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Corpi e deformazioni

  • Sandra Forte
  • Luigi Preziosi
  • Maurizio Vianello
Chapter
Part of the UNITEXT book series (UNITEXT, volume 114)

Astratto

Il capitolo introduce le quantità che descrivono le deformazioni di un corpo continuo, dalla configurazione di riferimento alla configurazione attuale. Gradiente di deformazione e tensori di Cauchy-Green permettono di calcolare variazioni di volume, allungamenti e scorrimenti e individuano le direzioni principali di deformazione. Si deducono le relazioni che esprimono, grazie alla formula di Nanson, le variazioni d’area per superfici materiali e le conseguenti trasformazioni di Piola per campi vettoriali e tensoriali. Il capitolo comprende una trattazione completa delle piccole deformazioni e delle associate quantità cinematiche, concludendosi con numerosi esercizi, dove tutte i concetti presentati trovano applicazione.

Identifichiamo un corpo continuo con una regione regolare di spazio \(\mathcal {B}_{\ast}\), la configurazione di riferimento, i cui punti, detti punti materiali, sono tradizionalmente indicati con \({\boldsymbol {p}} \), \({\boldsymbol {q}} \), \({\boldsymbol {r}} \), …, o anche con lettere in grassetto maiuscolo italico come \({ \boldsymbol {X} }, \boldsymbol {Y} , \boldsymbol {Z} \), ….

Ci occuperemo solo di situazioni per le quali la configurazione di riferimento coincide con una regione connessa con parte interna non vuota e frontiera \(\partial\mathcal {B}_{\ast}\) sufficientemente regolare, tale da permettere l’applicazione del teorema della divergenza. Non ci dilunghiamo sui requisiti geometrici che tale ipotesi comporta.

Una deformazione finita\(\boldsymbol{\chi}\) assegna a ogni punto materiale \({\boldsymbol {p}} \in\mathcal {B}_{\ast}\) la sua posizione \({\boldsymbol {x}} \) nello spazio Euclideo tridimensionale ℰ. Quindi
$$ \mathcal {B}_{\ast}\ni {\boldsymbol {p}} \ \longmapsto\ {\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\in \mathcal {E} $$
L’immagine di \(\mathcal{B}_{\ast}\) attraverso la deformazione \(\boldsymbol{\chi}\), e cioè l’insieme dei punti dello spazio tali che \({\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\) per \({\boldsymbol {p}} \in\mathcal{B}_{\ast}\), viene chiamata configurazione deformata e indicata con ℬ.
I punti \({\boldsymbol {p}} \) della configurazione di riferimento sono individuati per mezzo di una terna di coordinate cartesiane \((X_{1}, X_{2}, X_{3})\), associate a un sistema di versori ortogonali \(\mathbf {i} _{H}\), e i punti \({\boldsymbol {x}} \) nella configurazione deformata sono invece descritti dalle coordinate \((x_{1}, x_{2}, x_{3})\). Utilizzando queste coordinate facciamo corrispondere a ogni punto una terna di numeri e esprimiamo in modo più esplicito la deformazione \(\boldsymbol{\chi}\) come
$$ x_{i}=\chi_{i}(X_{K}) $$
e cioè attraverso tre funzioni \(\chi_{i}\) delle tre variabili reali \(X_{K}\). L’uso di lettere maiuscole per gli indici delle coordinate dei punti materiali è naturalmente un po’ artificioso (non esistono numeri maiuscoli e minuscoli …), ma è tuttavia utile dal punto di vista concettuale. Questa notazione ha naturalmente anche svantaggi e in alcune situazioni dovremo modificarla, come vedremo più avanti.

Si suppone che \(\boldsymbol{\chi}\) sia un diffeomorfismo, ossia che sia di classe \(C^{1}\), globalmente invertibile e con inversa di classe \(C^{1}\). La richiesta che ad ogni \({\boldsymbol {p}} \in{\mathcal {B}}_{\ast}\) corrisponda una sola \({\boldsymbol {x}} \in {\mathcal {B}}\) garantisce che la deformazione non generi fratture o discontinuità del materiale. Viceversa, la richiesta che ad ogni \({\boldsymbol {x}} \in{\mathcal {B}}\) corrisponda uno e un solo punto \({\boldsymbol {p}} \in {\mathcal {B}}_{\ast}\) preserva le proprietà fondamentali della materia. In particolare l’esistenza della funzione inversa è legata alla richiesta che due particelle non possano contemporaneamente occupare la stessa posizione (ossia la mancanza di sovrapposizioni) e la suriettività alla richiesta che parti del corpo non possano comparire dal nulla. Questa proprietà, che è piuttosto difficile e complessa da verificare nelle applicazioni concrete, deve valere globalmente e non solo localmente, come messo in evidenza successivamente negli Esercizi 1.1 e 1.2, al termine di questo capitolo.

L’ipotesi di biunivocità garantisce quindi l’esistenza di una funzione inversa che associa a ogni punto \({\boldsymbol {x}} \) nella configurazione deformata il punto materiale \({\boldsymbol {p}} \) dal quale proviene. Questa funzione \({\boldsymbol {p}} =\boldsymbol{\chi}^{-1}( {\boldsymbol {x}} )\), che potremmo chiamare deformazione inversa, viene spesso anche indicata più comodamente con il simbolo \(\boldsymbol{\pi}\), e cioè con \({\boldsymbol {p}} =\boldsymbol{\pi}( {\boldsymbol {x}} )\), e soddisfa le due identità
$$ {\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}\bigl(\boldsymbol{\chi}^{-1}( {\boldsymbol {x}} ) \bigr)=\boldsymbol{\chi}\bigl(\boldsymbol{\pi}( {\boldsymbol {x}} )\bigr) \qquad {\boldsymbol {p}} = \boldsymbol{\chi}^{-1}\bigl(\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\bigr)=\boldsymbol{ \pi}\bigl(\boldsymbol{\chi}( \mathbf {p} )\bigr) $$
(1.1)
che in coordinate cartesiane possono essere scritte come
$$ x_{i}=\chi_{i}\bigl(\pi_{K}(x_{1},x_{2},x_{3}) \bigr)\qquad X_{H}=\pi_{H}\bigl(\chi_{j}(X_{1},X_{2},X_{3}) \bigr) $$
(1.2)
(tutto questo è illustrato nella Fig. 1.1).
Fig. 1.1

La deformazione \(\boldsymbol{\chi}\) e la sua inversa \(\boldsymbol{\pi}\) creano una corrispondenza biunivoca e regolare fra \({\mathcal {B}}_{\ast}\) e la configurazione deformata ℬ

Lo spostamento di un punto materiale \({\boldsymbol {p}} \) è dato da
$$ \mathbf {u} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )- {\boldsymbol {p}} $$
(1.3)
e coincide cioè con il vettore congiungente la posizione del punto \({\boldsymbol {p}} \) nella configurazione di riferimento con la sua posizione \({\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\) nella configurazione deformata. Perciò
$$ u_{K}(X_{1}, X_{2}, X_{3})=\chi_{k}(X_{1},X_{2},X_{3})-X_{K} $$
(1.4)
(qui naturalmente si intende che gli indici \(k\) e \(K\) prendano lo stesso valore).
In vista della corrispondenza biunivoca fra punti materiali \({\boldsymbol {p}} \) e le loro immagini \({\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\) si può anche pensare di esprimere il vettore spostamento in funzione di \({\boldsymbol {x}} \)
$$ \mathbf {u} = {\boldsymbol {x}} -\boldsymbol{\pi}( {\boldsymbol {x}} ) $$
(tutto questo è illustrato nella Fig. 1.2).
Fig. 1.2

Lo spostamento di un punto è assegnato dal vettore \(\mathbf {u} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )- {\boldsymbol {p}} = {\boldsymbol {x}} -\boldsymbol{\pi}( {\boldsymbol {x}} )\)

1.1 Gradiente di deformazione e gradiente di spostamento

Supporremo sempre che la funzione \(\boldsymbol{\chi}\) possieda sufficiente regolarità, tale da giustificare le operazioni che andremo a introdurre di volta in volta. In particolare ci aspettiamo che esista in ogni punto il gradiente di deformazione\(\mathbf {F} \), e cioè il tensore del second’ordine definito da
$$ \mathbf {F} ( {\boldsymbol {p}} ):=\mathrm {D}\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} ) $$
Come conseguenza di questa definizione e del concetto di differenziale deduciamo che \(\mathbf {F} \) è il tensore tale che
$$ \boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} + \mathbf {h} )-\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )= \mathbf {F} ( {\boldsymbol {p}} ) \mathbf {h} + \mathscr {o}( \mathbf {h} ) $$
(1.5)
dove \(\mathscr {o}( \mathbf {h} )\) (il simbolo ℴ si legge “o piccolo”) rappresenta un infinitesimo di ordine superiore rispetto al vettore \(\mathbf {h} \), per \(\mathbf {h} \) tendente a \(\boldsymbol {0}\). La relazione (1.5) può essere riscritta nella forma equivalente ma significativa
$$ \Delta {\boldsymbol {x}} = \mathbf {F} ( {\boldsymbol {p}} )[\Delta {\boldsymbol {p}} ]+ \mathscr {o}(\Delta {\boldsymbol {p}} ) $$
(1.6)
dove si è posto
$$ \Delta {\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} + \mathbf {h} )-\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\qquad \Delta {\boldsymbol {p}} = \mathbf {h} $$
Utilizzando il linguaggio degli infinitesimi la (1.6) si scrive in modo ancora più compatto come
$$ d {\boldsymbol {x}} = \mathbf {F} \, d {\boldsymbol {p}} $$
(1.7)
In coordinate cartesiane la (1.5) diventa
$$ x_{i}(X_{K}+h_{K})-x_{i}(X_{K})=F_{iK}h_{K}+ \mathscr {o}( \mathbf {h} ) $$
e il tensore \(\mathbf {F} \), differenziale della funzione \(\boldsymbol{\chi}\) calcolato nel punto \({\boldsymbol {p}} \), ha componenti cartesiane
$$ F_{iK}=\frac {\partial {\chi_{i}}}{\partial {X_{K}}}= \chi_{i,K} $$
dove la virgola è una utile abbreviazione per indicare la derivata parziale. Quando non siano possibili equivoci troveremo comodo scrivere anche
$$ F_{iK}=\frac {\partial {x_{i}}}{\partial {X_{K}}}=x_{i,K} $$
Infine, la (1.7) si scrive in coordinate come
$$ d x_{i}=F_{iK}dX_{K} $$
(in queste ultime relazioni si è omesso di indicare esplicitamente la dipendenza di \(\mathbf {F} \) dal punto \({\boldsymbol {p}} \)).

Osserviamo che la (1.7) evidenzia come il tensore \(\mathbf {F} \) trasformi il vettore \(d {\boldsymbol {p}} \), che congiunge due punti infinitamente vicini nella configurazione di riferimento, nel vettore \(d {\boldsymbol {x}} = \mathbf {F} d {\boldsymbol {p}} \), che congiunge due punti infinitamente vicini nella configurazione deformata.

È importante osservare che \(\mathbf {F} \) deve essere pensato come un tensore che trasforma linearmente vettori uscenti dal punto \({\boldsymbol {p}} \), di coordinate \((X_{1}, X_{2}, X_{3})\), in vettori uscenti dal punto \({\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\), di coordinate \((x_{1}, x_{2}, x_{3})\). Questa proprietà è evidenziata dalla diversa tipologia degli indici delle componenti \(F_{iK}\), il primo dei quali si riferisce alle componenti dei vettori uscenti da \((x_{1}, x_{2}, x_{3})\), mentre il secondo ai vettori uscenti da \((X_{1}, X_{2}, X_{3})\) (osserviamo che l’uso di maiuscole e minuscole per le coordinate di \({\boldsymbol {p}} \) e \({\boldsymbol {x}} \) e per gli indici di \(\mathbf {F} \) è effettivamente di aiuto per comprendere e ricordare una questione concettualmente rilevante).

Il gradiente di deformazione \(\mathbf {F} \) è perciò una trasformazione lineare (invertibile) dallo spazio dei vettori uscenti da \({\boldsymbol {p}} \), che possiamo indicare con \(\mathcal {V}_{ {\boldsymbol {p}} }\), nello spazio \(\mathcal {V}_{ {\boldsymbol {x}} }\) dei vettori uscenti da \({\boldsymbol {x}} \), e cioè \(\mathbf {F} :\mathcal {V}_{ {\boldsymbol {p}} }\longmapsto \mathcal {V}_{ {\boldsymbol {x}} }\). In questo contesto \(\mathcal {V}_{ {\boldsymbol {p}} }\) e \(\mathcal {V}_{ {\boldsymbol {x}} }\) possono essere identificati fra loro e coincidono di fatto con un unico spazio vettoriale \(\mathcal {V}\), ma distinguere i due spazi ci permette di meglio comprendere il ruolo e il vero significato di \(\mathbf {F} \), che è espresso sinteticamente dalla (1.7).

Per semplicità si è scelto qui di utilizzare un unico sistema di coordinate cartesiane sia per la regione occupata da \(\mathcal {B}_{\ast}\) che per quella occupata da ℬ. Nelle applicazioni potrebbe però essere utile introdurre diversi sistemi di coordinate, anche non cartesiane e distinte, per i punti \({\boldsymbol {p}} \) e i punti \({\boldsymbol {x}} \). In questo caso la distinzione fra vettori uscenti da \({\boldsymbol {p}} \) e vettori uscenti da \({\boldsymbol {x}} \) sarebbe più evidente, poiché le componenti dei primi e dei secondi sarebbero riferite a basi associate a diversi sistemi di coordinate. Pensiamo quindi agli indici minuscoli e maiuscoli come a un semplice espediente per ricordare queste osservazioni.

Il determinante del gradiente di deformazione ha un ruolo importante nella meccanica dei continui, a tal punto che gli è riservata la specifica notazione
$$ J=\det \mathbf {F} $$
che noi utilizzeremo frequentemente.
Oltre alle condizioni di biunivocità e regolarità viene usualmente richiesto che \(J\) sia in ogni punto positivo
$$ J=\det \mathbf {F} =\det \biggl[\frac {\partial {\chi_{i}}}{\partial {X_{K}}} \biggr]>0 $$
una ulteriore condizione motivata dal fatto che, come vedremo più avanti, si vuole che un volume infinitesimo si mantenga sempre positivo per effetto della deformazione.
Ricordando la definizione della funzione inversa \({\boldsymbol {p}} =\boldsymbol{\pi}( {\boldsymbol {x}} )\) dalla derivazione delle identità (1.1) e (1.2) si ottiene
$$ \frac {\partial {\chi_{i}}}{\partial {X_{K}}}\frac {\partial {\pi_{K}}}{\partial {x_{k}}}=\delta_{ik}\qquad \frac {\partial {\pi_{H}}}{\partial {x_{j}}}\frac {\partial {\chi_{j}}}{\partial {X_{K}}}= \delta_{HK} $$
due relazioni che equivalgono rispettivamente a \(\mathrm {D}_{ {\boldsymbol {p}} }\boldsymbol{\chi} \mathrm {D}_{ {\boldsymbol {x}} }\boldsymbol{\pi}= \mathbf {I} \) e \(\mathrm {D}_{ {\boldsymbol {x}} }\boldsymbol{\pi} \mathrm {D}_{ {\boldsymbol {p}} }\boldsymbol{\chi}= \mathbf {I} \). Quindi, ricordando che \(\mathbf {F} =\mathrm {D}_{ {\boldsymbol {p}} }\boldsymbol{\chi}\), si deduce infine
$$ \mathrm {D}_{ {\boldsymbol {x}} }\boldsymbol{\pi}( {\boldsymbol {x}} )= \mathbf {F} ^{-1}( {\boldsymbol {x}} ) $$
(1.8)
Come abbiamo sottolineato in precedenza dobbiamo guardare \(\mathbf {F} \) come una trasformazione lineare da \(\mathcal {V}_{ {\boldsymbol {p}} }\) in \(\mathcal {V}_{ {\boldsymbol {x}} }\). Elenchiamo ora anche la natura delle trasformazioni ad essa associate, e cioè la trasposta \(\mathbf {F} ^{T}\), l’inversa \(\mathbf {F} ^{-1}\) e la trasposta dell’inversa \(\mathbf {F} ^{-T}\):
$$ \mathbf {F} :\mathcal {V}_{ {\boldsymbol {p}} }\longmapsto \mathcal {V}_{ {\boldsymbol {x}} }\qquad \mathbf {F} ^{T}:\mathcal {V}_{ {\boldsymbol {x}} }\longmapsto \mathcal {V}_{ {\boldsymbol {p}} }$$
$$ \mathbf {F} ^{-1}:\mathcal {V}_{ {\boldsymbol {x}} }\longmapsto \mathcal {V}_{ {\boldsymbol {p}} }\qquad \mathbf {F} ^{-T}:\mathcal {V}_{ {\boldsymbol {p}} }\longmapsto \mathcal {V}_{ {\boldsymbol {x}} }$$
come illustrato nella Fig. 1.3.
Fig. 1.3

I tensori \(\mathbf {F} \) e \(\mathbf {F} ^{-T}\) trasformano vettori uscenti da \({\boldsymbol {p}} \) in vettori uscenti da \({\boldsymbol {x}} \), mentre i tensori \(\mathbf {F} ^{T}\) e \(\mathbf {F} ^{-1}\) trasformano vettori uscenti da \({\boldsymbol {x}} \) in vettori uscenti da \({\boldsymbol {p}} \). Ognuno di questi tensori deve perciò essere pensato come una trasformazione lineare invertibile fra gli spazi vettoriali \(\mathcal {V}_{ {\boldsymbol {p}} }\) e \(\mathcal {V}_{ {\boldsymbol {x}} }\)

1.1.1 Il gradiente di spostamento

Il gradiente del campo vettoriale degli spostamenti \(\mathbf {u} ( {\boldsymbol {p}} )\) è legato a \(\mathbf {F} \) da
$$ \operatorname {Grad} \mathbf {u} = \mathbf {F} - \mathbf {I} \qquad u_{i,K}=F_{iK}-I_{iK}= \chi_{i,K}-\delta_{iK} $$
(1.9)
relazioni deducibili derivando la (1.3) e la (1.4).
È anche possibile riferire lo spostamento di un punto alla sua posizione finale \({\boldsymbol {x}} \), invece che alla sua posizione di riferimento \({\boldsymbol {p}} \). In questo caso si utilizza il campo vettoriale \(\mathbf {u} ^{\mathscr{s}}( {\boldsymbol {x}} )\) definito da
$$ \mathbf {u} ^{\mathscr{s}}( {\boldsymbol {x}} )= {\boldsymbol {x}} -\boldsymbol{\pi}( {\boldsymbol {x}} ) $$
(1.10)
Evidentemente si tratta del medesimo campo di spostamenti \(\mathbf {u} ( {\boldsymbol {p}} )\) nel quale è stato fatto il cambiamento di variabili
$$ \mathbf {u} ^{\mathscr{s}}( {\boldsymbol {x}} )= \mathbf {u} \bigl(\boldsymbol{\pi}( {\boldsymbol {x}} )\bigr) $$
(l’indice \(\mathscr{s}\) vuole proprio suggerire il fatto che il vettore spostamento \(\mathbf {u} \) è qui pensato come funzione dei punti dello spazio, ed è cioè definito in ℬ invece che in \(\mathcal {B}_{\ast}\)).

