Die diskrete Kosinustransformation (DCT)

Zusammenfassung

Die Fouriertransformation und die DFT sind für die Verarbeitung komplexwertiger Signale ausgelegt und erzeugen immer ein komplexwertiges Spektrum, auch wenn das ursprüngliche Signal ausschließlich reelle Werte aufweist. Der Grund dafür ist, dass weder der reelle noch der imaginäre Teil des Spektrums allein ausreicht, um das Signal vollständig darstellen (d. h. rekonstruieren) zu können, da die entsprechenden Kosinus- bzw. Sinusfunktionen jeweils für sich kein vollständiges System von Basisfunktionen bilden.

Andererseits wissen wir (Gl. 13.21), dass ein reellwertiges Signal zu einem symmetrischen Spektrum führt, sodass also in diesem Fall das komplexwertige Spektrum redundant ist und wir eigentlich nur die Hälfte aller Spektralwerte berechnen müssten, ohne dass dabei irgendwelche Informationen aus dem Signal verloren gingen.

Es gibt eine Reihe von Spektraltransformationen, die bezüglich ihrer Eigenschaften der DFT durchaus ähnlich sind, aber nicht mit komplexen Funktionswerten arbeiten. Ein bekanntes Beispiel ist die diskrete Kosinustransformation (DCT), die vor allem im Bereich der Bild- und Videokompression breiten Einsatz findet und daher auch für uns interessant ist. Die DCT verwendet ausschließlich Kosinusfunktionen unterschiedlicher Wellenzahl als Basisfunktionen und beschränkt sich auf reellwertige Signale und Spektralkoeffizienten. Analog dazu existiert auch eine diskrete Sinustransformation (DST) basierend auf einem System von Sinusfunktionen [47].