Abstract
The early years of the new century were intense in scientific activity in Göttingen. Hilbert’s reputation was becoming increasingly established as the leading German mathematician of his generation. When he was invited to join the Berlin faculty, he turned down the offer and preferred to remain at Göttingen, on condition that Klein would arrange with the ministry that a new, third chair of mathematics be especially created for his friend Minkowski, who thus arrived in town in 1902.2 The picture was completed in 1904, as Runge and Prandtl joined in. By all standards, this was an entirely unprecedented situation in German mathematics, which definitely contributed to consolidate the already visible prominence of this thriving center of excellence. Young students seeking to launch their careers saw in Göttingen, more than ever before, the right place to start realizing their plans. The cadre of students attending Hilbert’s lectures and seminars continued to grow in number and to improve in quality.
Some mathematical-physical theories look to me like a toy that a child has completely messed up and that every three minutes needs to be fixed again, in order to keep it working.1
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References
Hilbert, Tagebuch (DHN 600/3): “Manche math-physikalische Theorie erscheint mir wie ein Kinderspielzeug, dass in Unordnung geraten ist und alle 3 Minuten wieder aufgerichtet werden muss, damit es weiter geht.” The date of this quotation is unknown, but it might be somewhat before 1900.
Cf. Hilbert 1910, 355.
Peckhaus & Kahle 2002.
Peckhaus 1990. 48–49.
Hilbert to Frege, November 7, 1903. Quoted in Gabriel et al. (eds.) 1980, 51–52.
As published in Frege 1903, 253. See Ferreirós 1999, 308–311.
Peckhaus 1990, 56–57.
Zermelo 1908. For a comprehensive account of the background, development and influence of Zermelo’s axioms, see Moore 1982. For an account of the years preceding the publication, see esp. pp. 155 ff.
Hilbert, Voigt and Husserl were on the examination panel of Grelling’s dissertation (Grelling 1910). For more details on the works of Nelson, Grelling and their collaborators, see Peckhaus 1990, esp. 123–196.
Hilbert 1905b, 131
Cf. Avellone, Brigagalia & Zanulla 2002. 406.
There are two extant sets of notes for this course: Hilbert 1905 and 1905a. Quotations below are taken from Hilbert 1905. As these important manuscripts remain unpublished, I transcribe in the footnotes some relevant passages at length. Texts are underlined or crossed-out as in the original. Later additions by Hilbert appear between < > signs.
For a discussion of this part of the course, see Peckhaus 1990, 61–75.
Hilbert 1905, 34: “In jeder Wissenschaft, in der man die Zahlen anwenden will, muß sich so erst die Erkenntnis Bahn brechen, daß die Dinge, mit denen man es zu thun hat, gleichartig endlich und im Sinne von Ax. 17 durcheinander meßbar sind. So ist z.B. der Ausgangpunkt der Astronomie die Erkenntnis, daß man durch Aneinanderfügen irdischer Entfernungen die der Körper im Weltraume erreichen und übertreffen kann, d.h. daß man die himmelschen Entfernungen durch die irdischen messen kann.”
See, e.g., Hilbert 1918, 149.
Hilbert 1905, 36–37 (Emphasis in the original): ”Uns war das Zahlensystem schließlich nichts, als ein Fachwerk von Begriffen, das durch 18 Axiome definiert war. Bei der Aufstellung dieser leitete uns allerdings die Anschauung; die wir von dem Begriff der Anzahl und seiner genetischen Ausdehnung haben... So ist in jeder Wissenschaft die Aufgabe, in den Axiomen zunächts ein Fachwerk von Begriffen zu errichten, bei dessen Aufstellung wir uns natürlich durch die Anschauung und Erfahrung leiten lassen; das Ideal ist dann, daß in diesem Fachwerk alle Erscheinungen des betr. Gebietes Platz finden, und daß jeder aus den Axiomen folgende Satz dabei Verwertung findet. Wollen wir nun für die Geometrie ein Axiomensystem aufstellen, so heißt das, daß wir uns den Anlaß dazu durch die anschaulichen Thatsachen der Geometrie geben lassen, und diesen das aufzureichende Fachwerk entsprechen lassen; die Begriffe die wir so erhalten, sind aber als gänzlich losgelöst von jeder Erfahrung und Anschauung zu betrachten. Bei der Arithmetik ist diese Forderung verhältnismäßig naheliegend, sie wird in gewissem Umfange auch schon bei der genetischen Methode angestrebt. Bei der Geometrie jedoch wurde die Notwendigkeit dieses Vorgehens viel später erkannt; dann aber wurde eine axiomatische Behandlung eher versucht, als ein Arithmetik, wo noch immer die genetische Betrachtung herrschte. Doch ist die Aufstellung eines vollständigen Axiomensystemes ziemlich schwierig, noch viel schwerer wird sie in der Mechanik, Physik etc. sein, wo das Material an Erscheinungen noch viel größer ist.”