Questo è il primo esempio di una questione che in meccanica dei continui si presenta più e più volte: la possibilità e a volte la necessità di cambiare il dominio di una funzione che assegna una quantità meccanica dalla configurazione di riferimento a quella deformata, e viceversa. Riprenderemo più avanti, e in modo sistematico, questa problematica, introducendo una opportuna terminologia.

Qui ci accontentiamo di osservare come, per maggiore chiarezza, sia a volte raccomandabile indicare in modo esplicito, per esempio con l’introduzione di un indice opportuno, la mutata dipendenza della funzione assegnata, come abbiamo fatto poco sopra. Poiché però questo rende più pesanti le scritture, nel procedere delle argomentazioni di solito si preferisce poi omettere queste indicazioni, lasciando al contesto il compito di far comprendere la situazione nella quale ci si trovi.

Per tornare al campo degli spostamenti concludiamo osservando che il gradiente del campo \(\mathbf {u} ^{\mathscr{s}}( {\boldsymbol {x}} )\) è fatto rispetto alla variabile \({\boldsymbol {x}} \), e quindi, indicandolo con \(\operatorname {grad} \mathbf {u} ^{\mathscr{s}}\), derivando la (1.10) alla luce della (1.8) abbiamo
$$ \operatorname {grad} \mathbf {u} ^{\mathscr{s}}( {\boldsymbol {x}} )= \mathbf {I} - \mathbf {F} ^{-1}( {\boldsymbol {x}} ) $$
(1.11)
e cioè
$$ \operatorname {grad} \mathbf {u} ^{\mathscr{s}}( {\boldsymbol {x}} ) \mathbf {F} = \mathbf {F} - \mathbf {I} $$
Confrontando questa relazione con la (1.9), si ottiene immediatamente
$$ \operatorname {Grad} \mathbf {u} = \operatorname {grad} \mathbf {u} ^{\mathscr{s}} \mathbf {F} $$
(1.12)
che d’altra parte è anche una immediata conseguenza della regola di derivazione delle funzioni composte
$$ \mathbf {u} _{,K}= \mathbf {u} ^{\mathscr{s}}_{,i}\frac {\partial {\chi_{i}}}{\partial {X_{K}}}= \mathbf {u} ^{\mathscr{s}}_{,i}\chi_{i,K} = \mathbf {u} ^{\mathscr{s}}_{,i}F_{iK} $$
(già in questo caso si può comprendere il motivo per il quale sia poi praticamente necessario omettere interamente l’indice \(\mathscr{s}\)).

1.2 Deformazioni omogenee

Scelto un qualsiasi punto \({\boldsymbol {q}} \) del corpo e un tensore \(\mathbf {F} \) con determinante positivo e indipendente dal punto materiale, definiamo la deformazione
$$ \boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )=\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )+ \mathbf {F} ( {\boldsymbol {p}} - {\boldsymbol {q}} ) $$
(1.13)
dove il valore di \(\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )\), e cioè la posizione nello spazio del punto \({\boldsymbol {q}} \), è assegnato in modo arbitrario. È evidente che il gradiente di \(\boldsymbol{\chi}\) è proprio il tensore costante \(\mathbf {F} \). La condizione di biunivocità è poi automaticamente garantita dalla invertibilità di \(\mathbf {F} \). Si vede subito che la deformazione è in linea di principio definita su tutto lo spazio ℰ, e non solo nella regione \(\mathcal {B}_{\ast}\) occupata dal corpo.

Le deformazioni di questo tipo sono dette omogenee e sono caratterizzate proprio dall’avere il gradiente costante. È anzi possibile dimostrare che ogni deformazione per la quale \(\mathbf {F} \) sia costante è omogenea, esprimibile cioè nella forma (1.13).

Per assegnare una deformazione omogenea è quindi sufficiente sapere quale sia la posizione \(\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )\) di un punto \({\boldsymbol {q}} \) arbitrario e il gradiente \(\mathbf {F} \in \mathrm {Lin} ^{+}\). Alla luce della (1.13) da queste due informazioni è infatti possibile ricostruire l’intera deformazione.

L’importanza delle deformazioni omogenee risiede nel fatto che, confrontando la proprietà (1.5) con la definizione (1.13), possiamo vedere come nell’intorno di un punto assegnato \({\boldsymbol {q}} \), ogni deformazione \(\boldsymbol{\chi}\) sia approssimativamente omogenea, a meno di un infinitesimo di ordine superiore. In altre parole, ogni deformazione è localmente omogenea.

Fra le deformazioni omogenee ve ne sono alcune di particolare semplicità come traslazioni, rotazioni e rototraslazioni.

1.2.1 Traslazioni

Nel caso sia \(\mathbf {F} = \mathbf {I} \) (tensore identità) la deformazione omogenea (1.13) prende la forma
$$ \boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )=\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )+ {\boldsymbol {p}} - {\boldsymbol {q}} = {\boldsymbol {p}} + \boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )- {\boldsymbol {q}} $$
(1.14)
Se indichiamo con \(\mathbf {u} \) il vettore che corrisponde allo spostamento di \({\boldsymbol {q}} \)
$$ \mathbf {u} :=\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )- {\boldsymbol {q}} $$
possiamo riscrivere la relazione (1.14) come
$$ \boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )= {\boldsymbol {p}} + \mathbf {u} $$
Poiché \(\mathbf {u} \) non dipende da \({\boldsymbol {p}} \) concludiamo che tutti i punti hanno lo stesso spostamento: si tratta di una traslazione. Una traslazione, dunque, è una semplice deformazione omogenea in cui \(\mathbf {F} = \mathbf {I} \).

1.2.2 Deformazioni omogenee con un punto fisso

Fra le deformazioni omogenee vi sono quelle per le quali, per un assegnato punto \({\boldsymbol {q}} \), si ha \(\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )= {\boldsymbol {q}} \), e cioè tali da lasciare questo punto fisso. È interessante osservare come ogni deformazione omogenea \(\boldsymbol{\chi}\) possa essere ottenuta per mezzo di una deformazione \(\bar{\boldsymbol{\chi}}\) dello stesso tipo che lascia però fisso un punto \({\boldsymbol {q}} \) scelto a piacere, seguita o preceduta da una opportuna traslazione.

Consideriamo infatti una generica deformazione omogenea (1.13) e scegliamo un punto \({\boldsymbol {q}} \). Definiamo poi la deformazione
$$ \bar{\boldsymbol{\chi}}( {\boldsymbol {p}} )= {\boldsymbol {q}} + \mathbf {F} ( {\boldsymbol {p}} - {\boldsymbol {q}} ) $$
(1.15)
che lascia fisso \({\boldsymbol {q}} \) e le due traslazioni
$$ {\boldsymbol {t}} _{1}( {\boldsymbol {p}} )= {\boldsymbol {p}} +\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )- {\boldsymbol {q}} \qquad {\boldsymbol {t}} _{2}( {\boldsymbol {p}} )= {\boldsymbol {p}} + \mathbf {F} ^{-1}\bigl(\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )- {\boldsymbol {q}} \bigr) $$
(1.16)
dove il vettore \(\mathbf {u} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )- {\boldsymbol {q}} \) non è altro che lo spostamento di \({\boldsymbol {q}} \) per effetto della deformazione (1.13).
Si può verificare direttamente che
$$ {\boldsymbol {t}} _{1}\bigl(\bar{\boldsymbol{\chi}}( {\boldsymbol {p}} )\bigr)= {\boldsymbol {q}} + \mathbf {F} ( {\boldsymbol {p}} - {\boldsymbol {q}} )+ \boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )- {\boldsymbol {q}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )+ \mathbf {F} ( {\boldsymbol {p}} - {\boldsymbol {q}} )=\boldsymbol{ \chi}( {\boldsymbol {p}} ) $$
e inoltre
$$ \bar{\boldsymbol{\chi}}\bigl( {\boldsymbol {t}} _{2}( {\boldsymbol {p}} )\bigr)= {\boldsymbol {q}} + \mathbf {F} \bigl[ {\boldsymbol {p}} + \mathbf {F} ^{-1}\bigl(\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )- {\boldsymbol {q}} \bigr)- {\boldsymbol {q}} \bigr] = {\boldsymbol {q}} + \mathbf {F} ( {\boldsymbol {p}} - {\boldsymbol {q}} )+\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )- {\boldsymbol {q}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} ) $$
In definitiva possiamo concludere che
$$ \boldsymbol{\chi}= {\boldsymbol {t}} _{1}\circ\bar{\boldsymbol{\chi}}=\bar{ \boldsymbol{\chi}}\circ {\boldsymbol {t}} _{2} $$

Poiché le traslazioni sono ininfluenti dal punto di vista di una deformazione vera e propria, nel corso della quale possono variare le distanze fra i punti materiali del corpo, è evidente che il nostro interesse si deve concentrare sulle deformazioni omogenee che lasciano fisso un punto.

Osserviamo che per assegnare la deformazione omogenea (1.15) che lascia fisso un punto prefissato \({\boldsymbol {q}} \) è sufficiente assegnare il gradiente \(\mathbf {F} \).

Osserviamo inoltre che la composizione di due deformazioni omogenee \(\boldsymbol{\chi}_{1}\) e \(\boldsymbol{\chi}_{2}\) del tipo (1.15), con gradiente rispettivamente \(\mathbf {F} _{1}\) e \(\mathbf {F} _{2}\), porta a una deformazione \(\boldsymbol{\chi}=\boldsymbol{\chi}_{1}\circ\boldsymbol{\chi}_{2}\) dello stesso tipo con gradiente \(\mathbf {F} = \mathbf {F} _{1} \mathbf {F} _{2}\), un risultato che si ottiene applicando la legge di derivazione delle funzioni composte.

1.2.3 Rototraslazioni e rotazioni

La deformazione omogenea che ha come gradiente una rotazione \(\mathbf {R} \)
$$ \boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )=\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )+ \mathbf {R} ( {\boldsymbol {p}} - {\boldsymbol {q}} ) \quad \mathbf {R} \in \mathrm {Rot} $$
(1.17)
è una rototraslazione. Nel caso in cui sia \(\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )= {\boldsymbol {q}} \), cioè se il punto materiale \({\boldsymbol {q}} \) è lasciato fisso, si tratta di una rotazione dello spazio intorno a \({\boldsymbol {q}} \)
$$ \boldsymbol{r}( {\boldsymbol {p}} )= {\boldsymbol {q}} + \mathbf {R} ( {\boldsymbol {p}} - {\boldsymbol {q}} ) $$
(1.18)
Come conseguenza di quanto dimostrato nel paragrafo precedente ogni rototraslazione (1.17) può essere ottenuta per mezzo della rotazione (1.18) seguita o preceduta rispettivamente dalle traslazioni (1.16), che qui diventano
$$ \boldsymbol{t}_{1}( {\boldsymbol {p}} )= {\boldsymbol {p}} + \mathbf {u} \qquad \boldsymbol{t}_{2}( {\boldsymbol {p}} )= {\boldsymbol {p}} + \mathbf {R} ^{T} \mathbf {u} \quad \text{dove}\ \mathbf {u} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {q}} )- {\boldsymbol {q}} $$
(si ricordi che per una rotazione vale la relazione \(\mathbf {R} ^{-1}= \mathbf {R} ^{T}\)).

Per effetto della rotazione (1.18) i punti \({\boldsymbol {p}} \) che si trovano sulla retta passante per \({\boldsymbol {q}} \) e parallela all’asse di \(\mathbf {R} \) (l’asse di rotazione) sono lasciati fissi, mentre il piano perpendicolare a questa retta viene ruotato su se stesso. È evidente che componendo due rotazioni intorno a \({\boldsymbol {q}} \), prima quella di gradiente \(\mathbf {R} _{1}\) e poi quella di gradiente \(\mathbf {R} _{2}\), si ottiene la rotazione descritta da \(\mathbf {R} _{2} \mathbf {R} _{1}\).

1.2.4 Deformazioni pure

Ricordiamo che, per il Teorema di Decomposizione Polare, enunciato e dimostrato nell’Appendice con il Teorema  8.10, ogni tensore con determinante positivo può essere scritto come il prodotto di una rotazione \(\mathbf {R} \) preceduta o seguita da un tensore simmetrico definito positivo \(\mathbf {U} \) oppure \(\mathbf {V} \)
$$ \mathbf {F} = \mathbf {R} \mathbf {U} = \mathbf {V} \mathbf {R} $$
una proprietà che ha importanti implicazioni nel presente contesto.

Definiamo come deformazione pura una deformazione omogenea per la quale il gradiente di deformazione sia un tensore simmetrico definito positivo, e quindi un elemento di \(\mathrm {Sym} ^{+}\subset \mathrm {Lin} ^{+}\).

Proposizione 1.1

La deformazione omogenea (1.15), che lascia fisso\({\boldsymbol {q}} \), può essere ottenuta in un unico modo come composizione di una rotazione
$$ {\boldsymbol {r}} ( {\boldsymbol {p}} )= {\boldsymbol {q}} + \mathbf {R} ( {\boldsymbol {p}} - {\boldsymbol {q}} ) $$
preceduta o seguita rispettivamente dalle deformazioni pure
$$ \boldsymbol{\chi}_{1}( {\boldsymbol {p}} )= {\boldsymbol {q}} + \mathbf {U} ( {\boldsymbol {p}} - {\boldsymbol {q}} )\qquad \boldsymbol{\chi}_{2}( {\boldsymbol {p}} )= {\boldsymbol {q}} + \mathbf {V} ( {\boldsymbol {p}} - {\boldsymbol {q}} ) $$
(1.19)
dove\(\mathbf {F} = \mathbf {R} \mathbf {U} = \mathbf {V} \mathbf {R} \). Più precisamente
$$ \boldsymbol{\chi}= {\boldsymbol {r}} \circ\boldsymbol{\chi}_{1}=\boldsymbol {\chi}_{2}\circ {\boldsymbol {r}} $$
La dimostrazione di questa affermazione è immediata e si effettua per semplice sostituzione con l’aiuto del Teorema di Decomposizione Polare. Questo risultato è visualizzato nella Fig. 1.4.
Fig. 1.4

Un cubo soggetto a una deformazione omogenea di gradiente \(\mathbf {F} \). È possibile eseguire prima una deformazione pura \(\mathbf {U} \) seguita da una rotazione \(\mathbf {R} \) oppure la medesima rotazione \(\mathbf {R} \) seguita da una deformazione pura \(\mathbf {V} \): \(\mathbf {F} = \mathbf {R} \mathbf {U} = \mathbf {V} \mathbf {R} \). Le deformazioni \(\mathbf {U} \) e \(\mathbf {V} \) avvengono secondo assi principali legati dalla rotazione \(\mathbf {R} \) stessa

Vediamo in questo modo che ogni deformazione omogenea che lascia fisso un punto \({\boldsymbol {q}} \) può essere identificata, a meno di una rotazione, con una deformazione pura, il cui gradiente è dato dal tensore simmetrico definito positivo \(\mathbf {U} \) o \(\mathbf {V} \), che lascia fisso il medesimo punto.

La parte veramente essenziale di una deformazione omogenea è quindi contenuta nelle deformazioni pure (1.19) costruite con l’aiuto della decomposizione polare di \(\mathbf {F} \).

