Topological Concepts — Weak Topologies

Abstract

Coordinatewise convergence of sequences in the closed unit ball of l₂ was already used by Hilbert in his definition of Vollstetigkeit; see 2.6.1.1. The term schwache Konvergenz first appeared in Weyl’s thesis [1908, p. 8]:

Jedes bestimmte Wertsystem (x)=(x₁,x₂,...) werden wir einen Punkt unseres Raumes von unendlichvielen Dimensionen nennen und x₁,x₂,... bezw. seine 1.,2.,... Koordinate: $x_1 = \mathfrak{C}\mathfrak{o}\left( x \right),x_2 = \mathfrak{C}\mathfrak{o}_2 \left( x \right)$,... . Haben wir eine unendliche Reihe solcher Punkte (x)¹, (x)²,..., so sagen wir, sie konvergiere schwach gegen den Punkt (x), wenn für jeden Index i

$$ \mathop L\limits_{n = \infty } \mathfrak{C}\mathfrak{o}_i \left( x \right)^n = \mathfrak{C}\mathfrak{o}_i \left( x \right) $$

ist. We stress that Weyl did not assume boundedness, which means that in his sense (ne_n) would be a weak null sequence.