Advertisement

100 Years of Fourier Series and Spherical Harmonics in Convexity

  • H. Groemer
Part of the Applied and Numerical Harmonic Analysis book series (ANHA)

Abstract

Various examples are given that illustrate the fact that Fourier series and spherical harmonics are sometimes essential tools for proving interesting theorems in the geometry of convex sets. To make the article more self-contained most pertinent definitions are stated and the underlying geometric and analytic facts are briefly discussed.

Keywords

Fourier Series Convex Body Spherical Harmonic Support Function Legendre Polynomial 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. 1.
    [1] Bonnesen, T. and Fenchel W., Theorie der konvexen Körper, Ergebn. d. Math., Bd. 3, Springer Verlag, 1934. (Engl, transi.: Theory of Convex Bodies, BCS Assoc, 1987.)CrossRefGoogle Scholar
  2. 2.
    [2] Fujiwara, M., Über die einem Vielecke eingeschriebenen und umdrehbaren konvexen geschlossenen Kurven, Sci. Rep. Tôhoku Univ. 4 (1915), 43–55.MATHGoogle Scholar
  3. 3.
    Funk, P., Über Flächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien, Math. Ann. 74 (1913), 278–300.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  4. 4.
    [4] Funk, R., Über eine geometrische Anwendung der Abelschen Integralgleichung, Math. Ann. 77 (1915), 129–135.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  5. 5.
    Gardner, R., Geometric Tomography, Cambridge University Press, 1995.MATHGoogle Scholar
  6. 6.
    [6] Groemer, H., Stability of geometric inequalities. In Handbook of Convex Geometry (Section 1.4), North Holland Publ., 1993.Google Scholar
  7. 7.
    [7] Groemer, H., Fourier series and spherical harmonics in convexity. In Handbook of Con-vex Geometry (Section 4.8), North Holland Publ., 1993.Google Scholar
  8. 8.
    Groemer, H., Geometric Applications of Fourier Series and Spherical Harmonics, Cam-bridge University Press, 1996.MATHCrossRefGoogle Scholar
  9. 9.
    Hurwitz, A., Sur le probléme des isopérimétres, C. R. Acad. Sci. Paris 132 (1901), 401–403; Math. Werke, 1. Bd., Birkhäuser, 1932, pp. 490–491.Google Scholar
  10. 10.
    Hurwitz,A., Sur quelque applications géométriques des séries Fourier, Ann. Sci. Ecole Normal Sup. (3), 19 (1902), 357–408; Math. Werke, 1. Bd. Birkhäuser, 1932, pp. 509–554.Google Scholar
  11. 11.
    [11] Meissner, E., Über die Anwendung von Fourier-Reihen auf einige Aufgaben der Ge-ometrie und Kinematik, Vierteljahresschrift d. naturforschenden Gesellsch. Zürich 54 (1909), 309–329.Google Scholar
  12. 12.
    Meissner, E., Über die durch reguläre Polyeder nicht stützbaren Körper, Vierteljahres-schrift d. naturforschenden Gesellsch. Zürich 63 (1918), 544–551.Google Scholar
  13. 13.
    [13] Minkowski, H., On convex bodies of constant width (Russian), Mat. Sb. 25 (1904–1906), 505–508. (German transi.: Über die Körper konstanter Breite, Ges. Abh. 2, Bd. 277–279, Teubner, 1911.)Google Scholar
  14. 14.
    [14] Radon, J., Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Manigfaltigkeiten, Ben Verh. Sächs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. 69 (1917), 262–277.Google Scholar
  15. 15.
    Schneider, R., Gleitkörper in konvexen Polytopen, J. Reine Angew. Math. 248 (1971), 193–220.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  16. 16.
    [16] Schneider, R., Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory, Cambridge University Press, 1993.MATHCrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Springer Science+Business Media New York 2004

Authors and Affiliations

  • H. Groemer
    • 1
  1. 1.University of ArizonaDepartment of MathematicsTucsonUSA

Personalised recommendations