Estimation de L’erreur Dans des Problemes de Dirichlet ou Apparait un Terme Etrange

Résumé

On considère le problème de Dirichlet

$$ - \Delta {u^\varepsilon } = f\;{\rm{dans}}\;{\Omega ^\varepsilon },\;{u^\varepsilon } = 0\;{\rm{sur}}\;\partial {\Omega ^\varepsilon }, $$

où Ω^ε est obtenu en retirant à Ω de nombreux petits trous, répartis périodiquement avec une période 2ε dans les directions des axes, chaque trou étant obtenu à partir d’un trou modèle par une homothétie de rapport ε^{N/(N − 2)}. Dans le problème limite

$$ - \Delta u + \mu u = f\;{\rm{dans}}\;\Omega ,\;u = 0\;{\rm{sur}}\;\partial \Omega ,$$

apparaît un «terme étrange» d’ordre 0.

Désignant par p ^ε le potentiel capacitaire de chacun de ces petits trous par rapport à la boule de rayon ε qui l’entoure, nous montrons l’estimation d’erreur

$${\left\| {{u^\varepsilon } - (1 - {p^\varepsilon })u} \right\|_{H_0^1(\Omega )}} \le {\rm{cste}}\;\varepsilon .$$

Ce résultat est démontré en deux étapes: la première est une estimation d’erreur abstraite, obtenue dans un cadre qui généralise la situation géométrique considérée ci-dessus; la deuxième consiste à estimer explicitement certaines quantités, telles que ${\left\| {{p^\varepsilon }} \right\|_{{H^1}(\Omega )}}$, que apparaissent dans l’estimation d’erreur abstraite.

Abstract

Consider the Dirichlet problem

$$ - \Delta {u^\varepsilon } = f\;{\rm{in}}\;{\Omega ^\varepsilon },\;{u^\varepsilon } = 0\;{\rm{on}}\;\partial {\Omega ^\varepsilon },$$

where Ω^ε is obtained by removing from Ω many small holes T ^ε _i , periodically distributed with a period 2ε in the directions of the axes, each of the holes T ^ε _i being obtained from a model hole by reducing it at the size ε^{N/(N − 2)}. The solutions u ^ε converge weakly to the solution of

$$ - \Delta u + \mu u = f\;{\rm{in}}\;\Omega ,\;u = 0\;{\rm{on}}\;\partial \Omega ,$$

where a zero-order term surprisingly appears.

Let p ^ε be the capacity potential of each small hole T ^ε _i in the ball of radius ε with the same center. We prove in this paper the following error estimate

$${\left\| {{u^\varepsilon } - (1 - {p^\varepsilon })u} \right\|_{H_0^1(\Omega )}} \le {\rm{cst}}\;\varepsilon .$$

This result is proved in two steps. In the first, an abstract error estimate is obtained in a framework which generalizes the geometrical situation described above. The second step consists in estimating explicitly quantities like ${\left\| {{p^\varepsilon }} \right\|_{{H^1}(\Omega )}}$, which appear in the abstract error estimate.