weyl (1929c) p. 285: “The tensor calculus is not the proper mathematical instrument to use in translating the quantum-theoretic equations of the electron over into the general theory of relativity. Vectors and terms are so constituted that the law which defines the transformation of their components from one Cartesian set of axes to another can be extended to the most general linear transformation, to an affine set of axes. That is not the case for the quantity ψ, however; this kind of quantity belongs to a representation of the rotation group which cannot be extended to the affine group. Consequently we cannot introduce components of ψ relative to an arbitrary coordinate system in general relativity as we can for the electromagnetic potential and field strengths. We must rather describe the metric at a point P by local Cartesian axes e(α) in toad of by the g pq. The wave field has definite components \( {\psi}_1^{+},{\psi}_2^{+} \); \( {\psi}_1^{-},{\psi}_2^{-} \) [full Dirac theory] relative to such axes, and we know how they transform on transition to any other Cartesian axes in P. The laws shall naturally be invariant under arbitrary rotation of the axes in P, and the axes at different points can be rotated independently of each other; they are in no way bound together.”
- 48.
- 49.
Weyl (1929b) p. 333: “U bewirkt an den x α eine Lorentztransformation, d. i. eine reelle homogene lineare Transformation, welche die form\( -{x}_0^2+{x}_1^2+{x}_2^2+{x}_3^2 \) in sich überführt.”
- 50.
- 51.
- 52.
Here I am indebted to Thierry Levasseur and Johannes Huisman.
- 53.
Weyl (1929b) p. 333: “Man kann ihn normalisieren durch die Forderung, daß die Determinante von U gleich 1 sei, aber selbst dann bleibt eine Doppeldeutigkeit zurück.”
- 54.
Weyl (1929b) p. 333: “wir unter den Lorentztransformationen nur die ein einziges in sich abgeschlossenes Kontinuum bildenden Λ bekommen, welche 1. Vergangenheit und Zukunft nicht vertauschen und 2. die Determinante +1, nicht −1, besitzen […].”
- 55.
Weyl (1931b) p. 129: “Und zwar ist, wenn ɛ = e iω = e(ω) gesetzt wird, der Drehwinkel der Drehung um die z-Achse φ = − 2ω.”
- 56.
I use the same letter h for the restriction to \( \mathbb{SU} \)(2).
- 57.
Weyl (1931b) p. 129: “sie bleibt nämlich zweideutig, weil sie durch Multiplikation mit −1, durch Verwandlung von σ in −σ nicht verloren geht. […] Man erhält dadurch alle Drehungen und jede genau zweimal.”
- 58.
Weyl (1931b) p. 129: “Jede unitäre Transformation […] liefert danach eine Drehung s der Kugel […].”
- 59.
Weyl (1931b), bottom of p. 131; a “Zeitachse ändernde Lorentztransformation” is a boost.
- 60.
Weyl (1929b) p. 333: “Die Variablen ψ 1, ψ 2 sowie die Koordinaten x α kommen hier nur ihrem Verhältnis nach in Frage.”
- 61.
- 62.
The terms look appropriately quadratic, the trinions σ k are indeed orthogonal but ℝ3 should not be confused with ℂ2.
- 63.
See Weyl (1929b) p. 333.
- 64.
See footnote 50 above.
- 65.
Weyl (1929b) p. 333: “Durch Λ ist die lineare Transformation U der ψ nicht eindeutig festgelegt, sondern es bleibt ein willkürlicher konstanter Faktor e iλ vom absoluten Betrage 1 zur Disposition. Cf. Weyl (1931b) p. 131: “Transformationen σ, welche sich nur durch einen Faktor e iλ vom absoluten Betrag 1 voneinander unterscheiden, liefern dasselbe s.
- 66.
- 67.
See footnote 4 above.
- 68.
Weyl (1929c) p. 291: “It is my firm conviction that we must seek the origin of the electromagnetic field in another direction. We have already mentioned that it is impossible to connect the transformations of the ψ in a unique manner with the rotations of the axis system; however we may attempt to accomplish this by means of invariants which can be used as constituents of an action quantity we always find that there remains an arbitrary “gauge factor” e iλ. Hence the local axis-system does not determine the components of ψ uniquely, but only within such a factor of absolute magnitude 1.”