Consideriamo ora la deformazione pura
$$ \boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )= {\boldsymbol {q}} + \mathbf {U} ( {\boldsymbol {p}} - {\boldsymbol {q}} ) $$
(1.20)
e osserviamo che il tensore simmetrico \(\mathbf {U} \in \mathrm {Sym} ^{+}\) può essere scritto come
$$ \mathbf {U} =\lambda_{1}\bar{ \mathbf {e} }_{1}\otimes\bar{ \mathbf {e} }_{1}+\lambda_{2}\bar{ \mathbf {e} }_{2}\otimes\bar{ \mathbf {e} }_{2} +\lambda_{3}\bar{ \mathbf {e} }_{3}\otimes\bar{ \mathbf {e} }_{3} $$
(1.21)
dove i coefficienti \(\lambda_{i}>0\) sono gli autovalori di \(\mathbf {U} \), mentre i versori \(\bar{ \mathbf {e} }_{i}\) corrispondono a tre autovettori ortogonali.
Rispetto alla base ortonormale \(\bar{ \mathbf {e} }_{i}\) la matrice delle componenti cartesiane di \(\mathbf {U} \) assume la forma diagonale
$$ \mathbf {U} = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3} \\ \end{bmatrix} $$
(1.22)
Scegliamo un particolare sistema di coordinate cartesiane uscenti da \({\boldsymbol {q}} \), che identifichiamo con l’origine, i cui assi siano diretti come i versori \(\bar{ \mathbf {e} }_{i}\). In questo modo le coordinate di \({\boldsymbol {q}} \) sono nulle e le coordinate \((x_{1}, x_{2}, x_{3})\) del punto \({\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\) sono legate alle coordinate \((X_{1}, X_{2}, X_{3})\) del punto \({\boldsymbol {p}} \) dalla relazione
$$ \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_{1} \\ X_{2} \\ X_{3} \\ \end{bmatrix} $$
e cioè da
$$ \left\{ \begin{aligned} x_{1}=\lambda_{1} X_{1} \\ x_{2}=\lambda_{2} X_{2} \\ x_{3}=\lambda_{3} X_{3} \end{aligned} \right. $$
Si vede bene, perciò, che la deformazione pura (1.20) non è altro che l’effetto di tre stiramenti secondo le direzioni degli autospazi ortogonali di \(\mathbf {U} \).
Diciamo infatti stiramento di intensità \(\lambda\) lungo una direzione \(\mathbf {e} \) una deformazione pura che abbia come gradiente di deformazione il tensore
$$ \mathbf {U} (\lambda, \mathbf {e} ):= \mathbf {I} +(\lambda-1) \mathbf {e} \otimes \mathbf {e} , \quad \lambda>0, \quad \vert \mathbf {e} \vert=1 $$
Le componenti di questo tensore rispetto a una qualsiasi terna ortonormale della quale \(\mathbf {e} \) sia (per esempio) il primo versore sono date da
$$ \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} $$
In vista della decomposizione spettrale di \(\mathbf {U} \in \mathrm {Sym} ^{+}\) espressa nella (1.21) introduciamo i tensori
$$ \mathbf {U} _{i}:= \mathbf {U} (\lambda_{i},\bar{ \mathbf {e} }_{i})= \mathbf {I} +( \lambda_{i}-1)\bar{ \mathbf {e} }_{i}\otimes\bar{ \mathbf {e} }_{i} $$
Rispetto alla base ortonormale \(\bar{ \mathbf {e} }_{1}\), \(\bar{ \mathbf {e} }_{2}\), \(\bar{ \mathbf {e} }_{3}\) le matrici delle componenti di questi tre tensori sono date da
$$ \mathbf {U} _{1}= \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\quad \mathbf {U} _{2}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\quad \mathbf {U} _{3}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3} \\ \end{bmatrix} $$
e quindi è evidente da un confronto con la (1.22) non solo che \(\mathbf {U} = \mathbf {U} _{1} \mathbf {U} _{2} \mathbf {U} _{3}\) (come si potrebbe anche verificare con un calcolo immediato), ma anche che \(\mathbf {U} = \mathbf {U} _{\sigma(1)} \mathbf {U} _{\sigma(2)} \mathbf {U} _{\sigma(3)}\), per qualsiasi permutazione \(\sigma\) dei tre indici \(1,2,3\). Da questo risultato possiamo subito dedurre per sostituzione diretta che ogni deformazione pura (1.20) può essere ottenuta come composizione secondo un ordine arbitrario di tre stiramenti di intensità \(\lambda_{i}\) (gli autovalori di \(\mathbf {U} \)) secondo le direzioni di tre autovettori ortogonali.
Scriviamo esplicitamente lo stiramento corrispondente al gradiente di deformazione \(\mathbf {U} (\lambda, \mathbf {e} )\) come
$$ {\boldsymbol {s}} ( {\boldsymbol {p}} )= {\boldsymbol {q}} +\bigl[ \mathbf {I} +(\lambda-1) \mathbf {e} \otimes \mathbf {e} \bigr]( {\boldsymbol {p}} - {\boldsymbol {q}} ) $$
che equivale a
$$ {\boldsymbol {s}} ( {\boldsymbol {p}} )= {\boldsymbol {p}} +(\lambda-1)\bigl[( {\boldsymbol {p}} - {\boldsymbol {q}} ) \cdot \mathbf {e} \bigr] \mathbf {e} $$
Lo spostamento di un generico punto \({\boldsymbol {p}} \) per effetto di uno stiramento di intensità \(\lambda\) lungo \(\mathbf {e} \) è quindi parallelo al versore \(\mathbf {e} \), e di modulo proporzionale alla componente di \({\boldsymbol {p}} - {\boldsymbol {q}} \) secondo il versore \(\mathbf {e} \) stesso. Si osservi che per valori di \(\lambda>1\) i punti vengono allontanati dal piano passante per \({\boldsymbol {q}} \) e perpendicolare a \(\mathbf {e} \), mentre per \(0<\lambda<1\) i punti vengono compressi verso questo piano. Si tratta di una deformazione a fisarmonica, per usare un’immagine pittoresca.

Concludiamo osservando che, in sostanza, ogni deformazione omogenea, a meno di traslazioni e rotazioni, può essere ridotta a una composizione di tre stiramenti di intensità appropriata e secondo direzioni ortogonali fra loro. Quindi, la parte veramente essenziale di una deformazione omogenea è contenuta nel tensore \(\mathbf {U} \), radice quadrata di \(\mathbf {F} ^{T} \mathbf {F} \).

Come è prevedibile, risultati del tutto analoghi si possono dedurre utilizzando la decomposizione \(\mathbf {F} = \mathbf {V} \mathbf {R} \) del gradiente di deformazione.

1.3 Tensori di Cauchy-Green

Una generica deformazione \(\boldsymbol{\chi}\) può essere approssimata nell’intorno di un punto \({ {\boldsymbol {p}} \in\mathcal {B}_{\ast}}\) per mezzo dell’espressione
$$ \boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} + \mathbf {h} )=\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )+ \mathbf {F} ( {\boldsymbol {p}} )[ \mathbf {h} ] + \mathscr {o}( \mathbf {h} ) $$
Ciò può essere interpretato dicendo che in un intorno infinitesimo di \({\boldsymbol {p}} \) ogni deformazione è omogenea a meno di infinitesimi di ordine superiore al raggio dell’intorno. Poiché sappiamo che la parte essenziale di una deformazione omogenea è descritta dai tensori \(\mathbf {U} \) oppure \(\mathbf {V} \) che sono presenti nella decomposizione polare di \(\mathbf {F} \), è naturale introdurre i tensori \(\mathbf {B} \) e \(\mathbf {C} \), definiti come
$$ \mathbf {B} := \mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}= \mathbf {V} ^{2}\qquad \mathbf {C} := \mathbf {F} ^{T} \mathbf {F} = \mathbf {U} ^{2} $$
(1.23)
che sono detti rispettivamente tensore di Cauchy-Green sinistro e tensore di Cauchy-Green destro.
È facile verificare che \(\mathbf {B} \) e \(\mathbf {C} \) sono entrambi simmetrici e definiti positivi, per cui, in particolare
$$ \mathbf {C} \mathbf {e} \cdot \mathbf {e} >0 \qquad \mathbf {B} \mathbf {e} \cdot \mathbf {e} >0\quad \text{per ogni}\ \mathbf {e} \ne \boldsymbol {0}$$
(1.24)
Osserviamo che, mentre il calcolo di \(\mathbf {C} \) e \(\mathbf {B} \) a partire dalla deformazione \(\boldsymbol{\chi}\) è piuttosto semplice (basta ottenere \(\mathbf {F} \) derivando le componenti di \(\boldsymbol{\chi}\) ed eseguire il prodotto \(\mathbf {F} ^{T} \mathbf {F} \) oppure \(\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}\)), il calcolo di \(\mathbf {U} \) e \(\mathbf {V} \) è più complesso perché richiede l’estrazione di una radice quadrata tensoriale. Risulta perciò utile ottenere le caratteristiche essenziali della deformazione \(\boldsymbol{\chi}\) nell’intorno di un punto \({\boldsymbol {p}} \) direttamente dalla conoscenza dei tensori \(\mathbf {C} \) e \(\mathbf {B} \).
I tensori \(\mathbf {B} \) e \(\mathbf {C} \) sono legati dalla rotazione \(\mathbf {R} \). Infatti
$$ \mathbf {R} ^{T} \mathbf {B} \mathbf {R} = \mathbf {R} ^{T} \mathbf {F} \mathbf {F} ^{T} \mathbf {R} = \mathbf {R} ^{T} \mathbf {R} \mathbf {U} ( \mathbf {R} \mathbf {U} )^{T} \mathbf {R} = \mathbf {U} \mathbf {U} ^{T} \mathbf {R} ^{T} \mathbf {R} = \mathbf {U} ^{2}= \mathbf {C} $$
e quindi
$$ \mathbf {C} = \mathbf {R} ^{T} \mathbf {B} \mathbf {R} \qquad \mathbf {B} = \mathbf {R} \mathbf {C} \mathbf {R} ^{T} $$
Per questo motivo gli autovalori di \(\mathbf {B} \) e \(\mathbf {C} \) coincidono e quindi anche i loro tre invarianti
L’azione dei tensori \(\mathbf {C} \), \(\mathbf {B} \) e \(\mathbf {B} ^{-1}\) è illustrata nelle Figg. 1.5, 1.6 e 1.7.
Fig. 1.5

Il tensore di Cauchy-Green \(\mathbf {C} = \mathbf {F} ^{T} \mathbf {F} \) trasforma vettori \(\mathbf {v} \) uscenti da \({\boldsymbol {p}} \) in vettori \(\mathbf {C} \mathbf {v} \) uscenti dal medesimo punto

Fig. 1.6

Il tensore di Cauchy-Green \(\mathbf {B} = \mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}\) trasforma vettori \(\mathbf {v} \) uscenti da \({\boldsymbol {x}} \) in vettori \(\mathbf {B} \mathbf {v} \) uscenti dal medesimo punto

Fig. 1.7

L’inverso di \(\mathbf {B} \), e cioè \(\mathbf {B} ^{-1}= \mathbf {F} ^{-T} \mathbf {F} ^{-1}\), trasforma vettori \(\mathbf {v} \) uscenti da \({\boldsymbol {x}} \) in vettori \(\mathbf {B} ^{-1} \mathbf {v} \) uscenti dal medesimo punto

1.3.1 Stiramenti e deformazioni longitudinali

Lo stiramento nella direzione di un versore \(\mathbf {d} \) in un punto \({\boldsymbol {p}} \in\mathcal {B}_{\ast}\) è definito come il rapporto fra la lunghezza deformata e la lunghezza nella configurazione di riferimento di un segmento materiale infinitesimo uscente da \({\boldsymbol {p}} \) parallelamente a \(\mathbf {d} \).

Per indagare questo concetto pensiamo a una curva materiale \({\boldsymbol {p}} =\hat{ {\boldsymbol {p}} }(S)\), parametrizzata dalla propria ascissa curvilinea \(S\), tale che nel punto fissato si abbia
$$ \frac {d \hat{ {\boldsymbol {p}} }}{d S}= \mathbf {d} $$
(la curva ha quindi \(\mathbf {d} \) come versore tangente quando transita nel punto \({\boldsymbol {p}} \) prescelto).
Costruiamo ora l’immagine di questa curva nella configurazione deformata, e cioè la sua deformata per mezzo di \({\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\),
$$ {\boldsymbol {x}} =\hat{ {\boldsymbol {x}} }(S)=\boldsymbol{\chi}\bigl(\hat{ {\boldsymbol {p}} }(S)\bigr) $$
La regola di derivazione delle funzioni composte ci permette di dedurre che
$$ \frac {d \hat{ {\boldsymbol {x}} }}{d S}= \mathbf {F} \frac {d \hat{ {\boldsymbol {p}} }}{d S}= \mathbf {F} \mathbf {d} \qquad\quad \frac {d \hat{x}_{i}}{d S}=\frac {\partial {\chi_{i}}}{\partial {X_{K}}}\frac {d \hat{X}_{K}}{d S}=F_{iK}d_{K} $$
Dalla geometria sappiamo che il differenziale della lunghezza d’arco della curva deformata è data da
$$ ds= \biggl\vert \frac {d \hat{ {\boldsymbol {x}} }}{d S} \biggr\vert dS $$
e perciò il rapporto fra le lunghezze infinitesime \(ds\) e \(dS\), che chiamiamo stiramento nella direzione\(\mathbf {d} \) e indichiamo con \(\delta( \mathbf {d} )\), è
$$ \delta( \mathbf {d} )=\frac {d s}{d S}= \biggl\vert \frac {d \hat{ {\boldsymbol {x}} }}{d S} \biggr\vert = \vert \mathbf {F} \mathbf {d} \vert $$
(1.25)
Introducendo il versore \(\mathbf {e} \) che corrisponde a \(\mathbf {F} \mathbf {d} \) possiamo anche riscrivere questa definizione nella forma
$$ \mathbf {F} \mathbf {d} =\delta( \mathbf {d} ) \mathbf {e} $$
(1.26)
Il gradiente di deformazione \(\mathbf {F} \) trasforma perciò un versore \(\mathbf {d} \) in un vettore che ha un modulo non più unitario, ma pari allo stiramento \(\delta( \mathbf {d} )\) in quella direzione.
Il quadrato dello stiramento è infine dato da
$$ \delta^{2}( \mathbf {d} )= \mathbf {F} \mathbf {d} \cdot \mathbf {F} \mathbf {d} = \mathbf {F} ^{T} \mathbf {F} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} = \mathbf {C} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} $$
(1.27)
una relazione di grande importanza, poiché ci mostra come la conoscenza del tensore di Cauchy-Green destro permetta di determinare facilmente gli stiramenti secondo ogni direzione.
Una ancora più suggestiva interpretazione dello stiramento \(\delta( \mathbf {d} )\), definita nella (1.25), può essere data considerando nella configurazione di riferimento i punti \({\boldsymbol {p}} \) e \({\boldsymbol {p}} +\alpha \mathbf {d} \), la cui distanza è pari a \(\vert\alpha\vert\). Definiamo con \(\mathbf {d} _{\alpha}\) il vettore che congiunge questi punti nella configurazione deformata, e cioè
$$ \mathbf {d} _{\alpha}=\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} +\alpha \mathbf {d} )-\boldsymbol{ \chi}( {\boldsymbol {p}} ) $$
(1.28)
e quindi, per la definizione stessa del gradiente di deformazione \(\mathbf {F} \)
$$ \mathbf {d} _{\alpha}=\alpha \mathbf {F} ( {\boldsymbol {p}} ) \mathbf {d} +\mathscr {o}(\alpha) $$
Il quadrato della distanza fra i due punti nella configurazione deformata, può essere perciò dedotto come
$$ \vert \mathbf {d} _{\alpha}\vert^{2}=\alpha^{2} \mathbf {F} \mathbf {d} \cdot \mathbf {F} \mathbf {d} +\mathscr {o}\bigl(\alpha^{2}\bigr) $$
Da quest’ultima relazione alla luce della proprietà (1.27) segue
$$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{\vert \mathbf {d} _{\alpha}\vert^{2}}{\vert\alpha\vert^{2}}= \mathbf {F} \mathbf {d} \cdot \mathbf {F} \mathbf {d} = \mathbf {C} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} =\delta^{2}( \mathbf {d} ) $$
Estraendo la radice da entrambi i termini si ottiene
$$ \delta( \mathbf {d} )=\lim_{\alpha\to 0}\frac{\vert \mathbf {d} _{\alpha}\vert}{\vert\alpha\vert} $$
(1.29)
una relazione che può anche essere riscritta come
$$ \vert \mathbf {d} _{\alpha} \vert =\delta\vert\alpha\vert + \mathscr {o}(\alpha) $$
(1.30)
Questo risultato viene espresso sinteticamente dicendo: dopo una deformazione la distanza fra \({\boldsymbol {p}} \) e un punto a lui infinitamente vicino nella direzione \(\mathbf {d} \) è pari alla distanza prima della deformazione moltiplicata per lo stiramento \(\delta( \mathbf {d} )\). (Usando l’espressione “infinitamente vicino” si sottintende di trascurare l’infinitesimo \(\mathscr {o}(\alpha)\) nella (1.30).)
Aggiungiamo infine che la quantità
$$ \varepsilon( \mathbf {d} )=\delta( \mathbf {d} )-1=\frac {d s}{d S}-1 $$
(1.31)
è tradizionalmente nota con il termine di deformazione longitudinale. Poiché può essere formalmente riscritta come
$$ \varepsilon( \mathbf {d} )=\frac{ds-dS}{dS} $$
(1.32)
corrisponde alla variazione di lunghezza \(ds-dS\) rapportata alla lunghezza iniziale \(dS\) di un tratto infinitesimo di corpo uscente da \({\boldsymbol {p}} \) nella direzione \(\mathbf {d} \).

1.3.2 Angoli di scorrimento

Consideriamo due versori ortogonali\(\mathbf {d} _{1}\) e \(\mathbf {d} _{2}\), uscenti da un punto \({\boldsymbol {p}} \in\mathcal {B}_{\ast}\), e due curve \(\hat{ {\boldsymbol {p}} }_{1}(S)\) e \(\hat{ {\boldsymbol {p}} }_{2}(S)\) passanti per \({\boldsymbol {p}} \), dove si abbia
$$ \frac {d \hat{ {\boldsymbol {p}} }_{1}}{d S}= \mathbf {d} _{1}\quad \text{e}\quad \frac {d \hat{ {\boldsymbol {p}} }_{2}}{d S}= \mathbf {d} _{2} $$
Le curve deformate \(\hat{ {\boldsymbol {x}} }_{1}(S)\) e \(\hat{ {\boldsymbol {x}} }_{2}(S)\) nel punto \({\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\) hanno vettori tangenti dati da
$$ \frac {d \hat{ {\boldsymbol {x}} }_{1}}{d S}= \mathbf {F} \mathbf {d} _{1}\quad \text{e}\quad \frac {d \hat{ {\boldsymbol {x}} }_{2}}{d S}= \mathbf {F} \mathbf {d} _{2} $$
Indichiamo ora con \(\theta( \mathbf {d} _{1}, \mathbf {d} _{2})\) l’angolo fra \(\mathbf {F} \mathbf {d} _{1}\) e \(\mathbf {F} \mathbf {d} _{2}\), e cioè l’angolo fra le direzioni delle curve deformate nel loro punto di intersezione (si veda la Fig. 1.8). È naturale aspettarsi che \(\theta\) differisca da \(\pi/2\), l’angolo che le curve formavano nella configurazione di riferimento. Chiamiamo angolo di scorrimento proprio la quantità
$$ \gamma( \mathbf {d} _{1}, \mathbf {d} _{2})=\pi/2-\theta( \mathbf {d} _{1}, \mathbf {d} _{2}) $$
e vediamo subito come questa possa essere dedotta dalla conoscenza di \(\mathbf {C} \) (per semplicità di notazione nelle relazioni seguenti omettiamo di indicare esplicitamente la dipendenza di \(\theta\) da \(\mathbf {d} _{1}\) e \(\mathbf {d} _{2}\)).
Fig. 1.8

Due filamenti si intersecano nella configurazione di riferimento secondo le direzioni dei versori ortogonali \(\mathbf {d} _{1}\) e \(\mathbf {d} _{2}\). Nella configurazione deformata le curve formano un angolo \(\theta\), con angolo di scorrimento pari a \(\gamma=\pi/2-\theta\)

Dalla definizione di prodotto scalare e di \(\theta\) segue subito che
$$ \cos\theta= \frac{ \mathbf {F} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {F} \mathbf {d} _{2}}{\vert \mathbf {F} \mathbf {d} _{1}\vert\,\vert \mathbf {F} \mathbf {d} _{2}\vert} $$
Poiché
$$ \mathbf {F} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {F} \mathbf {d} _{2}= \mathbf {F} ^{T} \mathbf {F} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2}= \mathbf {C} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2} $$
e
$$ \vert \mathbf {F} \mathbf {d} _{h}\vert=\delta( \mathbf {d} _{h})=\sqrt{ \mathbf {C} \mathbf {d} _{h}\cdot \mathbf {d} _{h}}\quad (h=1,2) $$
deduciamo che
$$ \cos\theta= \frac{ \mathbf {C} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2}}{\sqrt{ \mathbf {C} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{1}}\,\sqrt{ \mathbf {C} \mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {d} _{2}}} $$
L’angolo di scorrimento \(\gamma=\pi/2-\theta\) fra le direzioni \(\mathbf {d} _{1}\) e \(\mathbf {d} _{2}\) è quindi deducibile dal tensore di Cauchy-Green \(\mathbf {C} \) per mezzo della relazione
$$ \sin\gamma( \mathbf {d} _{1}, \mathbf {d} _{2})= \frac{ \mathbf {C} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2}}{\sqrt{ \mathbf {C} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{1}}\,\sqrt{ \mathbf {C} \mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {d} _{2}}} $$
(1.33)

1.3.3 Stiramenti e direzioni principali

Vediamo come sia possibile dare significato fisico alle componenti di \(\mathbf {C} \) rispetto a una terna ortonormale \(\mathbf {i} _{h}\). Le componenti di \(\mathbf {C} \) sulla diagonale principale sono date da
$$ C_{11}= \mathbf {C} \mathbf {i} _{1} \cdot \mathbf {i} _{1}\qquad C_{22}= \mathbf {C} \mathbf {i} _{2} \cdot \mathbf {i} _{2}\qquad C_{33}= \mathbf {C} \mathbf {i} _{3} \cdot \mathbf {i} _{3} $$
Possiamo quindi dedurre dalla relazione (1.27) una interpretazione delle componenti diagonali di \(\mathbf {C} \) o, per meglio dire, delle loro radici quadrate.

