Sur certains espaces d’homologie relative d’algèbres de Lie: cas des polarisations positives

Abstract

We consider spaces of relative Lie-algebra homology and cohomology with values in some representation space, which arise in the study of harmonically induced representations of Lie groups. In the case when the group is nilpotent and the polarization M is positive, we compute explicitly in degree 0 the relative homology of M with values in the C ^∞-vectors and, by some anti-duality argument, the relative cohomology of the conjugate polarization. $\bar{{\cal M}}$ with values in the distribution vectors of the same representation. Both spaces are shown to be 1-dimensional.

Résumé

Nous étudions des espaces d’homologie et de cohomologie relatives d’algèbres de Lie à valeurs dans une certaine représentation, qui apparaissent en théorie des représentations induites harmoniques des groupes de Lie. Supposant Ie groupe nilpotent et la polarisation P positive, nous calculons explicitement en degré 0 l’homologie relative de M é valeurs dans les vecteurs C ^∞ et en déduisons, par un résultat d'anti-dualité, la cohomologie relative de la polarisation conjuguée $\bar{{\cal M}}$ à valeurs dans les vecteurs-distributions de la même representation. Le résultat est que ces deux espaces sont de dimension l.