Sur un lemme de Littlewood et Offord

Abstrait

Dans leur travail sur la distribution des racines des équations algébriques, Littlewood et Offord ont montré en 1943 le résultat suivant:

Soit a₁, a₂, ... , an des nombres complexes tels que pour tout i, |a _i | ≥ 1. Considérons les 2ⁿcombinaisons linéaires ∑ ⁿ_i=1 ε _i a _i oùε _i ∈{1,−1}. Alors le nombre de sommes ∑ ⁿ_i=1 ε _i a _i qui appartiennent à l’intérieur d’un disque de rayon 1 n’est pas supérieur à:

$$ c\frac{{2^n }} {{\sqrt n }}\ln n $$

ln n où c est une constante strictement positive.

Quelques années plus tard, Paul Erdős a amélioré cette borne en éliminant le terme ln n. Toutefois, ce qui est plus intéressant, c’est qu’il a montré que c’est en fait une simple conséquence du théorème de Sperner (voir page 171).