Proposizione 1.2

Le radici quadrate delle tre componenti diagonali di\(\mathbf {C} \)esprimono il rapporto fra la lunghezza nella configurazione deformata di un segmento infinitesimo uscente da\({\boldsymbol {p}} \)nella direzione di ciascuno dei versori paralleli agli assi coordinati e la sua lunghezza nella configurazione di riferimento. Perciò gli stiramenti secondo le direzioni degli assi sono dati da
$$ \delta_{1}=\sqrt{C_{11}}\quad\delta_{2}= \sqrt{C_{22}}\quad\delta_{3}=\sqrt{C_{33}} $$
mentre le deformazioni longitudinali sono date da
$$ \varepsilon_{1}=\sqrt{C_{11}}-1\quad\varepsilon_{2}= \sqrt{C_{22}}-1 \quad\varepsilon_{3}=\sqrt{C_{33}}-1 $$

(si osservi che, alla luce delle proprietà (1.24) di \(\mathbf {C} \), i radicandi sono certamente positivi).

Infine, poiché per una terna ortonormale \(\mathbf {i} _{h}\) sappiamo che
$$ C_{12}=C_{21}= \mathbf {C} \mathbf {i} _{1}\cdot \mathbf {i} _{2} \qquad C_{13}=C_{31}= \mathbf {C} \mathbf {i} _{1}\cdot \mathbf {i} _{3}\qquad C_{23}=C_{32}= \mathbf {C} \mathbf {i} _{2} \cdot \mathbf {i} _{3} $$
possiamo dare una interpretazione anche alle componenti non diagonali di \(\mathbf {C} \).

Proposizione 1.3

Le quantità\(C_{HK}/\sqrt{C_{HH}}\sqrt{C_{KK}}\) (\(H\ne K\)), costruite a partire dalle componenti cartesiane di\(\mathbf {C} \), esprimono il seno dell’angolo di scorrimento\(\gamma_{hk}\)fra due segmenti infinitesimi che, nella configurazione di riferimento, escono da\({\boldsymbol {p}} \)parallelamente ai versori\(\mathbf {i} _{h}\)e\(\mathbf {i} _{k}\).

Quanto dedotto nelle Proposizioni 1.2 e 1.3 può essere schematicamente riassunto attraverso la matrice delle componenti del tensore \(\mathbf {C} \)
$$ \mathbf {C} = \begin{bmatrix} \delta_{1}^{2} & \delta_{1}\delta_{2}\sin\gamma_{12} & \delta_{1}\delta_{3}\sin\gamma_{13} \\ \delta_{1}\delta_{2}\sin\gamma_{12} & \delta_{2}^{2} & \delta_{2}\delta_{3}\sin\gamma_{23} \\ \delta_{1}\delta_{3}\sin\gamma_{13} & \delta_{2}\delta_{3}\sin\gamma_{23} & \delta_{3}^{2} \\ \end{bmatrix} $$
dove \(\delta_{h}^{2}\) sono i quadrati degli stiramenti secondo i versori \(\mathbf {i} _{h}\), e \(\gamma_{hk}\) sono gli angoli di scorrimento fra le direzioni originariamente dirette come i versori \(\mathbf {i} _{h}\) e \(\mathbf {i} _{k}\).
La simmetria di \(\mathbf {C} \) implica che esso ammetta una terna di autovettori ortogonali fra loro. Ciò significa che, rispetto a una base ortonormale formata da questi autovettori, la matrice delle componenti di \(\mathbf {C} \) ha elementi non nulli solo sulla diagonale principale. Questa osservazione implica che in ogni punto del corpo esistono comunque tre direzioni ortogonali (in generale dipendenti dal punto) che, per effetto della deformazione, mantengono la loro perpendicolarità. Queste direzioni si chiamano direzioni principali di deformazione nel punto \({\boldsymbol {p}} \) e sono illustrate nella Fig. 1.9.
Fig. 1.9

Sulla sinistra sono rappresentati tre filamenti materiali uscenti dal punto \({\boldsymbol {p}} \) e paralleli agli autovettori di \(\mathbf {C} \). Sulla destra si vedono i filamenti che per effetto della deformazione ruotano e si curvano, mantenendo però la perpendicolarità. Le direzioni di questi filamenti uscenti da \(\boldsymbol{p}\) sono le direzioni principali di deformazione

Proposizione 1.4

Le direzioni materiali parallele ai versori ortogonali\(\bar{ \mathbf {d} }_{1}\), \(\bar{ \mathbf {d} }_{2}\)e\(\bar{ \mathbf {d} }_{3}\)che corrispondono agli autospazi di\(\mathbf {C} \)non presentano scorrimenti ma solo stiramenti, e sono chiamate direzioni principali di deformazione. La matrice del tensore, riferita a questi versori, prende la forma
$$ \mathbf {C} = \begin{bmatrix} \bar{\delta}_{1}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \bar{\delta}_{2}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \bar{\delta}_{3}^{2} \\ \end{bmatrix} $$
dove sulla diagonale principale sono presenti gli autovalori di\(\mathbf {C} \), e\(\bar{\delta}_{1}\), \(\bar{\delta}_{2}\)e\(\bar{\delta}_{3}\)sono noti come stiramenti principali.

1.3.4 Il tensore di Green-SaintVenant

Come abbiamo visto il tensore di Cauchy-Green destro contiene in sé le informazioni per valutare nell’intorno di un punto le variazioni di lunghezza e gli scorrimenti. È anche utile introdurre il tensore di Green-SaintVenant\(\mathbf {G} \) definito da
$$ \mathbf {G} :=\frac{1}{2}( \mathbf {C} - \mathbf {I} ) $$
che è in modo evidente collegato a \(\mathbf {C} \) e dal quale è perciò possibile dedurre lo stesso tipo di informazioni. Vale la pena di osservare che, utilizzando il legame fra \(\mathbf {F} \) e il gradiente di spostamento \(\operatorname {Grad} \mathbf {u} \) contenuto nella (1.9) e la definizione di \(\mathbf {C} \) data dalla (1.23), si ottiene una espressione alternativa per \(\mathbf {G} \)
$$ \mathbf {G} =\frac{1}{2}\bigl( \operatorname {Grad} \mathbf {u} + \operatorname {Grad} \mathbf {u} ^{T}+ \operatorname {Grad} \mathbf {u} ^{T} \operatorname {Grad} \mathbf {u} \bigr) $$
(1.34)
Nel caso in cui il gradiente di spostamento sia “piccolo” l’ultimo termine potrà essere trascurato e \(\mathbf {G} \) si ridurrà al tensore di deformazione infinitesima, che discuteremo più avanti.

L’uso del tensore di Green-SaintVenant per descrivere le deformazioni è anche reso conveniente dal fatto che, nel caso in cui ogni spostamento sia nullo (assenza di deformazione), \(\mathbf {C} \) coincide con l’identità e \(\mathbf {G} \) si annulla.

1.4 Il tensore di Finger

L’inverso \(\mathbf {B} ^{-1}\) del tensore di Cauchy-Green sinistro \(\mathbf {B} \) è a volte chiamato tensore di Finger (ma non da tutti gli Autori). Possiede una certa importanza in quanto permette di dedurre ulteriori informazioni su stiramenti e scorrimenti.

Il tensore di Finger permette di calcolare, per ogni filamento infinitesimo di corpo che esce dal punto \({\boldsymbol {x}} \) in direzione \(\mathbf {d} \) nella configurazione deformata ℬ, il rapporto fra la lunghezza originaria \(dS\) e la lunghezza deformata \(ds\). Permette anche di calcolare l’angolo che due curve materiali formavano originariamente nella configurazione di riferimento sapendo che nella configurazione deformata sono ortogonali, dirette come i versori \(\mathbf {d} _{1}\) e \(\mathbf {d} _{2}\).

In un certo senso, perciò, il tensore di Finger \(\mathbf {B} ^{-1}\) fornisce informazioni di tipo simile, ma non identico, a quelle fornite dal tensore di Cauchy-Green destro \(\mathbf {C} \).

Consideriamo una curva \({\boldsymbol {x}} =\hat{ {\boldsymbol {x}} }(s)\) che nella configurazione deformata abbia \(\mathbf {d} \) come versore tangente in un punto \({\boldsymbol {x}} \) dal quale essa transita:
$$ \frac{d\hat{ {\boldsymbol {x}} }}{ds}= \mathbf {d} $$
(1.35)
Consideriamo la curva materiale \({\boldsymbol {p}} =\hat{ {\boldsymbol {p}} }(s)\) che gli corrisponde nella configurazione di riferimento
$$ \hat{ {\boldsymbol {p}} }(s)=\boldsymbol{\pi}\bigl(\hat{ {\boldsymbol {x}} }(s)\bigr) $$
dove \({\boldsymbol {p}} =\boldsymbol{\pi}( {\boldsymbol {x}} )\) è la funzione inversa della deformazione \({\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\).
L’elemento infinitesimo di lunghezza d’arco di questa seconda curva, indicato con \(dS\), è dato da
$$ dS= \biggl\vert \frac {d \hat{ {\boldsymbol {p}} }}{d s} \biggr\vert ds $$
e la quantità
$$ \delta_{\ast}( \mathbf {d} )=\frac {d S}{d s}= \biggl\vert \frac {d \hat{ {\boldsymbol {p}} }}{d s} \biggr\vert $$
(1.36)
rappresenta perciò il rapporto fra la lunghezza di un filamento uscente da \({\boldsymbol {x}} \) nella direzione \(\mathbf {d} \)prima che avvenisse la deformazione con la sua lunghezza dopo la deformazione.
Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte alla luce della (1.8) e della (1.35) deduciamo che
$$ \frac {d \hat{ {\boldsymbol {p}} }}{d s}=\mathrm {D}_{ {\boldsymbol {x}} }\boldsymbol{\pi} \frac {d \hat{ {\boldsymbol {x}} }}{d s} = \mathbf {F} ^{-1}\frac {d \hat{ {\boldsymbol {x}} }}{d s}= \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {d} $$
Dopo aver osservato che, per la proprietà del trasposto e la definizione di \(\mathbf {B} \),
$$ \bigl\vert \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {d} \bigr\vert ^{2}= \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {d} \cdot \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {d} = \mathbf {F} ^{-T} \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} =\bigl( \mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}\bigr)^{-1} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} = \mathbf {B} ^{-1} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} $$
deduciamo che
$$ {\delta_{\ast}}^{2}= \biggl\vert \frac {d S}{d s} \biggr\vert ^{2}= \biggl\vert \frac {d \hat{ {\boldsymbol {p}} }}{d s} \biggr\vert ^{2}= \bigl\vert \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {d} \bigr\vert ^{2} = \mathbf {B} ^{-1} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} $$
Consideriamo ora due curve \({\boldsymbol {x}} =\hat{ {\boldsymbol {x}} }_{1}(s)\) e \({\boldsymbol {x}} =\hat{ {\boldsymbol {x}} }_{2}(s)\) che passano per il medesimo punto \({\boldsymbol {x}} \) della configurazione deformata con versori tangenti \(\mathbf {d} _{1}\) e \(\mathbf {d} _{2}\) ortogonali fra loro
$$ \frac {d \hat{ {\boldsymbol {x}} }_{1}}{d s}= \mathbf {d} _{1} \qquad \frac {d \hat{ {\boldsymbol {x}} }_{2}}{d s}= \mathbf {d} _{2}\quad ( \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2}=0) $$
Siano ora \(\hat{ {\boldsymbol {p}} _{1}}(s)=\boldsymbol{\pi}(\hat{ {\boldsymbol {x}} }_{1}(s))\) e \(\hat{ {\boldsymbol {p}} _{2}}(s)=\boldsymbol{\pi}(\hat{ {\boldsymbol {x}} }_{2}(s))\) le curve corrispondenti in \(\mathcal {B}_{\ast}\), per le quali
$$ \frac {d \hat{ {\boldsymbol {p}} }_{i}}{d s}=\mathrm {D}_{ {\boldsymbol {x}} }\boldsymbol{\pi} \frac {d \hat{ {\boldsymbol {x}} }_{i}}{d s} = \mathbf {F} ^{-1}\frac {d \hat{ {\boldsymbol {x}} }_{i}}{d s}= \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {d} _{i} \quad (i=1,2) $$
Definiamo con \(\theta_{\ast}( \mathbf {d} _{1}, \mathbf {d} _{2})\) l’angolo che queste due curve formano fra di loro nel punto \({\boldsymbol {p}} =\boldsymbol{\pi}( {\boldsymbol {x}} )\) dove si intersecano nella configurazione di riferimento \(\mathcal {B}_{\ast}\). Per le proprietà del prodotto scalare, in vista della definizione di \(\mathbf {B} \) e per la proprietà del trasposto
$$ \cos\theta_{\ast}( \mathbf {d} _{1}, \mathbf {d} _{2})= \frac{ \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {d} _{2}}{ \vert \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {d} _{1} \vert \, \vert \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {d} _{2} \vert }= \frac{ \mathbf {B} ^{-1} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2}}{\sqrt{ \mathbf {B} ^{-1} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{1}} \,\sqrt{ \mathbf {B} ^{-1} \mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {d} _{2}}} $$
Indichiamo con \(\gamma_{\ast}\) l’angolo per il quale \(\theta_{\ast}\) differisce da \(\pi/2\), e cioè dall’angolo che le due curve materiali formano nella configurazione deformata. Perciò
$$ \gamma_{\ast}( \mathbf {d} _{1}, \mathbf {d} _{2})=\pi/2- \theta_{\ast}( \mathbf {d} _{1}, \mathbf {d} _{2}) $$
e, in perfetta analogia a quanto avevamo fatto trattando il tensore \(\mathbf {C} \), riassumiamo i risultati trovati in questo paragrafo.

Proposizione 1.5

Il rapporto tra la lunghezza nella configurazione di riferimento di un tratto infinitesimo di curva uscente da \({\boldsymbol {x}} \) nella direzione del versore \(\mathbf {d} \) e la sua lunghezza nella configurazione deformata è dato da
$$ \delta_{\ast}^{2}( \mathbf {d} )= \mathbf {B} ^{-1} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} $$
L’angolo \(\gamma_{\ast}( \mathbf {d} _{1}, \mathbf {d} _{2})\) per il quale due curve ortogonali in \({\boldsymbol {x}} \) e lì tangenti ai versori \(\mathbf {d} _{1}\) e \(\mathbf {d} _{2}\) differiscono dall’ortogonalità nella configurazione di riferimento è dato dalla relazione
$$ \sin\gamma_{\ast}( \mathbf {d} _{1}, \mathbf {d} _{2})= \frac{ \mathbf {B} ^{-1} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2}}{\sqrt{ \mathbf {B} ^{-1} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{1}} \,\sqrt{ \mathbf {B} ^{-1} \mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {d} _{2}}} $$
Infine, poiché per una terna ortonormale \(\mathbf {i} _{h}\) sappiamo che
$$ \begin{aligned} \bigl[ \mathbf {B} ^{-1}\bigr]_{12}&=\bigl[ \mathbf {B} ^{-1}\bigr]_{21}= \mathbf {B} ^{-1} \mathbf {i} _{1}\cdot \mathbf {i} _{2} \\ \bigl[ \mathbf {B} ^{-1}\bigr]_{13}&=\bigl[ \mathbf {B} ^{-1} \bigr]_{31}= \mathbf {B} ^{-1} \mathbf {i} _{1}\cdot \mathbf {i} _{3} \\ \bigl[ \mathbf {B} ^{-1}\bigr]_{23}&=\bigl[ \mathbf {B} ^{-1} \bigr]_{32}= \mathbf {B} ^{-1} \mathbf {i} _{2}\cdot \mathbf {i} _{3} \end{aligned} $$
possiamo dare una interpretazione sia alle componenti diagonali che non diagonali di \(\mathbf {B} ^{-1}\):
$$ \mathbf {B} ^{-1}= \begin{bmatrix} {\delta}_{\ast 1}^{2} & {\delta}_{\ast 1}\delta_{\ast 2}\sin\gamma_{\ast 12} & \delta_{\ast 1}\delta_{\ast 3}\sin\gamma_{\ast 13} \\ \delta_{\ast 1}\delta_{\ast 2}\sin\gamma_{\ast 12} & \delta_{\ast 2}^{2} & \delta_{\ast 2}\delta_{\ast 3}\sin\gamma_{\ast 23} \\ \delta_{\ast 1}\delta_{\ast 3}\sin\gamma_{\ast 13} & \delta_{\ast 2}\delta_{\ast 3}\sin\gamma_{\ast 23} & \delta_{\ast 3}^{2} \\ \end{bmatrix} $$
dove \(\delta_{\ast i}=\delta_{\ast}( \mathbf {d} _{i})\) e \(\sin\gamma_{\ast ij}=\sin\gamma_{\ast}( \mathbf {d} _{i}, \mathbf {d} _{j})\) (naturalmente non è pratico usare gli asterischi in un caso concreto, ma qui si volevano solo dedurre alcune proprietà generali).
Il tensore \(\mathbf {B} ^{-1}\), così come \(\mathbf {B} \), è simmetrico e ammette quindi una terna ortonormale \(\mathbf {d} _{1}^{\ast}\), \(\mathbf {d} _{2}^{\ast}\) e \(\mathbf {d} _{3}^{\ast}\) rispetto alla quale la sua matrice delle componenti prende forma diagonale
$$ \mathbf {B} ^{-1}= \begin{bmatrix} {\bar{\delta}_{\ast 1}^{2}} & 0 & 0 \\ 0 & {\bar{\delta}_{\ast 2}^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & {\bar{\delta}_{\ast 3}^{2}} \\ \end{bmatrix} $$
dove \({\bar{\delta}_{\ast i}^{2}}\) sono gli autovalori di \(\mathbf {B} ^{-1}\), con il significato meccanico evidenziato sopra. È interessante osservare che le direzioni degli autovettori \(\bar{ \mathbf {d} }_{i}\) di \(\mathbf {B} ^{-1}\) corrispondono a direzioni ortogonali uscenti da \({\boldsymbol {x}} \) che provengono da direzioni ortogonali uscenti da \({\boldsymbol {p}} \). Inoltre, poiché gli autovalori di \(\mathbf {B} ^{-1}\) sono gli inversi degli autovalori di \(\mathbf {B} \), che a loro volta coincidono con gli autovalori \(\bar{\delta}_{i}^{2}\) di \(\mathbf {C} \), si può concludere che
$$ {\bar{\delta}_{\ast i}}=\dfrac{1}{\bar{\delta}_{i}} $$
come d’altra parte è ovvio attendersi dalle loro definizioni (si vedano le equazioni (1.25) e (1.36)).