- 69.
Here I am indebted to Ermenegildo Caccese.
- 70.
Notions of motion, speed and time are clearly metaphorical here, since τ is an abstract parameter.
- 71.
Weyl (1931b) p. 195: “Ferner bedarf man in der allgemeinen Relativitätstheorie an jeder Weltstelle P eines aus vier Grundvektoren in P bestehenden normalen Achsenkreuzes, um die Metrik in P festzulegen und relativ dazu die Wellengröße ψ durch ihre vier [full Dirac theory, with mass] Komponenten ψ ρ beschreiben zu können; die gleichberechtigten normalen Achsenkreuze in einem Punkte gehen durch die Lorentztransformationen auseinander hervor.”
- 72.
Weyl (1929b) p. 348: “Dann ist aber auch die infinitesimale lineare Transformation dE der ψ, welche der infinitesimalen Drehung dγ entspricht, nicht vollständig festgelegt, sondern dE kann um ein beliebiges rein imaginäres Multiplum i ⋅ df der Einheitsmatrix vermehrt werden.” Weyl (1929c) p. 291: “Then there remains in the infinitesimal linear transformation dE of ψ, which corresponds to the given infinitesimal rotation of the axis-system, an arbitrary additive term +idφ ⋅ 1.”
- 73.
Weyl (1929c) p. 291, Weyl (1931b) p. 195: “Aus der Natur, dem Transformationsgesetz der Größe ψ ergibt sich, daß die vier Komponenten ψ ϱ relativ zum lokalen Achsenkreuz nur bis auf einen gemeinsamen Proportionalitätsfaktor e iλ durch den physikalischen Zustand bestimmt sind, dessen Exponent λ willkürlich vom Orte in Raum und Zeit abhängt, und daß infolgedessen zur eindeutigen Festlegung des kovarianten Differentials von ψ eine Li earform ∑α f α dx α erforderlich ist, die so mit dem Eichfaktor in ψ gekoppelt ist, wie es das Prinzip der Eichinvarianz verlangt.”
- 74.
Weyl (1929b) p. 349, Weyl (1929c) pp. 291–2. Cf. Ryckman (2009) p. 295: “Weyl derived the Maxwell equations from the requirement of local phase invariance, thus coupling charged matter to the electromagnetic field, and so originating the modern understanding of the principle of local gauge invariance (“local symmetries dictate the form of the interaction”) that lies at the basis of contemporary geometrical unification programs in fundamental physics.”
- 75.
Weyl says Doppeldeutigkeit, both homomorphisms are 2-1.
- 76.
See footnote 65.
- 77.
Weyl (1929b) p. 348: “Zur eindeutigen Festlegung des kovarianten Differentials δψ von ψ hat man also außer der Metrik in der Umgebung des Punktes P auch ein solches df für jedes von P ausgehende Linienelement \( \overrightarrow{P{P}^{\prime }}=(dx) \) nötig. Damit δψ nach wie vor linear von dx abhängt, muß
$$ df={f}_p{(dx)}^p $$eine Linearform in den Komponenten des Linienelements sein. Ersetzt man ψ durch e iλ ⋅ ψ, so muß man sogleich, wie aus der Formel für das kovariante Differential hervorgeht, df ersetzen durch df − dλ.” Weyl (1929c) p. 291: “The complete determination of the covariant differential δψ of ψ requires that such a dφ be given. But it must depend linearly on the displacement PP′ : dφ = φ p(dx)p, if δψ shall depend linearly on the displacement. On altering ψ by multiplying it by the gauge factor e iλ we must at the same time replace dφ by dφ − dλ as is immediately seen from this formula of the covariant differential.” Weyl’s notation is confusing: whereas the one-form dλ (which is a differential) is necessarily exact, df and dφ (my A) aren’t.
- 78.
- 79.
- 80.
Weyl (1929b) p. 348: “In der speziellen Relativitätstheorie muß man diesen Eichfaktor als eine Konstante ansehen, weil wir hier ein einziges, nicht an einen Punkt gebundes Achsenkreuz haben.” Weyl (1929c) p. 291: “In the special theory of relativity, in which the axis system is not tied up to any particular point, this factor is a constant.”