Hilbert 1905, 37: “... den Anlaß dazu durch die anschaulischen Thatsachen der Geometries geben lassen...”
Hilbert 1905, 37: “... die Begriffe, die wir so erhalten, sind aber als gänzlich losgelöst von jeder Erfahrung und Anschauung zu betrachten.”
Hilbert 1905, 37: “... das Material an Erscheinungen noch viel größer ist.”
Hilbert 1905, 39: “... Daß wir gerade diese zu Elementardingen des begrifflichen Fachwerkes nehmen, ist willkürlich und geschieht nur wegen ihrer augenscheinlichen Einfachkeit; im Princip könnte man die ersten Dinge auch Kreise und Kugeln nennen, und die Festsetzungen über sie so treffen, daß sie diesen Dingen der anschaulichen Geometrie entsprechen.”
Hilbert 1905, 67: “Die Frage, wieso man in der Natur nur gerade die durch alle diese Axiome festgelegte Euklidische Geometrie braucht, bzw. warum unsere Erfahrung gerade in dieses Axiomsystem sich einfügt, gehört nicht in unsere mathematisch-logichen Untersuchungen.”
As in many other places in his lectures, Hilbert gave no direct reference to the specific physical theory he had in mind here, and in this particular case I have not been able to find it.
Hilbert 1905, 69–70: “Ich schließe hier noch die Bemerkung an, daß man jedes solches Begriffschema, das wir so rein logisch aus irgend welchen Axiomen aufbauen, anwenden kann auf beliebige gegenständliche Dinge, wenn sie nur diesen Axiomen genügen ... Ein solches Beispiel für die Anwendung des Begriffschema der nichteuklidischen Geometrie bildet das System der Lichtwege in unserer Atmosphäre unter dem Einfluß deren variabler Dichte und Brechungsexponenten; machen wir nämlich die einfachste mögliche Annahme, daß die Lichtgeschwindigkeit proportional ist dem vertikalen Abstande y von einer Horizontalebene, so ergeben sich als Lichtwege gerade die Orthogonalkreise jener Ebene, als Lichtzeit gerade die nichteuklidiche Entfernung auf ihnen. Um die hier obwaltenden Verhältnisse also genauer zu untersuchen, können wir gerade mit Vorteil das Begriffschema der nichteuklidischen Geometrie anwenden “
Hilbert 1905, 98: “In diesem Sinne und zu diesem Zwecke hat zuerst Gauß durch Messung an großen Dreicken den Satz hestäti gt. ”
Hilbert 1905, 98: “Das Begriffsfachwerk der Geometrie selbst ist nach Erweisung seiner Widerspruchslosigkeit natürlich auch unabhängig von jeder Beobachtung matematisch existent; der Nachweis seiner übereinstimung mit der Wirklichkeit kann nur durch Beobachtungen geführt werden, und die kleinste notwendige solcher wird durch die Unabhängigkeitsuntersuchungen geceben.”
Elsewhere Hilbert called these two aspects of mathematics the “progressive” and “regressive” functions of mathematics, respectively (both terms not intended as value judgments, of course). See Hilbert 1992, 17–18.
Hilbert 1905, 102: “Das Gebäude der Wissenschaft wird nicht aufgerichtet wie ein Wohnhaus, wo zuerst die Grundmauern fest fundiert werden und man dann erst zum Auf- und Ausbau der Wohnräume schreitet; die Wissenschaft zieht es vor, sich möglichst schnell wohnliche Räume zu verschaffen, in denen sie schalten kann, und erst nachträglich, wenn es sich zeigt, dass hier und da die locker gefügten Fundamente den Ausbau der Wohnräume nicht zu tragen vermögen, geht sie daran, dieselben zu stützen und zu befestigen. Das ist kein Mangel, sondern die richtige und gesunde Entwicklung.” Other places where Hilbert uses a similar metaphor are Hilbert 1897, 67; Hilbert 1918, 148.
Hilbert 1904, 1905c.
Appendix 2 provides additional details on this.
Hilbert 1902–03, 1903a.
Hilbert 1902–03, 2. The manuscript shows an interesting hesitation on how this claim was stated: “Das <Als ein wichtiges> Ziel der Vorlesung ist <denke ich mir> die mathematische Beschreibung der Axiome der Physik. Vergl. Archiv der Mathematik und Physik, meine Rede: ‘Probleme der Mathematik’.” However, it is not clear if this amendment of the text reflects a hesitation on the side of Hilbert. or on the side of Berkowski. who wrote down the notes_
Thus for instance in Hilbert 1902–03,
Hilbert 1903b, 47–91.