1.4.1 Il tensore di Almansi

Come abbiamo visto anche l’inverso \(\mathbf {B} ^{-1}\) del tensore di Cauchy-Green sinistro contiene in sé le informazioni per valutare, nell’intorno di un punto, le variazioni di lunghezza e gli scorrimenti. Ad esso è associato il tensore di Almansi
$$ \mathbf {A} =\frac{1}{2}\bigl( \mathbf {I} - \mathbf {B} ^{-1}\bigr) $$
che è in modo evidente collegato a \(\mathbf {B} ^{-1}\) e dal quale è perciò possibile dedurre il medesimo tipo di informazioni.
È interessante mostrare il legame che sussiste fra il tensore di Almansi e il gradiente spaziale (o Euleriano) dello spostamento, vale a dire il gradiente del campo \(\mathbf {u} ( {\boldsymbol {x}} )\). Dalla (1.11) deduciamo che
$$ \mathbf {F} ^{-1}= \mathbf {I} - \operatorname {grad} \mathbf {u} $$
e perciò
$$ \mathbf {B} ^{-1}= \mathbf {F} ^{-T} \mathbf {F} ^{-1}= \mathbf {I} - \operatorname {grad} \mathbf {u} - \operatorname {grad} \mathbf {u} ^{T}+ \operatorname {grad} \mathbf {u} ^{T} \operatorname {grad} \mathbf {u} $$
Da questa uguaglianza segue infine
$$ \mathbf {A} =\frac{1}{2}\bigl( \operatorname {grad} \mathbf {u} + \operatorname {grad} \mathbf {u} ^{T}- \operatorname {grad} \mathbf {u} ^{T} \operatorname {grad} \mathbf {u} \bigr) $$
una relazione che deve essere confrontata con la (1.34) per evidenziare l’analogia concettuale che sussiste fra il tensore di Green-SaintVenant e il tensore di Almansi (si noti però in particolare la differenza nel segno davanti all’ultimo termine).

1.5 Variazione di volume e deformazioni isocore

Il volume dello spazio \(\mathcal{P}\) occupato da una parte di corpo nella configurazione deformata e il volume della medesima parte nella configurazione di riferimento sono calcolati, rispettivamente, per mezzo degli integrali
$$ \operatorname {vol} (\mathcal{P})= \int_{\mathcal{P}}dV_{ {\boldsymbol {x}} } \qquad \operatorname {vol} (\mathcal{P}_{\ast})= \int_{\mathcal{P}_{\ast}}dV_{ {\boldsymbol {p}} } $$
La deformazione \({\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\) crea una corrispondenza biunivoca, con inversa \({\boldsymbol {p}} =\boldsymbol{\pi}( {\boldsymbol {x}} )\), fra \(\mathcal{P}_{\ast}\) e \(\mathcal{P}\) che, da un punto di vista puramente matematico e in condizioni di regolarità, può essere considerata un cambiamento di variabili da \((X_{1}, X_{2}, X_{3})\) a \((x_{1}, x_{2}, x_{3})\) con Jacobiano
$$ J=\det \mathbf {F} =\det \biggl[ \frac {\partial {x_{i}}}{\partial {X_{K}}} \biggr] $$
(questo è di fatto il motivo per il quale la lettera \(J\) viene usata per indicare il determinante di \(\mathbf {F} \)).
Vale perciò la relazione
$$ \int_{\mathcal{P}}dV_{ {\boldsymbol {x}} }= \int_{\boldsymbol{\pi}(\mathcal{P})} \det \biggl[\frac {\partial {x_{i}}}{\partial {X_{K}}} \biggr] dV_{ {\boldsymbol {p}} } = \int_{\mathcal{P}_{\ast}} \det \mathbf {F} \, dV_{ {\boldsymbol {p}} } $$
In questo modo, il volume di \(\mathcal {P}\) può essere espresso come
$$ \operatorname {vol} (\mathcal {P})= \int_{\mathcal{P}_{\ast}} \det \mathbf {F} \, dV_{ {\boldsymbol {p}} } $$
Il rapporto fra il volume di una parte nella configurazione deformata e il suo volume nella configurazione di riferimento è perciò esprimibile come
$$ \dfrac{ \operatorname {vol} (\mathcal{P})}{ \operatorname {vol} (\mathcal{P}_{\ast})} = \dfrac{\int_{\mathcal{P}_{\ast}} \det \mathbf {F} \, dV_{ {\boldsymbol {p}} }}{ \int_{\mathcal{P}_{\ast}}dV_{ {\boldsymbol {p}} }} $$
Considerando parti di corpo intorno a \({\boldsymbol {p}} \) sempre più piccole, tali che il loro diametro \(\delta=\operatorname{diam}(\mathcal{P}_{\ast})\) tenda a zero, per il teorema della media possiamo dedurre che
$$ \lim_{\delta \to 0}\dfrac{ \operatorname {vol} (\mathcal{P})}{ \operatorname {vol} (\mathcal{P}_{\ast})} = \lim_{\delta \to 0} \dfrac{\int_{\mathcal{P}_{\ast}} \det \mathbf {F} \, dV_{ {\boldsymbol {p}} }}{ \int_{\mathcal{P}_{\ast}}dV_{ {\boldsymbol {p}} }}=\det \mathbf {F} ( {\boldsymbol {p}} ) $$
Queste considerazioni si riassumono im modo compatto ma significativo scrivendo semplicemente
$$ dV_{ {\boldsymbol {x}} }=\det \mathbf {F} \, dV_{ {\boldsymbol {p}} } $$
(1.37)

Le deformazioni che preservano il volume di ogni parte di corpo sono dette isocore. Dalla relazione (1.37) deduciamo che condizione necessaria e sufficiente affinché una deformazione sia isocora è che, in ogni punto, sia \(\det \mathbf {F} =1\), e cioè \({J=1}\).

Una deduzione euristica di quest’ultima espressione può essere ottenuta anche dall’osservazione secondo la quale il volume del parallelepipedo con spigoli i vettori \(\mathbf {a} \), \(\mathbf {b} \) e \(\mathbf {c} \) è dato dal loro prodotto misto
$$ \operatorname {vol} ( \mathbf {a} , \mathbf {b} , \mathbf {c} )= \mathbf {a} \times \mathbf {b} \cdot \mathbf {c} $$
mentre per le proprietà del determinante
$$ \operatorname {vol} ( \mathbf {F} \mathbf {a} , \mathbf {F} \mathbf {b} , \mathbf {F} \mathbf {c} )= \mathbf {F} \mathbf {a} \times \mathbf {F} \mathbf {b} \cdot \mathbf {F} \mathbf {c} =(\det \mathbf {F} ) \mathbf {a} \times \mathbf {b} \cdot \mathbf {c} $$
e quindi
$$ \operatorname {vol} ( \mathbf {F} \mathbf {a} , \mathbf {F} \mathbf {b} , \mathbf {F} \mathbf {c} )=\det \mathbf {F} \, \operatorname {vol} ( \mathbf {a} , \mathbf {b} , \mathbf {c} ) $$
una relazione che, nel limite di vettori “infinitesimi”, può essere considerata equivalente alla (1.37).

1.5.1 Integrali di volume su ℬ e \(\mathcal{B}_{\ast}\)

Una proprietà che discende dalla legge del cambiamento di variabili e in particolare dalla sua espressione infinitesima (1.37) è legata alla possibilità di riportare l’integrale di una funzione definita sulla regione ℬ a un integrale costruito sulla configurazione di riferimento, e viceversa.

Sia \(\Phi( {\boldsymbol {x}} )\) una generica funzione (a valori scalari, vettoriali o tensoriali) definita sulla regione ℬ occupata dal corpo nella configurazione deformata \(\mathcal{B}=\boldsymbol{\chi}(\mathcal{B}_{\ast})\). Dalla legge del cambiamento di variabili per gli integrali possiamo dedurre che
$$ \int_{\mathcal {B}} \Phi( {\boldsymbol {x}} )\,dV_{ {\boldsymbol {x}} }= \int_{\mathcal{B}_{\ast}} \Phi\bigl(\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\bigr)\det \mathbf {F} \,dV_{ {\boldsymbol {p}} }$$
(1.38)
È espressivo utilizzare l’indice \(\mathscr{m}\) per indicare la descrizione materiale (o Lagrangiana) del campo \(\Phi( {\boldsymbol {x}} )\), ponendo cioè
$$ \Phi_{\mathscr{m}}( {\boldsymbol {p}} )=\Phi\bigl(\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\bigr) $$
In questo modo la relazione (1.38) viene scritta come
$$ \int_{\mathcal {B}} \Phi( {\boldsymbol {x}} )\,dV_{ {\boldsymbol {x}} }= \int_{\mathcal{B}_{\ast}} \Phi_{\mathscr{m}}( {\boldsymbol {p}} )\det \mathbf {F} \,dV_{ {\boldsymbol {p}} }$$
(1.39)

Si osservi che, in estrema sintesi, questa uguaglianza sembra essere ottenuta per semplice sostituzione della (1.37) al primo membro.

L’importanza della relazione (1.39) apparirà evidente più avanti, quando sarà utilizzata per eseguire derivate temporali sugli integrali di volume, sfruttando il fatto che la configurazione di riferimento si mantiene fissa, mentre in generale la configurazione deformata (che chiameremo allora configurazione attuale) cambia nel tempo.

1.6 Variazione d’area e formula di Nanson

Le deformazioni non modificano solamente le lunghezze, gli angoli e i volumi, ma anche le aree delle superfici materiali immerse nel corpo e le direzioni dei loro versori normali. È perciò importante avere a disposizione una formula che ci permetta di esprimere queste variazioni, con particolare riguardo a successive applicazioni relative al calcolo dei flussi di campi vettoriali attraverso le superfici materiali e al calcolo degli sforzi agenti su di esse.

Sia \(\mathcal {S}_{\ast}\) una superficie regolare immersa nella configurazione di riferimento \(\mathcal {B}_{\ast}\) che, per effetto della deformazione, si trasforma in \(\mathcal {S}=\boldsymbol{\chi}(\mathcal {S}_{\ast})\), anch’essa una superficie regolare contenuta ora in ℬ. Per un generico punto \({\boldsymbol {p}} \) appartenente a \(\mathcal {S}_{\ast}\) sia \({\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\) la sua posizione appartenente a \(\mathcal {S}\). Si osservi che qui stiamo considerando una superficie materiale, che quindi si deforma solamente per effetto della deformazione del corpo nel quale è immersa, ma, più in generale, sarebbe possibile pensare a superfici che si modifichino con una legge diversa.

Il principale risultato che dedurremo, noto come formula di Nanson, collega l’elemento infinitesimo d’area \(dA_{ {\boldsymbol {p}} }\) relativo a \(\mathcal {S}_{\ast}\) nel punto \({\boldsymbol {p}} \), dove la superficie ha normale \(\mathbf {n} _{\ast}\), con l’elemento d’area di \(\mathcal {S}\) in \({\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\), dove la superficie deformata ha normale \(\mathbf {n} \) (orientata in modo opportuno).

Nella discussione seguente si faccia riferimento alle Figg. 1.10, 1.11 e 1.12.
Fig. 1.10

Una superficie materiale \({\mathcal {S}}_{\ast}\) trasformata dalla deformazione \({\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\) nella superficie \(\mathcal {S}\) nella configurazione deformata. I vettori \(\mathbf {n} _{\ast}\) e \(\mathbf {n} \) indicano le normali alla superficie nelle due diverse configurazioni

Fig. 1.11

La superficie materiale \({\mathcal {S}}_{\ast}\) con i vettori tangenti alle linee coordinate e il versore normale \(\mathbf {n} _{\ast}\)

Fig. 1.12

La superficie materiale nella configurazione deformata \({\mathcal {S}}\) con i vettori tangenti alle linee coordinate e il versore normale \(\mathbf {n} \)

Proposizione 1.6

(Formula di Nanson)

Per ogni superficie materiale immersa nella configurazione di riferimento e soggetta alla deformazione \({\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\) vale la relazione
$$ \mathbf {n} \, dA_{ {\boldsymbol {x}} }=(\det \mathbf {F} ) \mathbf {F} ^{-T} \mathbf {n} _{\ast}dA_{ {\boldsymbol {p}} }$$
(1.40)

Dimostrazione

Consideriamo una superficie \(\mathcal {S}_{\ast}\) nella configurazione di riferimento \(\mathcal {B}_{\ast}\), che sia descritta localmente in forma parametrica dalla funzione
$$ {\boldsymbol {p}} =\hat{ {\boldsymbol {p}} }(u_{1}, u_{2})\qquad X_{K}= \hat{X}_{K}(u_{1}, u_{2}) $$
dove \((u_{1}, u_{2})\) è una coppia di parametri che variano in una regione \(\Sigma\) del piano. I vettori
$$ \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{1}}} \quad\text{e}\quad \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{2}}} $$
sono tangenti alla superficie \({\mathcal {S}}_{\ast}\) e, come sappiamo dalla geometria, l’elemento d’area infinitesimo è dato da
$$ dA_{ {\boldsymbol {p}} }= \biggl\vert \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{1}}} \times \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{2}}} \biggr\vert du_{1} du_{2} $$
(1.41)
dove l’indice \({\boldsymbol {p}} \) serve a sottolineare il fatto che si tratta dell’elemento di superficie infinitesima nel punto \({\boldsymbol {p}} \) delle configurazione di riferimento. Scegliamo come normale alla superficie il versore \(\mathbf {n} _{\ast}\) definito da
$$ \mathbf {n} _{\ast}\biggl\vert \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{1}}}\times \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{2}}} \biggr\vert = \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{1}}} \times \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{2}}} $$
Dal confronto di quest’ultima con la (1.41) deduciamo infine che
$$ \mathbf {n} _{\ast}dA_{ {\boldsymbol {p}} }=\frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{1}}}\times \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{2}}}du_{1} du_{2} $$
(1.42)
Per effetto della deformazione \({\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} )\) la superficie \({\mathcal {S}}_{\ast}\) si trasforma in una diversa superficie \(\mathcal {S}\), contenuta nella configurazione deformata del corpo, e parametrizzata da
$$ \hat{ {\boldsymbol {x}} }(u_{1},u_{2})=\boldsymbol{\chi}\bigl(\hat{ {\boldsymbol {p}} }(u_{1},u_{2})\bigr) \qquad \hat{x}_{i}(u_{1},u_{2})= \chi_{i}\bigl(\hat{X}_{K}(u_{1}, u_{2}) \bigr) $$
I vettori tangenti a \(\mathcal {S}\) si ottengono attraverso la regola di derivazione delle funzioni composte
$$ \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {x}} }}}{\partial {u_{j}}}= \mathbf {F} \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{j}}} \quad (j=1,2) $$
(1.43)
o, in coordinate cartesiane,
$$ \frac {\partial {\hat{x}_{i}}}{\partial {u_{j}}}=\frac {\partial {\chi_{i}}}{\partial {X_{K}}}\frac {\partial {\hat{X}_{K}}}{\partial {u_{j}}}= \chi_{i,K}\frac {\partial {\hat{X}_{K}}}{\partial {u_{j}}} =F_{iK}\frac {\partial {\hat{X}_{K}}}{\partial {u_{j}}}\quad (j=1,2) $$
Anche qui introduciamo un versore normale \(\mathbf {n} \) definito da
$$ \mathbf {n} \biggl\vert \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {x}} }}}{\partial {u_{1}}}\times \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {x}} }}}{\partial {u_{2}}} \biggr\vert = \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {x}} }}}{\partial {u_{1}}}\times \frac {\partial { \hat{ {\boldsymbol {x}} }}}{\partial {u_{2}}} $$
(1.44)
L’elemento infinitesimo d’area per la superficie deformata \(\mathcal {S}\) è ora
$$ dA_{ {\boldsymbol {x}} }= \biggl\vert \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {x}} }}}{\partial {u_{1}}}\times \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {x}} }}}{\partial {u_{2}}} \biggr\vert du_{1} du_{2} = \biggl\vert \mathbf {F} \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{1}}}\times \mathbf {F} \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{2}}} \biggr\vert du_{1} du_{2} $$
dove si è tenuto conto delle (1.43). Quest’ultima relazione, alla luce della (1.44), ci permette di scrivere
$$ \mathbf {n} \, dA_{ {\boldsymbol {x}} }= \mathbf {F} \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{1}}} \times \mathbf {F} \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{2}}} du_{1} du_{2} $$
(1.45)
È possibile dimostrare, come si vede nella ( 8.33) dell’Appendice, che per ogni coppia di vettori \(\mathbf {a} \) e \(\mathbf {b} \) e per ogni tensore invertibile \(\mathbf {F} \) vale la relazione
$$ \mathbf {F} \mathbf {a} \times \mathbf {F} \mathbf {b} =(\det \mathbf {F} ) \mathbf {F} ^{-T}( \mathbf {a} \times \mathbf {b} ) $$
Quindi, la (1.45) diventa
$$ \mathbf {n} \, dA_{ {\boldsymbol {x}} }=(\det \mathbf {F} ) \mathbf {F} ^{-T} \biggl(\frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{1}}} \times \frac {\partial {\hat{ {\boldsymbol {p}} }}}{\partial {u_{2}}} \biggr)du_{1} du_{2} $$
e confrontando questa relazione con la (1.42) concludiamo che
$$ \mathbf {n} \, dA_{ {\boldsymbol {x}} }=(\det \mathbf {F} ) \mathbf {F} ^{-T} \mathbf {n} _{\ast}dA_{ {\boldsymbol {p}} }$$
che coincide con la formula di Nanson. □

Osservazione 1

Può succedere di vedere utilizzato l’elemento d’area in forma vettoriale, indicato in grassetto come
$$ \boldsymbol{dA_{x}}= \mathbf {n} \,dA_{ {\boldsymbol {x}} }\qquad \boldsymbol{dA_{p}}= \mathbf {n} _{\ast}\,dA_{ {\boldsymbol {p}} }$$
Con questa notazione la formula di Nanson (1.40) prende la forma compatta
$$ \boldsymbol{dA_{x}}=(\det \mathbf {F} ) \mathbf {F} ^{-T}\boldsymbol{dA_{p}} $$
(si osservi l’uso del grassetto).

