Abstract
We extend the results obtained in Chapter 3 for entire functions to functions holomorphic in arbitrary regions D in ℂ. Our goal is to prove that every divisor on D is a principal divisor (existence theorem 1.5). For this purpose we first construct, in Section 1, Weierstrass products for every positive divisor. As before, they are built up from Weierstrass factors En and converge normally in regions that contain ℂ\∂D (product theorem 1.3). In Section 2 we develop, among other things, the theory of the greatest common divisor for integral domains O(G).
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Bibliography
Behnke, H. and K. Stein: Elementarfunktionen auf Riemannschen Flächen..., Can. Journ. Math. 2, 152–165 (1950).
Behnke, H. and K. Stein: Analytische Funktionen mehrerer Veränderlichen zu vorgegebenen Null-und Polstellenflächen, Jber. DMV47, 177–192 (1937).
Blaschke, W.: Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen, Ber. Verh. Königl. Sächs. Ges. Wiss. Leipzig 67, 194–200 (1915); Ges. Werke 6, 187–193.
Carathéodory, C. and L. Fejér: Remarques sur le théorème de M. Jensen, C.R. Acad. Sci. Paris 145, 163–165 (1907); Carathéodory’s Ges. Math. Schrift. 3, 179–181; FEJÉR’s Ges. Arb. 1, 300–302.
Cousin, P.: Sur les fonctions de n variables complexes, Acta Math. 19, 1–62 (1895).
Grauert, H. and R. Remmert: Theory of Stein Spaces, trans. A. Huckleberry, Springer, New York 1979.
Grauert, H.: Analytische Faserungen über holomorph-vollständigen Räumen, Math. Ann. 135, 263–273 (1958).
Gronwall, T. H.: On the expressibility of a uniform function of several variables as the quotient of two functions of entire character, Trans. Amer. Math. Soc. 18, 50–64 (1917).
Jensen, J. L. W. V.: Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions, Acta Math. 22, 359–364 (1898–99).
Landau, E.: Über die Blaschkesche Verallgemeinerung des Vitalischen Satzes, Ber. Verh. Königl. Sächs. Ges. Wiss. Leipzig 70, 156–159 (1918); Coll. Works 7, 138–141.
Mittag-Leffler, G.: Sur la représentation analytique des fonctions mono-Ones uniformes d’une variable indépendante, Acta Math. 4, 1–79 (1884).
Oka, K.: III. Deuxième problème de Cousin, Journ. Sci. Hiroshima Univ., Ser. A, 9, 7–19 (1939); Coll. Papers, trans. R. NARASIMHAN, 24–35, Springer, 1984.
Petersen, J.: Quelques remarques sur les fonctions entières, Acta Math. 23, 85–90 (1899).
Pi] Picard, E.: OEuvres 1.
Serre, J-P.: Quelques problèmes globaux relatifs aux variétés de Stein, Coll. Fonct. Plus. Var. Bruxelles 57–68 (1953); OEuvres 1, 259–270.
Stein, K.: Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem, Math. Ann. 123, 201–222 (1951).
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Remmert, R. (1998). Holomorphic Functions with Prescribed Zeros. In: Classical Topics in Complex Function Theory. Graduate Texts in Mathematics, vol 172. Springer, New York, NY. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2956-6_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2956-6_4
Publisher Name: Springer, New York, NY
Print ISBN: 978-0-387-98221-2
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