Hilbert 1903b. 91–164.
See the announcements in JDMV 12 (1903), pp. 226 & 445. Earlier volumes of the JDMV do not contain announcements of the activities of the GMG, and therefore it is not known whether he also discussed his earlier courses there.
DHN 570/1 contains a somewhat random collection of handwritten notes related to many different courses and seminars of Hilbert. Notes of this seminar on stability theory appear on pp. 18–24. Additional, related notes appear in DHN 696.
DHN 593 contains what appear to be the handwritten notes of this talk, with the title “Vortrag über Stabilität einer Flüssigkeit in einem Gefässe”, and including some related bibliography.
As reported in Naturwissenschaftliche Rundschau Vol. 18, (1903), 553–556 (cf. Schirrmacher 2003, 318, note 63). The reporter of this meeting, however, considered that Hilbert was addressing a subtlety, rather than a truly important physical problem.
Rüdenberg and Zassenhaus (eds.) 1973, 110–114.
Minkowski 1906.
JDMV 12 (1903), 445 & 447; 15 (1906), 407.
Cf. JDMV 13 (1904), 492; 16 (1907), 171; 17 (1908), 116. See also the Vorlesungsverzeichnisse, Universität Göttingen, WS 1903–04, 14; SS 1904, 14–16. A relatively large collection of documents and manuscripts from Minkowski’s Nachlass has recently been made available at the Jewish National Library, at the Hebrew University, Jerusalem. These documents are yet to be thoroughly studied and analyzed. They contain scattered notes of courses taught at Königsberg, Bonn, Zurich and Göttingen. The notes of a Göttingen course on mechanics, WS 1903–04, are found in Box IX (folder 4) of that collection. One noteworthy aspect of these notes is that Minkowski’s recommended reading list is very similar to that of Hilbert’s earlier courses (see above § 2.1.3) and comprises mainly texts then available at the Lesezimmer. It included classics such as Lagrange, Kirchhoff, Helmholtz, Mach, and Thomson-Tait, together with more recent, standard items such as the textbooks by Voigt, Appell, Petersen, Budde and Routh. Like Hilbert’s list it also included the lesser known Rausenberg 1888, but it also comprised two items absent from Hilbert’s list: Duhamel (1853–54) and Föppl (1901). Further, it recommended Voss’s Encyklopädie article as a good summary of the field.
Pyenson 1979 contains a detailed and painstaking reconstruction of the ideas discussed in this seminar and the contributions of its participants. This reconstruction is based mainly on DHN 570/9. I strongly relied on this article as a starting point for my account of the seminar in the next several paragraphs. Still, my account departs from Pyenson’s views in some respects.
JMDV 16 (1907), 78.
Planck 1906. The notes of the course appear in Minkowski 1907.
Thus, for instance, in December 1904 Schwarzschild had reported on a recent paper of Alexander Wilkens (1881–1968) on astronomical observations and their compatibility with Lorentz’s theory (Cf. JDMV 14 (1905). 61).
Cf. Pvenson 1979 102
Cf. Warwick 1991.
Lorentz 1895.
Cf. Arabatzis 1996.
In Larmor’s theory the situation was slightly different, and so were the theoretical reasons for adopting the contraction hypothesis, due also to Georg FitzGerald (1851–1901). For details, see Warwick 2003, 367–376.
For a more detailed exnlanation_ cf. Janssen 2002.
Lorentz 1900.
Wien 1900. This is the article to which Voss referred in his survey of 1901, and that he took to be representative of the new foundationalist trends in physics (§ 1.3.5 above). Cf. Jungnickel & McCormmach 1986, Vol 2, 236–240.
Lorentz 1898, 101. Translation quoted from Hirosige 1976, 35.
Cf. Hon 1995; Miller 1997, 44–51, 57–62.
Abraham 1903, 168. On Abraham’s electron theory, see Goldberg 1970; Miller 1997, 51–57.
Quoted in Jungnickel & McCormmach 1986, Vol 2, 241. For a recent summary account of the electromagnetic worldview and the fate of its program_ see Kragh 1999. 105–199_
Cf. Darrigo12000.344–347.
Wiechert 1899.
Cf., e.g., Born 1978, 91 & 134–137.
Lorentz 1904.
Poincaré 1901.
Cf. Darrigol 2000, 351–366.
Hertz 1904; Schwarzschild 1903.
Sommerfeld 1904, 1904a, 1905.
Herglotz 1903; Wiechert 1901.
