Un problème modèle sur un domaine borné

2.6 Résumé

Nous avons étudié dans ce Chapitre un problème de minimisation sur un ouvert borné de ℝ³. Ce problème est la réplique sur un borné d’un problème de minimisation posé sur l’espace tout entier que nous allons étudier au Chapitre suivant. L’étude sur un borné nous a permis d’introduire un certain nombre de résultats d’Analyse Fonctionnelle et de Théorie des EDP elliptiques qui vont nous être utiles dans toute la suite de ces notes. Essentiellement, nous avons montré que les suites minimisantes étaient bornées dans un espace de Sobolev, et donc convergeaient faiblement, à extraction près, dans cet espace. En vertu de la compacité de l’injection de Sobolev sur un borné, nous en avons déduit l’existence d’au moins un minimum pour le problème de minimisation. En étudiant en détail l’équation d’Euler-Lagrange vérifiée par un minimum, et en utilisant un résultat de régularité elliptique, nous avons conclu à une régularité de cette fonction, et ensuite à son unicité au signe près. Tout au long de ce Chapitre, nous nous sommes servi de nombreuses inégalités, dont les inégalités de Hölder, qui réapparaîtront aussi à de nombreuses reprises dans la suite. Outre les notions et les techniques introduites ici, ce qu’il convient de retenir de ce Chapitre, c’est que, pour les problèmes que nous regardons : sur un borné, tout se passe bien.