Contrôlabilite exacte frontière de l’équation des ondes en presence de singularités

Abstract

Soit Ω un domaine polygonal non vide; on note (S _i)_0≤i≤N l’ensemble des sommets de Ω auquel on a adjoint un ensemble fini non vide de points C placés sur les côtés. On note Γ_i (resp. Γ _N ) le côté compris entre les points S _i et S _i+1 (resp. entre S _N et S ₀); on note τ _i (resp. v _i ) le vecteur unitaire tangent à Γ_i pointé vers S _i+1 (resp. le vecteur normal unitaire extérieur à Ω sur le côté Γ_i); plus généralement, sauf en un nombre fini de points de la frontière, on note τ (resp. v) le vecteur unitaire tangent (resp. normal) à Ω au point x ∈ ∂Ω; enfin ω _i désigne l’angle interne à Ω au sommet S _i mesuré à partir de Γ_i. On subdivise la frontière de Ω en deux parties ${\Gamma_D} = { \cup_{{j \in {J_D}}}}{\Gamma_j}$ et ${{\Gamma }_{N}} = {{ \cup }_{{j \in {{J}_{N}}}}}{{\Gamma }_{j}}$ avec ${J_D} \cup {J_N} = \left\{ {0, -, N} \right\}$ et ${J_D} \ne \phi \;et\;{J_D} \ne \phi$. On fait l’hypothèse:

$$ {\overline \Gamma_D} \cap {\overline \Gamma_N} = \left\{ {{S_j}/j \in {J_{{DN}}}} \right\} \ne \phi $$

((H1))