Pyenson 1979, 129–131. According to Pyenson, whereas Einstein “sought above all to address the most essential properties of nature”, the Göttingen seminarists “sought to subdue nature, as it were, by the use of pure mathematics. They were not much interested in calculating with experimentally observable phenomena. They avoided studying electrons in metal conductors or at very low or high temperatures, and they did not spend much time elaborating the role of electrons in atomic spectra, a field of experimental physics then attracting the interest of scores of young physicists in their doctoral dissertations.” Pyenson stresses the fact that Ritz’s experiment was totally ignored at the seminar and adds: “For the seminar Dozenten it did not matter that accelerating an electron to velocities greater than that of light and even to infinite velocities made little physical sense. They pursued the problem because of its intrinsic, abstract interest.” Noteworthy as these points are, it seems to me that by overstressing the question of why the Göttingen group achieved less than Einstein did, the main point is obscured in Pyenson’s article, namely, what and why were Hilbert, Minkowski and their friends doing what they were doing, and how is this connected to the broader picture of their individual works and of the whole Göttingen mathematical culture.
Hilbert 1905, 121: “Von einem durchgeführten axiomatischen Behandlung der Physik und der Naturwissenschaften ist man noch weit entfernt; nur auf einzelnen Teilgebieten finden sich Ansätze dazu, die nur in ganz wenigen Fällen durchgeführt sind. <Die Durchführung ist ein ganzes grosses Arbeitsnrogramm_ Vol Diccertatinn vnn Chimmac.k “
The works referred to by Hilbert are Darboux 1875, Hamel 1905, Schimmack 1903. Schimmak’s paper was presented to the GWG by Hilbert himself. An additional related work, also mentioned by Hilbert in the manuscript. is Schur 1903.
Cf. Crowe 1967, 150 ff., Yavetz 1995.
Schimmack 1903, 318.
Hilbert 1905, 123: “... das andere wäre genau dasselbe, wie wenn man in der Geometrie die Linearität der Geraden als einziges Axiom an die Snitze stellen wollte (vgl. S. 1181.”
Hilbert 1905, 123: “Addition zweier Vektoren derselben Richtung geschieht durch algebraische Addition der Strecken auf der gemeinsame Geraden “
Hilbert 1905, 124: “Nimmt man eine Drehung D des Zahlenraumes um den gemeinsamen Anfangspunkt vor, so entsteht aus A+B die Summe der aus A und aus B einzeln durch D entstehenden Vektoren: D(A+B)=DA+DB. d.h. die relative Lage von Summe und Komponenten ist gegenüber allen Drehungen invariant.”
Hilbert 1905, 124: “Zu einem genügend kleine Gebiete G um den Endpunkt von A+B kann man stets um die Endpunkte von A und B solche Gebiete G1 und G2 abgrenzen, daß der Endpunkt der Summe jedes im G1 u. G2 endigenden Vectorpaares nach G fällt.”
Hilbert 1905, 125: “Nimmt man von vornherein als Grundaxiom aller Naturwissenschaft an, daß alle auftretenden Funktionen einmal stetig differenzierbar sind, so kommt man hier mit den ersten 4 Axiomen aus.”
Quoted in Boltzmann 1974, 228–229.
Hilbert 1905, 125: “Schreibt man für die Erfüllung der Behauptung einen gewissen genügend kleinen Genaugikeits-grad vor, so läßt sich ein Bereich angeben, innerhalb dessen man die Voraussetzungen frei wählen kann, ohne daß die Abweichung der Behauptung den vorgeschriebenen Grad überschreitet.”
Hilbert 1905, 125: “Das Experiment zwingt uns geradezu dazu, ein solches Axiom an die Spitze aller Wissenschaft zu setzen, denn wir können bei ihm stets nur das Ein <Zu>treffen von Voraussetzung und Behauptung mit einer gewissen beschränkten Genauigkeit feststellen.”
Hilbert 1905, 126: “Rein mathematisch werden natürlich auch physikalische Axiomensysteme, die auf diese Stetigkeit Verzicht leisten, also eine ‘nicht-Archimedische Physik’ in erweiterten Sinne definieren, von hohen Interesse sein können; wir werden jedoch zunächst noch von ihrer Betrachtung absehen können, da es sich vorerst überhaupt nur darum handelt, die fruchtbaren Ideen und Methoden in die Physik einzuführen.” But see below § 9.1.
Cf. Dorier 1995; Moore 1995.
This point, which helps understanding Hilbert’s conception of algebra, is discussed in detail in Cony 2003, § 3.4.
Hilbert 1905, 127: “I. Kräfte mit denselben Angriffspunkten sind ihrer Summe (im obigen Sinne) aequivalent. II. 2 Kräfte K,L mit verschiedenen Angriffspunkten P,Q und dem gleichen (auch gleichgerichteten) Vektor, deren Richtung in die Verbindung P,Q fällt, heißen gleichfalls aequivalent. ... III. Ein starrer Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die an ihn angreifenden Kräfte ziIsammengennmmen der Null aenuivalent cind “
Hilbert 1905, 129: “... ihr gleichmäßiger Verlauf und ihre Eindimensionalität.”
