Advertisement

Numbers pp 27-53 | Cite as

Real Numbers

  • K. Mainzer
Part of the Graduate Texts in Mathematics book series (GTM, volume 123)

Abstract

1. Hippasus and the Pentagon. When today we define the real numbers as elements of a completely ordered field, we tend to forget the magnitude of the intellectual and philosophical crisis brought about by the discovery that there were things outside the grasp of the rational numbers. Indeed, if we can trust later legends, the discoverer incurred the wrath of the Gods. We mean of course the discovery ascribed to the 5th century B.C. Pythagorean, Hippasus of Metapont, that there are line segments whose ratios are incommensurable. The discovery is said to have caused a great shock in Pythagorean circles because it finally called into question one of the basic tenets of their philosophy, that everything was expressible in terms of whole numbers.

Keywords

Rational Number Residue Class Irrational Number Rational Sequence Null Sequence 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. [1]
    Bachmann, P.: Vorlesungen über die Theorie der Irrationalzahlen, Leipzig 1892.Google Scholar
  2. [2]
    Becker, O.: Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwick-lung, Freiburg/München 1954.Google Scholar
  3. [3]
    Bishop, E.: Foundations of Constructive Analysis, New York 1967.Google Scholar
  4. [4]
    Bolzano, B.: Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, daß zwi-schen je zwei Werthen, die ein entgegengesetztes Result at gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege, Prag 1817, Ostwalds Klassiker Nr. 153, Leipzig 1905.Google Scholar
  5. [5]
    Bolzano, B.: Reine Zahlenlehre, 7. Abschnitt, in: Bernhard Bolzano-Gesamtausgabe, eds. E. Winter/J. Berg/F. Kambartel/I. Loužil/B.v. Rootselaar, Reihe II. A. Nachgelassene Schriften Bd. 8, Stuttgart/Bad Cannstatt 1976.Google Scholar
  6. [6]
    Cartan, H.: Un théorème sur les groupes ordonnés, in: Bull. Sci. Math. 63 1939, 201–205.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  7. [7]
    Dedekind, R.: Stetigkeit und Irrationalzahlen, Braunschweig 1872, 71965.Google Scholar
  8. [8]
    Dugac, P.: Elements d’analyse de Karl Weierstraß, in: Arch. hist, ex. Sciences 10, 1973, 41–176.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  9. [9]
    Euler, L.: De progressionibus harmonicis observationes (1734/35), in: Op. omn. I, 14, 73–86.Google Scholar
  10. [10]
    Fritz, K.v.: The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum, in: Annals of Mathematics 46, 1945, 242–264.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  11. [11]
    Heller, S.: Die Entdeckung der stetigen Teilung, Abh. d. Dt. Ak. Wiss. Berlin, Klasse für Mathematik, Physik u. Technik 1958, Nr. 6, Berlin 1958.Google Scholar
  12. [12]
    Hermes, H.: Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit, Berechenbarkeit, Einführung in die Theorie der rekursiven Funktionen, Berlin/ Heidelberg/New York 1971.Google Scholar
  13. [13]
    Hilbert, D.: Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1899, ed. With supplements by P. Bernays, Stuttgard 111972.Google Scholar
  14. [13a]
    HöLder, O.: Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Maß. Berichte Verh. Kgl. Sächs. Ges. Wiss., Leipzig, Math. Phys. Kl. 53, 1901, 1–64.Google Scholar
  15. [14]
    Iamblichi: de communi mathematica scientia liber (ed. N. Festa), Leipzig 1891.Google Scholar
  16. [15]
    Iamblichi: de vita Pythagorica liber (ed. L. Deubner), Leipzig 1937.Google Scholar
  17. [16]
    Landau, E.: Grundlagen der Analysis (Das Rechnen mit ganzen, rationalen, irrationalen, komplexen Zahlen). Ergänzung zu den Lehr-büchern der Differential-und Integralrechnung, Leipzig 1930 (repr. Frankfurt 1970).Google Scholar
  18. [17]
    Lipschitz, R.: Grundlagen der Analysis, Bonn 1877.Google Scholar
  19. [18]
    Lorenzen, P.: Differential und Integral. Eine konstruktive Einführung in die klassische Analysis, Frankfurt 1965.Google Scholar
  20. [19]
    Meray, C: Remarques sur la nature des quantités définies par la condition de servir de limites à des variables données, in: Revue des Sociétés savantes. Sciences mathém., phys. et naturelles, 2e séries, t. IV, 1869.Google Scholar
  21. [20]
    Neugebauer, O. and A. Sachs: Mathematical Cuneiform Texts, New Haven 1945.Google Scholar
  22. [21]
    Stevin, S.: La practique d’arithmetique, Leiden 1685.Google Scholar
  23. [22]
    Stifel, M.: Arithmetica integra, Nürnberg 1544, Buch II, Kap. 1.Google Scholar
  24. [23]
    Tropfke, J.: Geschichte der Elementarmathematik. Vol. 1 Arith-metik und Algebra, Berlin/New York 1980.MATHGoogle Scholar
  25. [24]
    Weierstrass, K.: Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen. Vorlesung 1880/81. Nachschrift von A. Kneser.Google Scholar
  26. [25]
    van der Waerden, B.L.: Die Pythagoreer: religiöse Bruderschaft und Schule d. Wiss., Zürich 1979.Google Scholar
  27. [26]
    van der Waerden, B.L.: Algebra II, Berlin/Heidelberg/New York 1967.Google Scholar

Further Reading

  1. [27]
    Burrill, C.W.: Foundations of Real Numbers. New York: McGraw-Hill, 1967.MATHGoogle Scholar
  2. [28]
    Cohen, L.W. and Gertrude Ehrlich: The Structure of the Real Number System. Princeton: D. Van Nostrand, 1963.MATHGoogle Scholar
  3. [29]
    Dedekind, R.: Essays on the Theory of Numbers, tr. by W.W. Be-man. Chicago: Open Court, 1901; New York: Dover, 1963.Google Scholar
  4. [30]
    Dodge, C.W.: Numbers and Mathematics. Boston: Prindle, Weber & Schmidt, 1969.Google Scholar
  5. [31]
    Landau, Edmund: Foundations of Analysis, tr. by F. Steinhardt, New York: Chelsea, 1951.Google Scholar
  6. [32]
    Niven, Ivan: Irrational Numbers, Carus Mathematical Monograph No. 11. New York: John Wiley, 1956.MATHGoogle Scholar

Copyright information

© Springer Science+Business Media New York  1991

Authors and Affiliations

  • K. Mainzer

There are no affiliations available

Personalised recommendations