La compression d'images: les systèmes de fonctions itérées

Ce chapitre peut être traité en une ou deux semaines de cours. Si on ne dispose que d'une semaine, on traite brièvement de l'alphabet d'images (section 11.1) et on explique en détail l'idée de l'attracteur d'un système de fonctions itérées (section 11.3) en se concentrant sur l'exemple du triangle de Sierpinski (exemple 11.5). On démontre le théorème sur la construction d'une transformation affine envoyant trois points du plan sur trois plans du plan et on examine les transformations affines particulières auxquelles on recourt souvent dans la construction de systèmes de fonctions itérées (section 11.2). On explique le théorème du point fixe de Banach pour faire ressortir que l'idée de la preuve dans R se généralise telle quelle aux espaces métriques complets (section 11.4). On aborde la définition intuitive de la distance de Hausdorff (début de la section 11.5) et on énonce le théorème du collage de Barnsley (théorème 11.17). Si on décide de consacrer une deuxième semaine au sujet, on peut alors faire quelques preuves des propriétés de la distance de Hausdorff (section 11.5), voir la définition de dimension fractale (section 11.6) et prendre toute une heure de cours pour étudier la construction du système de fonctions itérées permettant la reconstruction d'une vraie photographie (section 11.7). Les sections 11.5, 11.6 et 11.7 sont presque indépendantes. Il est donc possible de traiter une des sections 11.6 et 11.7 sans avoir traité la section 11.5 qui est plus difficile.

Une autre option pour une semaine de cours est de couvrir les sections 11.1 à 11.4 en se limitant dans cette dernière section à l'énoncé du théorème du point fixe de Banach et de sauter à la section 11.7 qui explique l'application de la méthode à la compression d'images.