Hilbert 1905, 129: “... anschauliche unabhängige Tatsachen.”
Hilbert 1905, 129: “Es ist ohne weiteres klar, daß dieser Parameter t durch eine beliebige Funktion von sich ersetzt werden kann, das würde etwa nur auf eine andere Benennung der Ziffern der Uhr oder einen unregelmäßiger gang des Zeiger hinauskommen.”
One is reminded here of a similar explanation, though in a more general context, found in Hilbert’s letter to Frege. on December 29. 1899. See Gabriel et a1. 1980. 41_
Hilbert 1905, 129 (Emphasis in the oirginal): “Der Ein wesentlicher Unterschied von Zeit und Raum ist nur der, daß wir in der Zeit nur in einem Sinne, dem des wachsenden Parameters experimentieren können, während Raum und Zeit darin übereinstimmen, daß uns beliebig große Parameterwerte unzugänglich sind.”
Here Hilbert adds with his own handwriting (p. 130): <Astronomie! Wie wichtig wäre Beobachtungen in ferner Vergangenheit u. Zukunft!> .”
Hilbert 1905, 130: “... eine experimentelle nur aus der Mechanik zu entnehmende Tatsache.”
Hilbert 1905, 130: “... die m 1 , m2 von der Zeit, vor allem aber von dem Stoffe abhängig sein können.”
Hilbert 1905, 130: “... der häufigste Stoff etwa kann dann zu Zeitmessungen verwandt werden.”
Hilbert 1905, 131: “... für uns leicht eroße scheinbare Unstetigkeiten der Zeit auftreten.”
See Voss 1901, 14. Voss quoted Larmor 1900, 288, and Hertz 1894, 165.
A detailed account of the kind of criticism advanced by Mach, and before him by Carl Neumann and Ludwig Lange, anvears in Barbour 1989, Ch. 12.
For more detail on Gauss’s principle, see Lanczos 1986, 106–110. Interestingly, Lanczos points out that “Gauss was much attached to this principle because it represents a perfect physical analogy to the ‘method of least squares’ (discovered by him and independently by Legendre) in the adjustment of errors.” As will be seen below, Hilbert also discussed this latter method in subsequent lectures, but did not explicitly make any connection between Gauss’s two contributions.
Hilbert 1905, 137: “Ist ein System in Ruhe und die Kräftefunction konstant (wirken keine Kräfte), so bleibt es in Ruhe.”
Hilbert 1905, 138: “Es läßt sich zeigen, daß unter allen den Bedingungen, die die Gleichgewichtsbedingungen liefern. wirklich Gleichgewicht eintritt.”
Hilbert 1905, 138 (Emphasis in the oirginal): “Es folgt jedoch nicht, daß diese Bedingungen auch notwendig für das Gleichgewicht sind, daß nicht etwa auch unter andern Umständen ein mechanisches System im Gliechgewicht sein kann. Es muß also noch ein Axiom hinzugenommen werden, des Inhaltes etwa: Ein mechanisches System kann nur dann im Gleichgewicht sein, wenn es dem Axiom der Unmöglichkeit des Perpetuum mobile gemäß in Ruhe ist.”
Hilbert 1905, 141: “Nach einem Impuls muß die kinetische Energie des Systems bei der <wirklich> eintretenden Bewegung ein Maximum sein gegenüber allen mit dem Satze von der Erhaltung der Energie verträglichen Bewegungen.”
Hilbert 1905, 146: “Er liefert jedenfalls von dieser Grundlage aus in abstrakter und präcisester Weise einen wunderbaren Aufbau der Mechanik, indem er ganz nach Euklidischen Ideale ein vollständiges system von Axiomen und Definitionen aufstellt.”
Hilbert 1905, 146: “Die Bewegung eines jeden Systemes erfolgt gleichförmig in einer ‘geradesten Bahn’, d.h. für einen Punkt: die Krümmung
See Hertz 1956, 31. This point is discussed in Lützen 1995, 35–36.
Hilbert 1905–6, § 3.1.2. The contents of this course are analyzed in some detail in Blum 1994 (unnublished).
This particular lecture of Hilbert is dated in the manuscript July 26, 1905, whereas Poincaré’s article was submitted for publication on July 23, 1905, and Einstein’s paper three weeks later. Poincaré had published a short announcement on June 5, 1905, in the Comptes rendus of the Paris Academy of Sciences.
Boltzmann 1900.
Reiff 1900.
