Le Groupe des Classes Ambiges (Au Sens Strict)>

Abstract

Nous complétons et eoneluons iei 1’étude de l’arithmétique des corps quadratiques réels, à l’aide de la technique des cycles d’idéaux réduits introduite par A. Chatelet (2) et réinterprétée en termes de fractions continues dans (4), en déterminant l’ordre du groupe des classes ambiges au sens strict. Ce résultat s’obtient habituellement, comme corollaire de la théorie des genres, en utilisant les symboles de Hilbert et le résultat analytique de Dirichlet sur l’infinité des nombres premiers dans les progressions arithmétiques (voir (1) ou (6)), mais peut aussi s’obtenir par des méthodes purement algébriques (voir (3)). II nous paraît néanmoins intéressant d’en donner une preuve indépendante de la théorie des genres nous permettant de l’énoncer plus précisément: nous donnons explicitement la relation de principalité (stricte) entre les idéaux premiers ramifiés sous une forme différente de celle habituellement donnée qui, elle, fait intervenir 1’unité fondamentale et oblige done, pour être explicitée, à manipuler de grands nombres, dès lors que cette unité est grande (voir (7)). Si nous n’utilisons que la notion moderne d’idéal, les résultats que nous obtenons sont néanmoins déjà plus ou moins contenus dans des travaux plus anciens utilisant la technique des formes quadratiques binaires (nous pensons aux travaux princeps de Gauss).