Resultats Recents Lies Au Theoreme D’Irreductibilite de Hilbert

Résumé

Le théorème d’irréuctibilité de Hilbert est un réltat de la fin du sièle dernier [17]. Le problème est le suivant: étant donnés un corps k et P_l ,…, P_n n polynômes irréductibles dans k(X₁,..., X_r)[Y₁ ,..., Y_s] , montrer que l’ensemble qu’on note classiquement H_k(P₁ ,..., P_n), constitué des spécialisations (x_l , x₂ ,..., x_r) des indéterminées (X₁ ,..., X_r) pour lesquelles les polynômes P_i(x_l ,..., x_r , Y₁ ,..., Y_s), i= 1,2 ,..., n, sont irréductibles dans k[Y₁ ,..., Y_s], contient beaucoup d’éléments de k^r. Précisément, on appelle partie hilbertienne de k^r tout ensemble, intersection d’un ensemble du type H_k(P₁ ,..., P_n) avec un ouvert de Zariski de k^r et on dit que le corps k est hilbertien si pour tout entier r≥1, les parties hilbertiennes sont non vides. On appelle aussi ensemble mince tout ensemble dont le complémentaire contient une partie hilbertienne. En ces termes, le théorème d’irréductibilité de Hilbert s’énonce:

Thèorème 0 — Le corps Q des nombres rationnels est un corps hilbertien.