Boltzmann 1900, 668: “... ein detailliertes Bild der gesamten Erscheinungswelt zu erhalten.”
For more details, cf. Klein 1970, 64–66.
Ehrenfest 1904, 4–5.
For details on Ehrenfest’s dissertation, see Klein 1970, 66–74.
In the manuscript the formula in the leftmost side of the equation appears twice, having a “-” sign in front of V × curl V. This is obviously a misprint, as a straightforward calculation readily shows.
In his article mentioned above, Reiff had tried to derive the pressure forces in a fluid starting only from the conservation of mass (Reiff 1900). Boltzmann pointed out that Reiff had obtained a correct result because of a compensation error in his mathematics. See Klein 1970, 65.
Cf. Crowe 1967, 182–224.
Love 1901, 62–63. The same is the case for Lamb 1895, 7. This classical textbook, however, saw many later editions in which the vectorial formulation was indeed adopted.
Prandtl 1904, 489.
Cf. Crowe 1967, 226–233.
Bucherer 1903, 77–84.
Gans 1905, 66–67.
Hilbert 1905, 154: “Es wäre nun die Frage, ob man mit diesen 5 partiellen Gleichungen als einzigem Axiom nicht auch überhaupt in der Mechanik auskommt, oder wie weit das geht, d.h. wie weit man sich auf Newtonsche Attraktion bzw. auf die entsprechenden Feldgleichungen beschränken kann.”
Hilbert 1905, 154: “Ich ... will nun noch auf zwei besondere Gebiete der Naturwissenschaft übergehen. wo eine axiomatische Behandlung besonders nahe liegt_”
At the beginning of the section on thermodynamics, Hilbert added on the margin: <Axiome der elementaren Strahlungstheorie einschieben>. Hilbert dealt with the theory of radiation beginning around 1912. This remark may have been added after that time.
On the relationship between Clausius’s and Planck’s formulations of the principle, see Hiebert 1968, 10–16; Kuhn 1978, 14–16.
Hilbert 1905, 155 (Emphasis in the oirginal): “Es ist unmöglich, bei thermischem Gleichgewicht aus einer beliebige Wärmemengen enthaltenden Wärmequelle, durch reine Kreisprocesse Arbeit zu gewinnen (d.h. durch solche Processe, bei denen alle Körper schließlich wieder in der Anfangszustand zurückkehren).”
For an account of Helmholtz’s treatment of thermodynamics, see Bierhalter 1993.
This point of view had been already introduced in Hilbert 1903a, pp. 60 ff.
Hilbert 1905, 161: “Damit haben wir nun ein vollständiges und notwendiges Axiomensystem der Thermodynamik, der sehr übersichtlich und klar ist und insbesondere auch den Vorzug hat, die Wärme Q und Arbeit A völlig symmetrisch einzuführen, obendrein hat es in seinem Aufbau noch eine große Analogie mit früheren Axiomensystemen anderer Wissenschaften.”
Hilbert 1905, 163: “Allemal handelt es sich darum, die Eigenschaften einer gewissen Funktion in kleine unmittelbarer evidente Axiome zu zerlegen, und aus ihnen dann die analitysch Darstellung der Funktion herzuleiten; diese läßt dann die wesentlichen Eigenschaften der Sätze der vorliegenden Disziplin unmitelbar zu erkennen.”
At the end of the section, Hilbert added in his handwriting (Hilbert 1905, 169): “<Nernst’s dritte Wärmersatz!> .”
Carathéodory 1909, 139.
Carathéodory 1909, 139–140.
Rom 1921_ 21g_
In Born’s autobiography one can read the following, relevant passage (1978, 119): “I tried to popularize [Carathéodory’s ideas] in a series of articles which appeared in the Physikalische Zeitschrift. But only a few of my colleagues accepted this method, amongst them R.H. Fowler, one of the foremost experts in this field. Fowler and I intended, a few years ago, to write a little book on this subject in order to make it better known in the English-speaking world, when he suddenly died. That will, I suppose, be the end of it, until somebody re-discovers and improves the method.”
Bohlmann 1901.
Czuber 1900, 735–740.
Von Bortkiewicz 1901, 837–846.
The reference is to Poincaré 1896, 12. In order to make the context of ideas more precise, it is worth mentioning that the subtitle of Poincaré’s book is ”Cours de physique mathématique.”
For additional details on Bohlmann, cf. Hochkirchen 1999, 28–31.
Hilbert 1905, 168: “Wir fassen das einfach als Definitionen auf, wiewohl im gegenwärtigen Zustande der Entwicklung besonders die Bezeichnungen ‘Axiom’ und Definition noch etwas durcheinandergehen.”
Cf. Gabriel et al. (eds.) 1980, 40.