Concludiamo osservando che \(\mathbf {n} \ne \mathbf {F} \mathbf {n} ^{\ast}\), e questo mostra che la normale a una superficie passando dalla configurazione di riferimento alla configurazione deformata non si trasforma come un elemento infinitesimo di una linea materiale ma con una legge diversa.

1.6.1 La trasformazione di Piola

L’importanza della formula di Nanson (1.40) risiede principalmente nel fatto che ci permette di dedurre la relazione che deve intercorrere fra un campo vettoriale \(\mathbf {w} _{\ast}( {\boldsymbol {p}} )\) definito su \(\mathcal {S}_{\ast}\) e un campo vettoriale \(\mathbf {w} ( {\boldsymbol {x}} )\) definito su \(\mathcal {S}\) affinché i loro flussi attraverso \(\mathcal {S}_{\ast}\) e \(\mathcal{S}\) siano uguali:
$$ \int_{\mathcal {S}_{\ast}} \mathbf {w} _{\ast}\cdot \mathbf {n} _{\ast}dA_{ {\boldsymbol {p}} }= \int_{\mathcal {S}} \mathbf {w} \cdot \mathbf {n} \, dA_{ {\boldsymbol {x}} }$$
(1.46)
(l’orientamento delle normali \(\mathbf {n} _{\ast}\) è stato qui scelto in accordo con quanto visto nel paragrafo precedente).

Questo riusltato equivale a determinare la legge di trasformazione di un integrale di flusso quando si passa da una descrizione nella configurazione deformata ad una rispetto alla configurazione di riferimento.

Proposizione 1.7

(Piola)

L’uguaglianza (1.46) è soddisfatta per ogni superficie materiale se e solo se
$$ \mathbf {w} _{\ast}=(\det \mathbf {F} ) \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {w} $$
(1.47)
Vale inoltre la relazione
$$ \mathrm {Div\,} \mathbf {w} _{\ast}=J \operatorname {div} \mathbf {w} $$
dove\(J=\det \mathbf {F} \).

Dimostrazione

Utilizzando la (1.40) possiamo riscrivere il secondo termine della (1.46) in modo che sia
$$ \int_{\mathcal {S}_{\ast}} \mathbf {w} _{\ast}\cdot \mathbf {n} _{\ast}dA_{ {\boldsymbol {p}} }= \int_{\mathcal {S}_{\ast}} \mathbf {w} _{\mathscr{m}}\cdot(\det \mathbf {F} ) \mathbf {F} ^{-T} \mathbf {n} _{\ast}dA_{ {\boldsymbol {p}} }$$
(1.48)
dove con \(\mathbf {w} _{\mathscr{m}}\) si intende il campo vettoriale \(\mathbf {w} \) espresso in funzione del punto materiale \({\boldsymbol {p}} \), e cioè \(\mathbf {w} _{\mathscr{m}}( {\boldsymbol {p}} )= \mathbf {w} (\boldsymbol{\chi}( {\boldsymbol {p}} ))\) (come vedremo in seguito \(\mathbf {w} _{\mathscr{m}}( {\boldsymbol {p}} )\) è la descrizione in forma materiale o Lagrangiana del campo spaziale o Euleriano \(\mathbf {w} ( {\boldsymbol {x}} )\)).
Poiché, per la proprietà del trasposto,
$$ \mathbf {w} _{\mathscr{m}}\cdot(\det \mathbf {F} ) \mathbf {F} ^{-T} \mathbf {n} _{\ast}= (\det \mathbf {F} ) \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {w} _{\mathscr{m}}\cdot \mathbf {n} _{\ast}$$
la (1.48) può essere riscritta nella forma
$$ \int_{\mathcal {S}_{\ast}} \mathbf {w} _{\ast}\cdot \mathbf {n} _{\ast}dA_{ {\boldsymbol {p}} }= \int_{\mathcal {S}_{\ast}} (\det \mathbf {F} ) \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {w} _{\mathscr{m}}\cdot \mathbf {n} _{\ast}dA_{ {\boldsymbol {p}} }$$
(1.49)
Se vogliamo che l’uguaglianza (1.49) sia soddisfatta per ogni superficie \(\mathcal {S}_{\ast}\) dovrà essere
$$ \mathbf {w} _{\ast}=(\det \mathbf {F} ) \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {w} $$
dove, come spesso conviene, si è deciso per semplicità di sottintendere l’indice \(\mathscr{m}\). L’uguaglianza (1.47) è nota con il nome di trasformazione di Piola.

Supponiamo che la superficie materiale \(\mathcal {S}_{\ast}\) sia la frontiera, regolare o regolare a tratti, di una parte di corpo \(\mathcal {P}_{\ast}\). La superficie \(\mathcal {S}\), perciò, sarà la frontiera della regione di spazio \(\mathcal {P}\) occupata dalla parte \(\mathcal {P}_{\ast}\) nella configurazione deformata del corpo.

La relazione (1.46) si riscrive perciò come
$$ \int_{\partial\mathcal {P}_{\ast}} \mathbf {w} _{\ast}\cdot \mathbf {n} _{\ast}dA_{ {\boldsymbol {p}} }= \int_{\partial\mathcal {P}} \mathbf {w} \cdot \mathbf {n} \, dA_{ {\boldsymbol {x}} }$$
e a entrambi i membri è possibile applicare il Teorema della Divergenza per i campi vettoriali, in modo che
$$ \int_{\mathcal {P}_{\ast}} \mathrm {Div\,} \mathbf {w} _{\ast}\,dV_{ {\boldsymbol {p}} }= \int_{\mathcal {P}} \operatorname {div} \mathbf {w} \, dV_{ {\boldsymbol {x}} }$$
(1.50)
L’uso della lettera maiuscola iniziale per il simbolo di “divergenza” al primo membro è solo un espediente per ricordare al lettore che stiamo calcolando la divergenza di un campo vettoriale in forma materiale. Più esplicitamente, in coordinate cartesiane,
$$ \begin{aligned} \mathbf {w} _{\ast}(X_{K})\quad&\Longrightarrow\quad \mathrm {Div\,} \mathbf {w} _{\ast}=\frac {\partial { \mathbf {w} _{\ast}}}{\partial {X_{H}}}\cdot \mathbf {i} _{H}=w_{\ast{H,H}} \\ \mathbf {w} (x_{k})\quad&\Longrightarrow\quad \operatorname {div} \mathbf {w} =\frac {\partial { \mathbf {w} }}{\partial {x_{h}}}\cdot \mathbf {i} _{h} =w_{h,h} \end{aligned} $$
(dove \(\mathbf {i} _{h}= \mathbf {i} _{H}\) è la terna di riferimento associata al sistema di coordinate cartesiane).
L’integrale di volume al secondo membro della (1.50) può essere trasformato come
$$ \int_{\mathcal {P}} \operatorname {div} \mathbf {w} \, dV_{ {\boldsymbol {x}} }= \int_{\mathcal {P}\ast}( \operatorname {div} \mathbf {w} )_{\mathscr{m}} J\, dV_{ {\boldsymbol {p}} }$$
Alla luce di ciò, l’uguaglianza (1.50) diventa
$$ \int_{\mathcal {P}_{\ast}} \mathrm {Div\,} \mathbf {w} _{\ast}\,dV_{ {\boldsymbol {p}} }= \int_{\mathcal {P}_{\ast}}( \operatorname {div} \mathbf {w} )_{\mathscr{m}} J\, dV_{ {\boldsymbol {p}} }$$
e poiché deve essere valida per ogni parte \(\mathcal {P}_{\ast}\) deduciamo che
$$ \mathrm {Div\,} \mathbf {w} _{\ast}=J ( \operatorname {div} \mathbf {w} )_{\mathscr{m}} $$
(l’indice \(\mathscr{m}\) viene di solito sottinteso). Alla luce della (1.47) vale perciò l’identità
$$ \mathrm {Div\,} \bigl(J \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {w} \bigr)=J ( \operatorname {div} \mathbf {w} ) $$
(1.51)
una relazione che tornerà utile più avanti, quando tratteremo i flussi di calore all’interno di un corpo. □
Dalla (1.46), con l’aiuto della (1.47), deduciamo una ulteriore identità. Scegliendo infatti nella (1.51) \(\mathbf {w} = \mathbf {c} \) (un vettore costante) deduciamo che
$$ \mathrm {Div\,} \bigl(J \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {c} \bigr)=\boldsymbol {0}$$
e in componenti cartesiane
$$\begin{aligned} \bigl(J \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {c} \bigr)_{H,H} =& \bigl(J \mathbf {F} ^{-1}_{Hi}c_{i} \bigr)_{,H}=\bigl(J \mathbf {F} ^{-1}\bigr)_{Hi,H}c_{i} \\ =&\bigl(J \mathbf {F} ^{-T}\bigr)_{iH,H}c_{i}= \mathrm {Div\,} \bigl(J \mathbf {F} ^{-T}\bigr)\cdot \mathbf {c} =\boldsymbol {0} \end{aligned}$$
Ciò significa che, per l’arbitrarietà di \(\mathbf {c} \),
$$ \mathrm {Div\,} \bigl(J \mathbf {F} ^{-T}\bigr)=\boldsymbol {0}$$
un’identità che è anch’essa associata al nome di Piola.
Una relazione della quale faremo uso più avanti può essere dedotta facilmente dalla Proposizione 1.7: per un capo tensoriale generico \(\boldsymbol{\Phi}\) e un campo vettoriale \(\mathbf {w} \) l’uguaglianza
$$ \int_{\mathcal {S}_{\ast}}\boldsymbol{\Phi}\,( \mathbf {w} _{\ast}\cdot \mathbf {n} _{\ast}) dA_{ {\boldsymbol {p}} }= \int_{\mathcal {S}}\boldsymbol{\Phi}\,( \mathbf {w} \cdot \mathbf {n} )\, dA_{ {\boldsymbol {x}} }$$
(1.52)
è soddisfatta se \(\mathbf {w} ^{\ast}=J \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {w} \).

1.6.2 La trasformazione di Piola per campi tensoriali

Determiniamo adesso la relazione che deve intercorrere fra un campo tensoriale \(\mathbf {T} ( {\boldsymbol {x}} )\) e un campo \(\mathbf {T} _{\ast}( {\boldsymbol {p}} )\) in modo che sia sempre verificata l’uguaglianza
$$ \int_{\mathcal {S}_{\ast}} \mathbf {T} _{\ast} \mathbf {n} _{\ast}\, dA_{ {\boldsymbol {p}} }= \int_{\mathcal {S}} \mathbf {T} \mathbf {n} \, dA_{ {\boldsymbol {x}} }$$
(1.53)
dove, come in precedenza, \(\mathcal {S}_{\ast}\) è una arbitraria superficie materiale e \(\mathcal {S}\) è la sua configurazione deformata.

Proposizione 1.8

L’uguaglianza (1.53) è verificata per ogni superficie se e solo se
$$ \mathbf {T} _{\ast}=J \mathbf {T} \mathbf {F} ^{-T} $$
(1.54)
Vale inoltre la relazione
$$ \mathrm {Div\,} \mathbf {T} _{\ast}=J \operatorname {div} \mathbf {T} $$
(1.55)

Dimostrazione

Moltiplichiamo la (1.53) scalarmente per un vettore \(\mathbf {c} \) costante
$$ \mathbf {c} \cdot \int_{\mathcal {S}_{\ast}} \mathbf {T} _{\ast} \mathbf {n} _{\ast}\, dA_{ {\boldsymbol {p}} }= \mathbf {c} \cdot \int_{\mathcal {S}} \mathbf {T} \mathbf {n} \, dA_{ {\boldsymbol {x}} }$$
e trasportiamo il prodotto scalare all’interno dell’integrale usando poi la proprietà del trasposto
$$ \int_{\mathcal {S}_{\ast}} \mathbf {T} ^{T}_{\ast} \mathbf {c} \cdot \mathbf {n} _{\ast}\, dA_{ {\boldsymbol {p}} }= \int_{\mathcal {S}} \mathbf {T} ^{T} \mathbf {c} \cdot \mathbf {n} \, dA_{ {\boldsymbol {x}} }$$
Alla luce della Proposizione 1.7 per ogni vettore \(\mathbf {c} \) dovrà essere
$$ \mathbf {T} ^{T}_{\ast} \mathbf {c} =J \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {T} ^{T} \mathbf {c} $$
e cioè
$$ \mathbf {T} ^{T}_{\ast}=J \mathbf {F} ^{-1} \mathbf {T} ^{T} $$
Prendendo il trasposto di entrambi i membri si ottiene
$$ \mathbf {T} _{\ast}=J \mathbf {T} \mathbf {F} ^{-T} $$
che è il risultato (1.54).
Consideriamo ora una porzione di corpo \(\mathcal {P}_{\ast}\) e supponiamo che la superficie \(\mathcal {S}_{\ast}\) ne sia la frontiera. La (1.53) per mezzo del teorema della divergenza e della (1.38) può essere riscritta come
$$ \int_{\mathcal {P}_{\ast}} \mathrm {Div\,} \mathbf {T} _{\ast}\, dV_{ {\boldsymbol {p}} }= \int_{\mathcal {P}} \operatorname {div} \mathbf {T} \, dV_{ {\boldsymbol {x}} }= \int_{\mathcal {P}_{\ast}} ( \operatorname {div} \mathbf {T} )_{m} \, J\, dV_{ {\boldsymbol {p}} }$$
In vista dell’arbitrarietà della regione \(\mathcal {P}\) deduciamo che deve essere
$$ \mathrm {Div\,} \mathbf {T} _{\ast}=J \operatorname {div} \mathbf {T} $$
che coincide con la (1.55), la seconda affermazione che volevamo dimostrare. □

1.7 Deformazioni infinitesime

Le deformazioni per le quali la posizione di ogni punto si discosta “molto poco” dalla sua collocazione nella configurazione di riferimento sono di particolare importanza per le applicazioni alla meccanica dei corpi elastici o viscoelastici. Queste “piccole” deformazioni, dette anche infinitesime, sono ora l’oggetto del nostro interesse e per esse ci poniamo le seguenti domande: come misurare le variazioni di lunghezza, d’angolo e di volume che si producono in prossimità di un assegnato punto materiale?

Vedremo che a partire dal campo vettoriale degli spostamenti è possibile costruire un tensore simmetrico, detto tensore di deformazione infinitesima, costruito a partire dal gradiente di spostamento \(\operatorname {Grad} \mathbf {u} \), che contiene in sè le risposte cercate. La conoscenza di questo tensore permette infatti di dedurre non solo le variazioni di lunghezza subite da segmenti materiali uscenti dal punto secondo ogni direzione, ma anche le variazioni d’angolo che si vengono a creare fra direzioni originariamente ortogonali e infine le variazioni di volume subite da particelle di corpo. In altre parole, il tensore di deformazione infinitesima racchiude in sé tutte le informazioni rilevanti per la conoscenza delle variazioni di natura geometrica indotte dalla deformazione stessa.

L’ipotesi che la deformazione sia infinitesima si traduce nella richiesta che lo spostamento \(\mathbf {u} ( {\boldsymbol {x}} )\) di ogni punto materiale sia “molto piccolo” e che lo sia anche il suo gradiente. Si pensa quindi che \(\mathbf {u} ( {\boldsymbol {p}} )\) sia multiplo secondo un “piccolissimo” parametro \(\epsilon\), che si immagina tendente a zero, di uno spostamento finito \(\bar{ \mathbf {u} }( {\boldsymbol {p}} )\):
$$ \mathbf {u} ( {\boldsymbol {p}} )=\epsilon\,\bar{ \mathbf {u} }( {\boldsymbol {p}} ) $$
(1.56)
(Per essere più esatti sarebbe opportuno scrivere \(\mathbf {u} _{\epsilon}( {\boldsymbol {p}} )\) per mostrare la dipendenza da \(\epsilon\) del campo di spostamenti. Tuttavia, per non appesantire la notazione, scegliamo di omettere questa indicazione lasciando di fatto sottintesa la dipendenza.)

Si suppone che \(\epsilon\) sia così piccolo da poter considerare come trascurabili tutte le quantità che abbiano come coefficienti \(\epsilon^{2}\), \(\epsilon^{3}\), …, o in generale i termini che siano \(\mathscr {o}(\epsilon)\).

Naturalmente questo è un ragionamento puramente euristico e, nei casi concreti, non è sempre ovvio come si possa decidere se un certo corpo sia soggetto a deformazioni infinitesime piuttosto che finite.

La relazione (1.56) ha come immediata conseguenza
$$ \operatorname {Grad} \mathbf {u} ( {\boldsymbol {p}} )= \epsilon\, \operatorname {Grad} \bar{ \mathbf {u} }( {\boldsymbol {p}} ) $$
e cioè che anche il gradiente di \(\mathbf {u} ( {\boldsymbol {p}} )\) ha ordine di piccolezza pari a \(\epsilon\).

In realtà, come vedremo e come è facile intuire, le piccole deformazioni si hanno proprio nei casi in cui è il gradiente \(\operatorname {Grad} \mathbf {u} \) a essere piccolo, piuttosto che lo spostamento. Infatti, un corpo che viene per esempio traslato o rototraslato arbitrariamente non si deforma in senso proprio, poiché i punti materiali non variano le loro distanze relative. Per avere quindi una “piccola deformazione” è necessario che sia piccolo il gradiente \(\operatorname {Grad} \mathbf {u} \), ma non necessariamente lo spostamento stesso.

Per indicare che le quantità \(\mathbf {u} \) e \(\operatorname {Grad} \mathbf {u} \) hanno il medesimo ordine di grandezza di \(\epsilon\) scriveremo a volte \(\mathbf {u} \approx\epsilon\), \(\operatorname {Grad} \mathbf {u} \approx\epsilon\).