- 81.
A gauge group is made up of vertical automorphisms V : E → E on the (here trivial) fibre bundle \( E=M\times \mathbb{V} \)—vertical inasmuch as each copy G x of G confines its action to its own \( {\mathbb{V}}_x \), without interfering with the other fibres \( {\mathbb{V}}_{x^{\prime }} \). Since horizontal is a metaphor for ‘constancy’ from fibre to fibre along M, vertical means ‘just up the fibre’ (and not along M). However ‘symmetric’ the Cartesian product ⋅ × ⋅ may look, here it isn’t at all, since the two factors are distinguished as base M and fiber \( \mathbb{V} \): a copy \( {\mathbb{V}}_x \) gets assigned to each x of the base manifold so that x can be fixed while \( \psi \in {\mathbb{V}}_x \) is varied, whereas ‘displacement only along the base manifold with constancy in the corresponding fibers \( {\left\{{\mathbb{V}}_x\right\}}_x \)’ makes no sense without further structure, namely a connection.
- 82.
This equivalence with the structure group expresses the ‘constant’ degeneracy of the gauge group, which, having lost all the pointwise freedom to vary its action over the underlying manifold, rigidly applies the same element g ∈ G everywhere.
- 83.
Cf. Kretschmann (1917): general covariance can be countenanced in flat space-time.
- 84.
Weyl (1929b) p. 348: “Anders in der allgemeinen Relativitätstheorie: jeder Punkt hat sein eigenes Achsenkreuz und darum auch seinen eigenen willkürlichen Eichfaktor; dadurch, daß man die starre Bindung der Achsenkreuze in verschiedenen Punkten aufhebt, wird der Eichfaktor notwendig zu einer willkürlichen Ortsfunktion.” Weyl (1929c) p. 291: “But it is otherwise in the general theory of relativity when we remove the restriction binding the local axis-systems to each other; we cannot avoid allowing the gauge factor to depend arbitrarily on position.”
- 85.
Cf. Weyl (1929b) p. 331: “es fällt mir schwer, die Macht zu begreifen, welche die lokalen Achsenkreuze in den verschiedenen Weltpunkten in ihrer verdrehten Lage zu starrer Gebundenheit ancinander hat einfrieren lassen.”
- 86.
Of course the flatness of space-time only imposes holonomy \( {\mathcal{G}}_H\subset \mathcal{G} \), not rigidity \( G\subset {\mathcal{G}}_H \), which is much stronger; cf. Ryckman (2009) p. 295: “Weyl’s argument for his correct conclusion is, in fact, flawed, resting on an unnecessary assumption about the representation of spinor matter fields within tetrad formulations of arbitrarily curved space-times.” The “flatness” I mean refers to the Levi-Civita connection, which is both metric and symmetric; a metric connection with torsion can produce (torsional) anholonomies, even on Minkowski space-time.
- 87.
Cf. Weyl (1929b) pp. 331–2: “Gerade dadurch, daß man den Zusammenhang zwischen den lokalen Achsenkreuzen löst, verwandelt sich der Eichfaktor e iλ, der in der Größe ψ willkürlich bleibt, notwendig aus einer Konstante in eine willkürliche Ortsfunktion; d. h. nur durch diese Lockerung wird die tatsächlich bestehende Eichinvarianz verständlich.”
- 88.
What does or doesn’t constitute a ‘single object’ is rather arbitrary: the direction and length of a vector can be brought apart by taking, instead of a vector, a ray (one object) and a separate number (another object); there are likewise ways of building a single object out of a number and a tetrad.
- 89.
See Weyl (1931b) p. 88.
- 90.
- 91.
The geometrical justice of §10.2.1 required a curved length connection A to balance the curved directional connection. By adopting a flat space-time connection alongside a curved isospin connection Yang and Mills (1954) reversed the injustice of Einstein’s theory—which has a curved directional connection with a flat length connection.
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Afriat, A. (2019). Logic of Gauge. In: Bernard, J., Lobo, C. (eds) Weyl and the Problem of Space. Studies in History and Philosophy of Science, vol 49. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-11527-2_10
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