Hilbert 1905, 170: “ ‘Wenn E1 ist, so ist stets auch E2’ oder ‘E2 folgt aus E1’ schreiben wir E1 lE2.”
Poincaré 1896, 12.
Laemmel’s dissertation is renroduced in Schneider (Pdi 1 19RR 159–1A6
Reproduced in Schneider (ed.) 1988. 367–377.
For a review of later attempts to axiomatize the calculus of probabilities until 1933, see Schneider (ed.) 1988, 353–358. A more detailed account appears in Von Plato 1994; see especially pp. 179–278, for the foundational works of Richard von Mises (1883–1953), Andrei N. Kolmogorov (1903–1987), and Bruno De Finetti (1906–1985). For a more recent account see also Hochkirchen 1999.
Bohlmann 1909.
The centrality of this principle for Neumann’s Königsberg seminar for physics, especially at the pedagogic level, is thoroughly discussed throughout the chapters of Olesko 1991.
Czuber 1899. 150–224.
Hilbert 1905, 171: “Liegen für eine Größe mehrere Werte aus Beobachtungen vor, so ist ihr wahrscheinlichster Wert das arithmetische Mittel aller beobachteten Werte.”
Hilbert 1905, 171–172: “Es ist also gleichgültig, welches dieser 3 vollkommen aequivalenten Axiome man zu grunde liegt. Eines von ihnen zu ‘beweisen’, wie man früher wohl versuchte, ist natürlich unmöglich.”
Hilbert 1905, 172: “Was man daß wirklich gerade als Grundlage aussprechen will, wenn sich so verschiedene Möglichkeiten ergeben haben, is wie stets willkürlich und hängt von persönlichen Momenten und dem allgemeinen Stande der Wissenschaft ab.”
Hilbert 1905, 172: “ [D]as dauernd bleibende und wichtige sind die Abhängigkeiten, die bei diesen Untersuchungen zu Tage treten.”
Bauschinger 1900. For an account of Bauschinger’s contributions to astronomy see Hopmann 1934
Kuhn 1978, 21, quotes in this respect the well-known textbook, Gibbs 1902, and an “almost forgotten” work, Einstein 1902.
Hilbert 1905, 176: “Hier können wir aber bereits ein paradoxes, zum mindesten nicht recht befriedigendes Resultat feststellen.”
Hilbert 1905, 180–181: “Genau so ist es nun hier in der kinetischen Gastheorie. Indem wir behaupten, daß die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung den mechanischen Differentialgleichnungen genügt, vermeiden wir wohl einen Verstoß gegen das sofort bekannte Integral der lebendigen Kraft; weiterhin aber wird die Annahme gemacht, daß-die durch die Differentialgleichungen geforderten weiteren Eigenschaften der Gaspartikelbewegung liegen soviel tiefer und sind so feine Unterscheidungen, daß sie so große Aussagen über mittlere Werte, wie die des Maxwellschen Gesetzes, nicht berühren.”
Hilbert 1905, 182–183: “Sie ist keine exakte mathematische Theorie, aber zu einer ersten Orientierung, wenn man nur alle unmittelbar leicht ersichtlichen mathematischen Tatsachen benutzt, häufig sehr geeignet; sonst führt sie sofort zu großen Verstößen. Am besten kann man immer nachträglich sagen, daß die Anwendung der Wahrscheinlichkeit immer dann berechtigt und erlaubt ist, wo sie zu richtigen, mit der Erfahrung bzw. der sonstigen mathematischen Theorie übereinstimmenden Resultaten führt.”
In Hilbert 1912, Chpt. XXII.
Hilbert 1905, 184: “Wie wir nun in der Thermodynamik zunächst als wichtigstes Resultat aus den Axiomen die Gestalt einer gewissen Funktion f(θ,H) herleiten mußten, und ähnliches auch mehrfach in andern Disciplinen halten, so ist auch hier die fundamentalste Tatsache die Existenz einer gewissen Funktion einer Variablen und ihre Darstellung.”
Czuber 1899, 236...
Hilbert 1905, 185 (Emphasis in the oirginal): “Jede Gesammtheit von gleichartigen Risiken, zu denen die Wahrscheinlichkeit p(x,y) gehört, besitzt eine (fingierte) Absterbeordnung; d.h. zu ihr gehört eine Funktion 1(x) der kontinuerlichen Variablen x, gennant die Zahl der Lebenden des Altes x oder Lebensfunktion mit folgenden Eigenschaften: ... .”
