Extensions of the Language: Structures

Abstract

Instead of considering just one relation, we could consider the structure formed by a finite set of relations R ₁,…, R _k , of arities m ₁,…,m _k , respectively, all on the same universe E; such a structure is called a multirelation; the sequence of arities m ₁,…,m _k is called the signature (or similarity type) of the multirelation. Given a second multirclation (S ₁,…, S _k ) with universe F and the same signature, an isomorphism from (R ₁,…, R _k ) to (S ₁,…, S _k ) is a function s from E to F that is an isomorphism from R ₁ to S ₁,…, from R _k to S _k . The notions of extension, embedding, local isomorphism, p-isomorphism, etc. are defined the same way as for relations. For the language associated with a multirelation, or more precisely with its signature, we now must introduce k relation symbols, instead of just one: one of arity m ₁ to denote R ₁, …, one of arity m _k to denote R _k .

En second Heu, les deux mémoires sont courts et nullement proportionnés aux titres; et puis il y a au moins autant de françals que d ’ algèbre à tel point que l’imprimeur, quand on lui a porté les manuscrits , a cru do bonne foi que c’était une introduction . . . Il eut été si facile encore de substituer successivement toutes los lettres de l’alphabet dans chaque équation, en les numérotant par ordre pour pouvoir rcconnaître à quelles combinaisons de lettres appartiennent les equations subséquentes; ce qui eut multiplie indéfiniment le nombre d’équations, si l’on réflechit qu’après l’alphabet latin, il y a encore l’alphabet grec, que celui-ci épuisé, il reste les caractères allemands, que rien n’empêcho do se servir des lettres syriaques , et au besoin des lettres chinoises! Il eut été si facile de transformer dix fois chaque phrase, en ayant soin de faire preceder chaque transformation du mot solennel théorème ...

E.G.