1.7.1 Il tensore di deformazione

Il tensore che, nel caso di deformazioni infinitesime, fornisce tutte le informazioni relative a variazioni di lunghezza, d’angolo e di volume, è definito come
$$ \mathbf {E} :=\frac{1}{2}\bigl( \operatorname {Grad} \mathbf {u} + \operatorname {Grad} \mathbf {u} ^{T}\bigr) $$
e coincide quindi con la parte simmetrica del gradiente di spostamento \(\operatorname {Grad} \mathbf {u} \).
Stabiliamo prima di tutto il legame che sussiste fra \(\mathbf {C} \), tensore di Cauchy-Green destro, e il tensore di deformazione infinitesima \(\mathbf {E} \). Poiché \(\mathbf {F} = \mathbf {I} + \operatorname {Grad} \mathbf {u} \) segue che
$$ \mathbf {C} = \mathbf {F} ^{T} \mathbf {F} =( \mathbf {I} + \operatorname {Grad} \mathbf {u} )^{T}( \mathbf {I} + \operatorname {Grad} \mathbf {u} )= \mathbf {I} +2 \mathbf {E} + \operatorname {Grad} \mathbf {u} ^{T} \operatorname {Grad} \mathbf {u} $$
Osserviamo perciò che vale la relazione
$$ \mathbf {C} = \mathbf {I} +2 \mathbf {E} +\mathscr {o}(\epsilon) $$
(1.57)
poiché il prodotto \(\operatorname {Grad} \mathbf {u} ^{T} \operatorname {Grad} \mathbf {u} \) è di ordine \(\epsilon^{2}\).

Si vede quindi che \(\mathbf {E} \) è una “prima approssimazione” di \(\mathbf {C} \) quando questo sia vicino all’identità, e cioè quando la deformazione sia piccola. Vediamo infatti come dalle proprietà di \(\mathbf {C} \), già indagate in precedenza, sia possibile dedurre analoghe proprietà per \(\mathbf {E} \).

Concludiamo questo paragrafo osservando che dalla (1.12) e dalla (1.9) deduciamo
$$ \operatorname {Grad} \mathbf {u} =( \operatorname {grad} \mathbf {u} )\, \mathbf {F} = \operatorname {grad} \mathbf {u} ( \mathbf {I} + \operatorname {Grad} \mathbf {u} ) $$
e poiché vale sia che \(\operatorname {grad} \mathbf {u} \approx\epsilon\) che \(\operatorname {Grad} \mathbf {u} \approx\epsilon\) a meno di infinitesimi di ordine superiore a \(\epsilon\) stesso possiamo scrivere
$$ \operatorname {Grad} \mathbf {u} \approx \operatorname {grad} \mathbf {u} $$

1.7.2 Deformazioni finite e infinitesime

Il gradiente di spostamento \(\operatorname {Grad} \mathbf {u} \) è decomponibile in una parte simmetrica \(\mathbf {E} \) e in una parte antisimmetrica \(\mathbf {W} \)
$$ \operatorname {Grad} \mathbf {u} = \mathbf {E} + \mathbf {W} =\frac{1}{2}\bigl( \operatorname {Grad} \mathbf {u} + \operatorname {Grad} \mathbf {u} ^{T}\bigr)+ \frac{1}{2}\bigl( \operatorname {Grad} \mathbf {u} - \operatorname {Grad} \mathbf {u} ^{T}\bigr) $$
Vediamo come la parte simmetrica, che coincide con il tensore di deformazione infinitesima \(\mathbf {E} \) del quale già conosciamo le proprietà, sia la prima approssimazione del tensore \(\mathbf {U} \) che compare nella decomposizione polare \(\mathbf {F} = \mathbf {R} \mathbf {U} \). Infatti,
$$\begin{aligned} \mathbf {U} =&\sqrt{ \mathbf {C} }=\sqrt{ \mathbf {I} + \operatorname {Grad} \mathbf {u} + \operatorname {Grad} \mathbf {u} ^{T}+ \operatorname {Grad} \mathbf {u} ^{T} \operatorname {Grad} \mathbf {u} } \\ =& \mathbf {I} +\frac{1}{2}\bigl( \operatorname {Grad} \mathbf {u} + \operatorname {Grad} \mathbf {u} ^{T}\bigr)+\mathscr {o}( \epsilon)= \mathbf {I} + \mathbf {E} +\mathscr {o}(\epsilon) \end{aligned}$$
(1.58)
dove si è tenuto conto del fatto che \(\operatorname {Grad} \mathbf {u} \approx\epsilon\) e si è utilizzato lo sviluppo della radice quadrata ( 8.104). Vediamo da qui che, per deformazioni infinitesime, la differenza fra \(\mathbf {U} \) e l’identità \(\mathbf {I} \) è approssimata da \(\mathbf {E} \).
Deduciamo inoltre dalla (1.58) che
$$ \mathbf {U} ^{-1}= \mathbf {I} - \mathbf {E} +\mathscr {o}(\epsilon) $$
Infatti,
$$ \mathbf {U} \mathbf {U} ^{-1}=\bigl( \mathbf {I} + \mathbf {E} +\mathscr {o}(\epsilon)\bigr) \bigl( \mathbf {I} - \mathbf {E} + \mathscr {o}(\epsilon)\bigr) = \mathbf {I} +\mathscr {o}(\epsilon) $$
Da \(\mathbf {R} = \mathbf {F} \mathbf {U} ^{-1}\) segue infine che
$$\begin{aligned} \mathbf {R} =& \mathbf {F} \mathbf {U} ^{-1}=( \mathbf {I} + \operatorname {Grad} \mathbf {u} ) \bigl( \mathbf {I} - \mathbf {E} +\mathscr {o}( \epsilon)\bigr) \\ =& \mathbf {I} + \operatorname {Grad} \mathbf {u} - \mathbf {E} +\mathscr {o}(\epsilon)= \mathbf {I} + \mathbf {W} +\mathscr {o}(\epsilon) \end{aligned}$$
Per deformazioni infinitesime, la differenza fra \(\mathbf {R} \) e \(\mathbf {I} \) è quindi approssimata da \(\mathbf {W} \).

1.7.3 Stiramenti

Sappiamo dalla (1.27) che il quadrato dello stiramento nella direzione \(\mathbf {d} \) uscente da \({\boldsymbol {p}} \) è dato da
$$ \delta^{2}( \mathbf {d} )= \mathbf {C} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} $$
Sostituendo la (1.57) qui dentro otteniamo
$$ \delta^{2}( \mathbf {d} )=1+2 \mathbf {E} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} +\mathscr {o}(\epsilon) $$
Dall’Analisi Matematica sappiamo però che, per \(\epsilon\to0\),
$$ \sqrt{1+2\epsilon+\mathscr {o}(\epsilon)}=1+\epsilon +\mathscr {o}(\epsilon) $$
e quindi, ricordando che \(\mathbf {E} \approx\epsilon\), lo stiramento è
$$ \delta( \mathbf {d} )=\sqrt{ \mathbf {C} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} }=\sqrt{1+2 \mathbf {E} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} + \mathscr {o}(\epsilon)} =1+ \mathbf {E} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} +\mathscr {o}(\epsilon) $$
(1.59)
A questo punto, poiché abbiamo deciso di trascurare le quantità di ordine \(\mathscr {o}(\epsilon)\), concludiamo affermando che, nel limite delle piccole deformazioni,
$$ \delta( \mathbf {d} )=1+ \mathbf {E} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} $$
La differenza \(\delta( \mathbf {d} )-1\) era stata indicata con \(\varepsilon( \mathbf {d} )\) nella (1.31) (questo “epsilon” è diverso tipograficamente e concettualmente da \(\epsilon\)) e chiamata deformazione longitudinale (nella direzione \(\mathbf {d} \)). Nel contesto delle deformazioni infinitesime, perciò,
$$ \varepsilon( \mathbf {d} )= \mathbf {E} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} $$
(1.60)
Il significato fisico di questa quantità era dato sinteticamente dalla (1.32) come
$$ \varepsilon( \mathbf {d} )=\frac{ds-dS}{dS} $$
(1.61)
e cioè: il rapporto fra la variazione di lunghezza di un segmento infinitesimo uscente da \({\boldsymbol {p}} \) nella direzione \(\mathbf {d} \) e la sua lunghezza nella configurazione di riferimento.
È utile comprendere che \(\varepsilon( \mathbf {d} )\), che in questo contesto dovrà essere necessariamente una quantità piccola, ha natura adimensionale (è un rapporto fra lunghezze) e tipicamente viene letta come percentuale. Per esempio
$$ \varepsilon( \mathbf {d} )=0{,}0023\qquad \varepsilon( \mathbf {d} )=-0{,}034 $$
significa, rispettivamente, che nella direzione \(\mathbf {d} \) vi è stato un allungamento longitudinale di \(+0{,}23\%\), oppure che vi è stato un accorciamento longitudinale di \(-3{,}4\%\) (variazione di lunghezza rapportata alla lunghezza iniziale).
In modo ancora più compatto e alla luce della (1.61), la proprietà (1.60) viene spesso riscritta nella forma sintetica ma significativa
$$ \frac{\delta L}{L}= \mathbf {E} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} $$
(la dipendenza del primo membro da \(\mathbf {d} \) è sottintesa, e anche il fatto che si tratti di una lunghezza infinitesima).

1.7.4 Angoli di scorrimento

Dalla (1.33) sappiamo che l’angolo di scorrimento\(\gamma( \mathbf {d} _{1}, \mathbf {d} _{2})\) che si produce per effetto di una deformazione finita fra due direzioni che escono da \({\boldsymbol {p}} \) secondo due versori ortogonali \(\mathbf {d} _{1}\) e \(\mathbf {d} _{2}\) è dato da
$$ \sin\gamma( \mathbf {d} _{1}, \mathbf {d} _{2})= \frac{ \mathbf {C} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2}}{\sqrt{ \mathbf {C} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{1}}\,\sqrt{ \mathbf {C} \mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {d} _{2}}} $$
(1.62)
(si ricordi che \(\gamma\) indica di quanto l’angolo fra le due direzioni originariamente dirette come \(\mathbf {d} _{1}\) e \(\mathbf {d} _{2}\) differisce da un angolo retto, per effetto della deformazione).
Pe quel che riguarda il numeratore della (1.62), sostituendo dalla (1.57), abbiamo
$$ \mathbf {C} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2}=( \mathbf {I} +2 \mathbf {E} ) \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2}+\mathscr {o}(\epsilon) =2 \mathbf {E} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2}+\mathscr {o}(\epsilon) $$
(si ricordi che \(\mathbf {I} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2}= \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2}=0\)). In vista della (1.59) dal denominatore della (1.62) abbiamo invece
$$ \sqrt{ \mathbf {C} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{1}}=1+ \mathbf {E} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{1}+\mathscr {o}(\epsilon)\quad \sqrt{ \mathbf {C} \mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {d} _{2}}=1+ \mathbf {E} \mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {d} _{2}+\mathscr {o}( \epsilon) $$
Poiché
$$ \frac{1}{1+\epsilon+\mathscr {o}(\epsilon)}=1-\epsilon+\mathscr {o}(\epsilon) $$
deduciamo dalla (1.62) che, nel limite delle piccole deformazioni,
$$ \sin\gamma( \mathbf {d} _{1}, \mathbf {d} _{2})=2 \mathbf {E} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2} $$
(1.63)
dove si sono trascurati i termini \(\mathscr {o}(\epsilon)\).
La relazione (1.63) fornisce quindi per ogni coppia di versori ortogonali \(\mathbf {d} _{1}\) e \(\mathbf {d} _{2}\) l’angolo di scorrimento \(\gamma\) che si viene a creare per effetto della deformazione infinitesima. Si noti che, poiché \(\sin\gamma\) dovrà avere un valore molto piccolo (di ordine \(\epsilon\)), possiamo in generale ritenere che sia \(\sin\gamma\approx\gamma\) e scrivere più semplicemente
$$ \gamma( \mathbf {d} _{1}, \mathbf {d} _{2})=2 \mathbf {E} \mathbf {d} _{1} \cdot \mathbf {d} _{2} $$

1.7.5 Variazione di volume

Sappiamo che, come dimostrato nell’Appendice, vale la relazione ( 8.76), e cioè
$$ \det( \mathbf {I} + \mathbf {H} )=1+ \operatorname {tr} \mathbf {H} +\mathscr {o}( \mathbf {H} ) $$
Quindi
$$ J=\det \mathbf {F} =\det( \mathbf {I} + \operatorname {Grad} \mathbf {u} )=1+ \operatorname {tr} ( \operatorname {Grad} \mathbf {u} )+\mathscr {o}(\epsilon) $$
e cioè, nel limite delle piccole deformazioni,
$$ J=1+ \operatorname {tr} ( \operatorname {Grad} \mathbf {u} )=1+ \operatorname {tr} \mathbf {E} =1+ \mathrm {Div\,} \mathbf {u} $$
dove abbiamo trascurato il termine \(\mathscr {o}(\epsilon)\) e abbiamo utilizzato il fatto che la quantità \(\operatorname {tr} ( \operatorname {Grad} \mathbf {u} )\) coincide con la traccia di \(\mathbf {E} \) e per definizione con la divergenza del campo degli spostamenti.
Concludiamo quindi che
$$ dV_{ {\boldsymbol {x}} }=J dV_{ {\boldsymbol {p}} }=(1+ \operatorname {tr} \mathbf {E} ) dV_{ {\boldsymbol {p}} }+( \operatorname {tr} \mathbf {E} ) dV_{ {\boldsymbol {p}} } $$
oppure
$$ \frac{dV_{ {\boldsymbol {x}} }-dV_{ {\boldsymbol {p}} }}{dV_{ {\boldsymbol {p}} }}= \operatorname {tr} \mathbf {E} \,(= \mathrm {Div\,} \mathbf {u} ) $$
La variazione infinitesima di volume rapportata al volume iniziale, nota anche con il nome di coefficiente di variazione volumetrica, è quindi una quantità che possiamo esprimere in modo suggestivo come
$$ \frac{\delta V}{V}= \operatorname {tr} \mathbf {E} $$

1.7.6 Considerazioni conclusive e riassuntive

Diamo una veste completa e sintetica ai risultati ottenuti.

Proposizione 1.9

Sia\(\mathbf {E} \)il tensore di deformazione corrispondente a un campo di spostamenti infinitesimi, calcolato in un punto\({\boldsymbol {p}} \). La deformazione longitudinale di un filamento di corpo uscente da\({\boldsymbol {p}} \)nella direzione del versore\(\mathbf {d} \)è data da
$$ \varepsilon( \mathbf {d} )=\frac{\delta L}{L}= \mathbf {E} \mathbf {d} \cdot \mathbf {d} $$
L’angolo di scorrimento che si crea fra due filamenti di corpo uscenti da\({\boldsymbol {p}} \)secondo le direzioni dei versori ortogonali\(\mathbf {d} _{1}\)e\(\mathbf {d} _{2}\)è dato da
$$ \gamma( \mathbf {d} _{1}, \mathbf {d} _{2})=2 \mathbf {E} \mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2} $$
Il coefficiente di variazione volumetrica nel punto\({\boldsymbol {p}} \)è invece dato da
$$ \frac{\delta V}{V}= \operatorname {tr} \mathbf {E} = \mathrm {Div\,} \mathbf {u} $$

Indicando con \(E_{hk}= \mathbf {i} _{h}\cdot \mathbf {E} \mathbf {i} _{k}\) le componenti di \(\mathbf {E} \) rispetto a una terna \(\mathbf {i} _{h}\) possiamo darne una interpretazione meccanica, alla luce dei risultati appena enunciati.

Proposizione 1.10

La matrice delle componenti cartesiane del tensore di deformazione infinitesima\(\mathbf {E} \)può essere scritta come
$$ \mathbf {E} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{1} & \gamma_{12}/2 & \gamma_{13}/2 \\ \gamma_{12}/2 & \varepsilon_{2} & \gamma_{23}/2 \\ \gamma_{13}/2 & \gamma_{23}/2 & \varepsilon_{3} \\ \end{bmatrix} $$
dove\(\varepsilon_{h}=\varepsilon( \mathbf {i} _{h})\)sono le deformazioni longitudinali nelle direzioni dei versori\(\mathbf {i} _{h}\), mentre\(\gamma_{hk}=\gamma( \mathbf {i} _{h}, \mathbf {i} _{k})\)sono gli angoli di scorrimento che corrispondono alle coppie di versori\(\mathbf {i} _{h}\)e\(\mathbf {i} _{k}\) (\(h\ne k\)). Il coefficiente di variazione volumetrica è infine dato da
$$ \frac{\delta V}{V}=\varepsilon_{1} + \varepsilon_{2} + \varepsilon_{3} $$

Una ultima proprietà è legata alla possibilità di diagonalizzare la matrice delle componenti di \(\mathbf {E} \) utilizzando una terna di riferimento \(\bar{ \mathbf {e} }_{i}\) formata da autovettori fra loro ortonormali.

In questo modo si vede che la matrice, riferita a questi particolari versori, prende la forma
$$ \mathbf {E} = \begin{bmatrix} \bar{\varepsilon}_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \bar{\varepsilon}_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \bar{\varepsilon}_{3} \\ \end{bmatrix} $$
Ciò significa che filamenti di corpo che escono da \({\boldsymbol {p}} \) secondo le direzioni degli autospazi di \(\mathbf {E} \) non presentano scorrimenti, mentre subiscono deformazioni longitudinali pari agli autovalori \(\bar{\varepsilon}_{i}\) di \(\mathbf {E} \). Le direzioni degli autospazi di \(\mathbf {E} \) sono dette direzioni principali di deformazione, mentre gli autovalori sono conosciuti come deformazioni principali.

1.8 Esercizi e complementi

1.1

(Invertibilità globale)

Si studi la deformazione piana
$$ \left\{ \begin{aligned} x &= \cosh X \cos Y \\ y &= \sinh X \sin Y \end{aligned} \right. $$
Discutere la differenza tra invertibilità locale e globale esaminando come si deforma il rettangolo \([a,b]\times[0,h]\) con \(a,b,h>0\) al variare di \(h\).

(In questo e nei prossimi esercizi, tranne per gli esercizi 1.5 e 1.13, le deformazioni sono piane e si sottintende che \(z=Z\).)

Svolgimento

Facendo riferimento alla Fig. 1.13 i punti con \(X=X_{0}\) costante si dispongono sulle ellissi
$$ \frac{x^{2}}{\cosh^{2} X_{0}}+\frac{y^{2}}{\sinh^{2} X_{0}}=1 $$
mentre i punti con \(Y=Y_{0}\) costante si dispongono sulle iperboli
$$ \frac{x^{2}}{\cos^{2} Y_{0}}-\frac{y^{2}}{\sin^{2} Y_{0}}=1 $$
Notiamo che
$$ \mathbf {F} = \begin{bmatrix} \sinh X \cos Y\; & -\cosh X \sin Y \\ \cosh X \sin Y\; & \sinh X \cos Y \\ \end{bmatrix} $$
e quindi
$$ J=\sinh^{2} X \cos^{2} Y+\cosh^{2} X \sin^{2} Y =\sinh^{2} X + \sin^{2} Y\ge 0 $$
con \(J=0\) solo se i punti \((0, k\pi)\), con \(k\) intero, sono inclusi nel corpo che si deforma. Quindi, in particolare, se il corpo non contiene l’asse \(Y\) la deformazione finita è localmente invertibile.
Fig. 1.13

A sinistra il corpo, un rettangolo, nella configurazione di riferimento \([a,b]\times[0,h]\). Sopra \(h<2\pi\), sotto \(h>2\pi\). A destra, accanto a ciascun rettangolo, il corpo dopo la deformazione dell’Esercizio 1.13: \((x,y) = (\cosh X \cos Y,\, \sinh X \sin Y)\). La deformazione in alto è invertibile globalmente, mentre quella in basso no

Affinché sia verificata l’invertibilità globale è necessario poter invertire la deformazione. Si osserva subito che se si considerano i punti di una retta \(X= \text{cost.} \), questi si trasformano in punti diversi solo in un intervallo di periodicità delle funzioni trigonometriche. Quindi, ad esempio, con riferimento alla Fig. 1.13, la trasformazione è globalmente invertibile se \(0\le Y\le\alpha\) con \(\alpha<2\pi\). Infatti se \(\alpha \ge 2\pi\), la parte del continuo con \(Y=\alpha\) si va a sovrapporre a quella con \(Y=\alpha-2\pi\), così come tutta la regione con \(Y\ge 2\pi\).