Hilbert 1905, 187: “Zur Festlegung von L muß man nun natürlich noch Axiome hinzunehmen, und Laplace kommt da mit einer allgemeinen, ihm unmitelbar anschaulichen Vorstellung über Relativbewegung aus, daß wir nämlich eine gleichförmige Bewegung des ganzes Weltalls nicht merken würden. Alsdann läßt sich die Form mv2/2 von L(v) bestimmen, und das ist wieder die ganz analoge Aufgabe zu denen, die das Fundament der Vektoraddition, der Thermodynamik, der Lebensversicherungsmathematik u.a. bildeten.”
Respectively, Abraham 1902, 37; Lorentz 1904, 184. Lorentz’s Lagrangian is somewhat different, since it contains two additional terms. involving the inverse of v3.
Hilbert 1905, 188: “Nimmt man nun wieder die Differentialgleichungen bzw. das zugehsrige Variationsproblem als Axiom und läßt L zunächst als noch unbestimmte Funktion von v stehe, so handelt es sich darum, dafür möglichst einfache und plausible Axiome so zu konstruiren, daß sie gerade jene Form von L(v) bestimmen. Natürlich werden wir mehr oder kompliciertere Axiome brauchen. als in dem einfachen Falle der Mechanik hei T. anlace
Lorentz 1904a.
Cf. Pyenson 1979, 103.
For biographical information on Oppolozer, see Poggendorff, J.C. Biographisch-Literarisches Handwörterbuch ... Vol. IV (no.1097–8) and Vol. V (n. 923).
Oppolzer 1902–3.
On Fechner’s contributions see Boring 1929, 265–287. More generally, on the German school, see there, pp. 237–401. Oppolzer is mentioned neither in Boring’s classical account, nor in other, standard similar works.
Helmholtz’s theory is discussed in detail in Kremer 1993, 237–258.
According to Turner 1987, 44, research into color vision was the single topic that attracted the greatest number of publications in physiological optics between 1870 and 1885. It continued to be at the center of attention of German vision research until 1920. See Kremer 1993, 257–258.
Hilbert 1905, 189: “Das Hauptproblem ist, diese Helligkeit x als Funktion der Bestimmungstücke der das Licht physisch (sic) zusammensetzenden homogenen Lichter (d.i. Intensität und Wellenlänge eines jeder) darzustellen.”
As Kremer 1993, 257, describes it: “For a variety of philosophical, institutional and personal reasons, color researchers between 1860 and 1920 simply could not agree on which color experiences are quintessential or on what criteria are appropriate to evaluate hypothetical mechanisms for a psychoneurophysiological system of sensation.”
Hilbert 1905, 189: “Psychisch gleich Erscheinendes (was [ 190] aber physisch verschieden sein kann), bei der physischen Operation der Mischung wieder psychisch Gleiches gilt.”
Hilbert 1905, 190: “Das mag zur Kennzeichnung genügen, wie auch in diesem von den früheren so ganz verschiedenen Gebiete unsere Gedankengänge fruchtbar werden.”
Cf., for instance, Murray & Bandomir 2000.
Hamel 1909, 358.
According to Clifford Truesdell (1968, 336), this article of Hamel, together with the much later Noll 1959, are the “only two significant attempts to solve the part of Hilbert’s sixth problem that concern mechanics [that] have been published.” One should add to this list at least another long article by Hamel (1927) that appeared in Vol. 5 of the Handbuch der Physik.
Hilbert 1905 (added): “<Besonders interessant ist es zu sehen, wie die axiomatische Methode von Planck sogar bei der modernen Quantentheorie, wo die Grundbegriffe noch so wenig geklärt sind, in mehr oder weniger konsequenter und in mehr oder weniger bewussten Weise zur Anwendung gebracht werden: dabei Ausschaltung der Elektrodynamik, um Widerspruch zu vermeiden—gerade wie in der Geometrie Ausschaltung der Stetigkeit, um den Widerspruch gegen die Nichtpaskalsche Geometrie zu beseitigen, oder in der Gastheorie Ausschaltung der Mechanik (Benutzung allein der Stossformel oder des Liouvilleschen Satzes) dafür Axiom der Wahrscheinlichkeit—(Entropie Maximum), um den Widerspruch gegen den Umkehr- oder Wiederkehreinwand zu beseitigen.> “
Hilbert was most likely present when, on November 13, 1906, Paul Ehrenfest gave a lecture at the GMG on Boltzmann’s H-theorem and some of the objections (Einwände) commonly raised against it. This lecture is reported in JDMV, Vol. 15 (1906) p. 593.
Cf. Klein 1970, 119–140.
Cf. Klein 1970, 230–257.
See also below 4.4.
Hamel 1927.
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Corry, L. (2004). The Axiomatic Method in Action: 1900–1905. In: David Hilbert and the Axiomatization of Physics (1898–1918). Archimedes, vol 10. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-1-4020-2778-9_4
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