Identités et bijections

Abstrait

On considère le produit infini (1+x)(1+x ²)(1+x ³)(1+x ⁴) ... que l’on développe selon la méthode habituelle sous la forme d’une série Σ_n≥0 a _n x ⁿ en regroupant les termes correspondant à la même puissance de x. On trouve alors pour les premiers termes:

$$ \prod\limits_{k \geqslant 1} {(1 + x^k ) = 1 + x + x^2 + 2x^3 + } 2x^4 + 3x^5 + 4x^6 + 5x^7 + \ldots $$

(1)

On constate, par exemple, que a ₆ = 4et a ₇ = 5, et l’on peut penser (à juste titre) que a _n tend vers l’infini avec n.