1.2

(Invertibilità locale)

Studiare l’invertibilità locale della deformazione piana
$$ \left\{ \begin{aligned} x&=X+ \alpha X Y^{2} \\ y&= Y + \alpha X^{2} Y \end{aligned} \right. $$
(1.64)
identificando le aree critiche. Rappresentare graficamente cosa succede per un rettangolo ed un cerchio che non toccano quest’area e per un rettangolo e un cerchio che sconfinano in quelle aree a determinante negativo.

Svolgimento

Il gradiente di deformazione è dato da
$$ \mathbf {F} = \begin{bmatrix} 1 +\alpha Y^{2}& 2\alpha XY \\ 2\alpha XY & 1+\alpha X^{2} \end{bmatrix} $$
Si osservi che
$$ \det \mathbf {F} =1+\alpha\bigl(X^{2}+Y^{2}\bigr)-3 \alpha^{2}X^{2}Y^{2} $$
il cui segno non è determinato. In particolare, si annulla per
$$ Y^{2}=\frac{1+\alpha X^{2}}{\alpha(3\alpha X^{2}-1)} $$
(1.65)
Quindi perché 1.2 sia la deformazione di un continuo, la regione occupata dal corpo non deve intersecare la curva data da (1.65) e tratteggiata in Fig. 1.14.
Fig. 1.14

Deformazione di un quadrato secondo (1.64) per \(\alpha=0.5\) (sopra) e \(\alpha=1.5\) (sotto)

Per esempio, se si considera il quadrato di lato unitario, allora \(\det \mathbf {F} >0\) per \(\alpha\in (-\,1/3,1 )\). Quindi, se \(\alpha=1/2\) come in Fig. 1.14, il dominio in cui \({\det \mathbf {F} >0}\) include completamente il corpo. Mentre invece per \(\alpha=1.5\) una parte del corpo si trova nella regione in cui \(\det \mathbf {F} <0\) ed in particolare laddove la curva interseca il corpo la deformazione non è invertibile e tutti i punti della curva collassano in un punto.

1.3

(Decomposizione polare)

Si applichi il teorema di decomposizione polare al gradiente di deformazione
$$ \mathbf {F} = \begin{bmatrix} 0 & -1/\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix} $$
dando un significato fisico ai vari termini.

Svolgimento

Si tratta di una trasformazione isocora poiché \(\det \mathbf {F} =1\). Consegue dalla decomposizione polare \(\mathbf {F} = \mathbf {R} \mathbf {U} = \mathbf {V} \mathbf {R} \) che \(\det \mathbf {F} =\det \mathbf {U} =\det \mathbf {V} =1\). È possibile calcolare facilmente il tensore di Cauchy-Green sinistro \(\mathbf {B} \) ed il tensore di Cauchy-Green destro \(\mathbf {C} \)
$$ \mathbf {B} = \mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}= \begin{bmatrix} 1/\alpha^{2} & 0 \\ 0 & \alpha^{2} \end{bmatrix} \qquad \mathbf {C} = \mathbf {F} ^{T} \mathbf {F} = \begin{bmatrix} \alpha^{2} & 0 \\ 0 & 1/\alpha^{2} \end{bmatrix} $$
Dal teorema di decomposizione polare risulta \(\mathbf {C} = \mathbf {U} ^{2}\) e \(\mathbf {B} = \mathbf {V} ^{2}\). Essendo in questo caso entrambi i tensori di Cauchy-Green diagonali è semplice il calcolo di \(\mathbf {U} \) e \(\mathbf {V} \)
$$ \mathbf {U} = \sqrt{ \mathbf {C} } = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & 1/\alpha \end{bmatrix} $$
$$ \mathbf {V} = \sqrt{ \mathbf {B} } = \begin{bmatrix} 1/\alpha & 0 \\ 0 & \alpha \end{bmatrix} $$
A questo punto possiamo calcolare \(\mathbf {R} \)
$$ \mathbf {R} = \mathbf {F} \mathbf {U} ^{-1}= \begin{bmatrix} 0 & -1/\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/\alpha & 0 \\ 0 & \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$
Il tensore \(\mathbf {R} \) rappresenta una rotazione di \(\pi/2\) del piano, infatti l’uguaglianza
$$ \mathbf {R} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} $$
è verificata da \(\theta= \pi/2\).
Verifichiamo la validità di \(\mathbf {F} = \mathbf {V} \mathbf {R} \):
$$ \mathbf {V} \mathbf {R} = \begin{bmatrix} 1/\alpha & 0 \\ 0 & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1/\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix} = \mathbf {F} $$
Osserviamo inoltre che \(\mathbf {F} = \mathbf {R} \mathbf {U} \neq \mathbf {U} \mathbf {R} \). Nella Figura 1.15 sono mostrate le deformazioni \(\mathbf {R} \mathbf {U} \), \(\mathbf {V} \mathbf {R} \) e \(\mathbf {U} \mathbf {R} \). Le prime due corrispondono ad \(\mathbf {F} \), mentre l’ultima no.
Fig. 1.15

Decomposizione polare per l’Esercizio 1.3

1.4

(Decomposizione polare)

Si applichi il teorema di decomposizione polare al gradiente di deformazione
$$ \mathbf {F} = \begin{bmatrix} \sqrt{2} & -\frac{1}{2 \sqrt{2}} \\ \sqrt{2} & \frac{1}{2 \sqrt{2}} \end{bmatrix} $$

Svolgimento

Anche in questo caso si tratta di una deformazione isocora, perché \(\det \mathbf {F} =1\). Calcoliamo il tensore di Cauchy-Green sinistro \(\mathbf {B} \) ed il tensore di Cauchy-Green destro \(\mathbf {C} \)
$$ \mathbf {B} = \mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}= \begin{bmatrix} \frac{17}{8} & \frac{15}{8} \\ \frac{15}{8}& \frac{17}{8} \end{bmatrix} \qquad \mathbf {C} = \mathbf {F} ^{T} \mathbf {F} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix} $$
Essendo \(\mathbf {C} \) diagonale è immediato in questo caso ottenere
$$ \mathbf {U} = \sqrt{ \mathbf {C} }= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $$
Il teorema di decomposizione polare infine dà
$$ \mathbf {R} = \mathbf {F} \mathbf {U} ^{-1}= \begin{bmatrix} \sqrt{2} & -\frac{1}{2 \sqrt{2}} \\ \sqrt{2} & \frac{1}{2 \sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} $$
che corrisponde ad una rotazione di \(\pi/4\) infatti l’uguaglianza
$$ \mathbf {R} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} $$
è verificata da \(\theta= \pi/4\). In Figura 1.16 è mostrato graficamente il risultato.
Fig. 1.16

Decomposizione polare per l’Esercizio 1.4

A questo punto, il tensore \(\mathbf {V} \) può essere calcolato attraverso l’identità \(\mathbf {V} = \mathbf {R} \mathbf {U} \mathbf {R} ^{T}\).
$$ \mathbf {V} = \mathbf {R} \mathbf {U} \mathbf {R} ^{T}= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{3}{4}& \frac{5}{4} \end{bmatrix} $$
(1.66)
È facile verificare che \(\mathbf {F} = \mathbf {R} \mathbf {V} \).
A titolo di esempio calcoliamo \(\mathbf {V} \) come radice quadrata di \(\mathbf {B} \). Non essendo \(\mathbf {B} \) diagonale il calcolo di \(\mathbf {V} =\sqrt{ \mathbf {B} }\) risulta abbastanza laborioso. Innanzitutto è necessario calcolare gli autovalori di \(\mathbf {B} \) risolvendo l’equazione
$$ \det \begin{bmatrix} \frac{17}{8} -\lambda & \frac{15}{8} \\ \frac{15}{8} & \frac{17}{8}-\lambda \end{bmatrix} = \biggl( \frac{17}{8}-\lambda \biggr)^{2}- \biggl(\frac{15}{8} \biggr)^{2} = 0 $$
ottenendo così gli stessi autovalori di \(\mathbf {C} \), come ci si attendeva,
$$ \lambda_{1} = 4, \quad \lambda_{2} = \frac{1}{4} $$
Risolvendo le equazioni vettoriali
$$ \mathbf {B} \mathbf {v} _{1}=\lambda_{1} \mathbf {v} _{1} \quad \mathbf {B} \mathbf {v} _{2}=\lambda_{2} \mathbf {v} _{2} $$
si determinano gli autovettori di \(\mathbf {B} \) corrispondenti agli autovalori \(\lambda_{i}\)
$$ \mathbf {v} _{1} = (1,1) \quad \mathbf {v} _{2} = (-1,1) $$
Questo risultato era atteso. Infatti, essendo \(\mathbf {U} \) diagonale, i suoi autovettori sono \(\mathbf {e} _{1}=(1,0)\) ed \(\mathbf {e} _{2}=(0,1)\). Gli autovettori \(\mathbf {v} _{1}\) e \(\mathbf {v} _{2}\) di \(\mathbf {B} \), che coincidono con quelli di \(\mathbf {V} \), sono rispettivamente proporzionali a \(\mathbf {R} \mathbf {e} _{1}\) e \(\mathbf {R} \mathbf {e} _{2}\). La matrice ortogonale che diagonalizza \(\mathbf {B} \) è quindi
$$ \mathbf {Q} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \mathbf {R} ^{T} $$
Allora, nella base degli autovettori, \(\mathbf {V} \) avrà le radici degli autovalori di \(\mathbf {B} \) sulla diagonale. Per calcolare la matrice delle componenti di \(\mathbf {V} \) nella base di partenza bisogna quindi calcolare
$$ \mathbf {V} = \mathbf {Q} ^{T} \mathbf {V} ' \mathbf {Q} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} & \frac{5}{4} \end{bmatrix} $$
Si osservi che il risultato coincide con il calcolo di \(\mathbf {V} \) come \(\mathbf {R} \mathbf {U} \mathbf {R} ^{T}\) svolto nella (1.66).

1.5

(Estensione semplice)

Si studi al variare dei parametri la deformazione finita
$$ \left\{ \begin{aligned} x&=\alpha X \\ y&=\beta Y \\ z&=\gamma Z \end{aligned} \right. $$
con \(\alpha\), \(\beta\) e \(\gamma>0\), che rappresenta una cosiddetta estensione semplice.

Svolgimento

Facendo riferimento alla Fig. 1.17, se \(\alpha=\beta=\gamma\) una sfera si deforma in una sfera, altrimenti si deforma in un ellissoide.
Fig. 1.17

Estensione semplice di una sfera per \(\alpha=0.7\), \(\beta=1.5\) e \(\gamma=2\)

Il gradiente di deformazione è
$$ \mathbf {F} = \begin{bmatrix} \alpha & 0 & 0 \\ 0 & \beta &0 \\ 0 & 0 & \gamma \\ \end{bmatrix} $$
mentre lo Jacobiano è dato da
$$ J=\det \mathbf {F} = \alpha \beta\gamma $$
e rappresenta proprio il rapporto tra il volume dell’ellissoide e quello della sfera di partenza.

Nel caso particolare \(\alpha\beta\gamma=1\) risulta \(\det \mathbf {F} =1\) la deformazione conserva il volume ed è perciò isocora.

Calcoliamo il tensore di Cauchy-Green sinistro \(\mathbf {B} \) ed il tensore di Cauchy-Green destro \(\mathbf {C} \)
$$ \mathbf {B} = \mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}= \mathbf {F} ^{T} \mathbf {F} = \mathbf {C} = \begin{bmatrix} \alpha^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \beta^{2} &0 \\ 0 & 0 & \gamma^{2} \\ \end{bmatrix} $$
quindi \(\mathbf {B} = \mathbf {C} \) sono tensori diagonali rispetto alla base \(( \mathbf {i} _{1}, \mathbf {i} _{2}, \mathbf {i} _{3})\), per cui gli stiramenti principali sono lungo gli assi coordinati.

1.6

(Scorrimento piano)

Per la seguente deformazione piana
$$ \left\{ \begin{aligned} x&=X+ \alpha Y \\ y&= Y + \beta X \end{aligned} \right. \qquad \alpha,\beta>0 $$
(1.67)
nota come plane shear o scorrimento piano, si determinino le condizioni di invertibilità e le direzioni di massimo stiramento quando \(\alpha=\beta\).

Svolgimento

In questo caso il gradiente di deformazione è dato da
$$ \mathbf {F} = \begin{bmatrix} 1 & \alpha\\ \beta & 1 \end{bmatrix} $$
Si osservi innanzitutto che \(\det \mathbf {F} = 1- \alpha \beta\), per cui se \(\alpha\beta=1\) il determinante si annulla. Questo corrisponde al fatto che il quadrato si è schiacciato nella linea \(y=x/\alpha\). Anche per \(\alpha\beta>1\) la (1.67) non rappresenta una deformazione in quanto \(\det \mathbf {F} <0\). In questo caso c’è stato un ribaltamento, per esempio con il lato inferiore del quadrato che si è deformato nel lato superiore del rombo, come rappresentato in Fig. 1.18.
Fig. 1.18

Scorrimento piano di un quadrato e di un cerchio. Sopra \(\alpha\beta<1\), centro \(\alpha\beta=1\), sotto \(\alpha\beta>1\). Si osservi che per \(\alpha\beta=1\) il determinante di \(\mathbf {F} \) si annulla e i due corpi si schiacciano in un segmento, mentre per \(\alpha\beta>1\) il determinante è negativo e i due corpi subiscono un’inversione come mostra la posizione nella configurazione deformata dei lati in grassetto del quadrato e l’orientamento della freccia sul cerchio

La deformazione è isocora quando \(J=1\), ossia solo se \(\alpha \beta =0\). A parte il caso banale di assenza di deformazione \(\alpha,\beta=0\), i casi in cui o \(\alpha\) o \(\beta\) si annullano riducono la deformazione a quello che si chiama simple shear o scorrimento semplice, che sarà studiata all’Esercizio 1.8.

Calcoliamo il tensore di Cauchy-Green sinistro \(\mathbf {B} \) ed il tensore di Cauchy-Green destro \(\mathbf {C} \). Essendo
$$ \mathbf {F} ^{T}= \begin{bmatrix} 1 & \beta \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} $$
si ottiene
$$ \mathbf {B} = \mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}= \begin{bmatrix} 1 + \alpha^{2} & \alpha+\beta \\ \alpha+\beta & 1+\beta^{2} \end{bmatrix} \qquad \mathbf {C} = \mathbf {F} ^{T} \mathbf {F} = \begin{bmatrix} 1 + \beta^{2} & \alpha+\beta \\ \alpha+\beta & 1+\alpha^{2} \end{bmatrix} $$
Se \(\alpha=\beta\)
$$ \mathbf {B} = \mathbf {C} = \begin{bmatrix} 1 + \alpha^{2} & 2\alpha \\ 2\alpha & 1+\alpha^{2} \end{bmatrix} $$
i cui autovalori sono \(\lambda=(1\pm\alpha)^{2}\). Gli autovettori unitari sono
$$ \hat{ \mathbf {u} }= (1/\sqrt{2},\,\pm1/\sqrt{2} ) $$
ed identificano le direzioni principali di stiramento. In particolare, per \(\alpha>0\) la direzione di massimo stiramento è lungo la bisettrice del primo e terzo quadrante.

Nel caso \(\alpha=\beta\), osserviamo che, essendo il gradiente di deformazione \(\mathbf {F} \) già simmetrico, \(\mathbf {F} = \mathbf {U} \), quindi \(\mathbf {R} = \mathbf {I} \). Possiamo concludere che la deformazione corrisponde ad un’estensione semplice come nell’Esercizio 1.5, ma stavolta lungo le bisettrici dei quadranti.

1.7

(Scorrimento piano isocoro)

Si determini e si studi una deformazione di scorrimento piano isocoro simmetrico (ossia con \(\alpha=\beta\)). Calcolare il tensore di Green-Saint Venant e di Almansi.

Svolgimento

Il determinante della deformazione di scorrimento piano dell’esercizio precedente è \(1-\alpha^{2}\) per cui una trasformazione isocora si ottiene dal caso precedente dividendo tutti gli elementi di \(\mathbf {F} \) per \(\sqrt{1-\alpha^{2}}\) (per \(|\alpha|<1\)). La deformazione è quindi
$$ \left\{ \begin{aligned} &x=\dfrac{X+ \alpha Y}{\sqrt{1-\alpha^{2}}} \\ &y=\dfrac{Y+ \alpha X}{\sqrt{1-\alpha^{2}}} \end{aligned} \right. $$
Il gradiente di deformazione è
$$ \mathbf {F} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-\alpha^{2}}} & \frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}}\\ \frac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}} & \frac{1}{\sqrt{1-\alpha^{2}}} \end{bmatrix} $$
e
$$ \mathbf {B} = \mathbf {C} = \begin{bmatrix} \frac{1+\alpha^{2}}{1-\alpha^{2}} & \frac{2\alpha}{1-\alpha^{2}} \\ \frac{2\alpha}{1-\alpha^{2}} & \frac{1+\alpha^{2}}{1-\alpha^{2}} \end{bmatrix} $$
Le direzioni principali di stiramento sono ancora le bisettrici dei quadranti del piano, ma gli autovalori sono
$$ \lambda=\dfrac{1\pm\alpha}{1\mp\alpha} $$
in particolare il massimo stiramento è
$$ \delta_{max}=\sqrt{\dfrac{1+|\alpha|}{1-|\alpha|}} $$
Calcoliamo il tensore di Green-Saint Venant
$$ \mathbf {G} =\frac{1}{2} ( \mathbf {C} - \mathbf {I} )= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \frac{1+\alpha^{2}}{1-\alpha^{2}}-1 & \frac{2\alpha}{1-\alpha^{2}} \\ \frac{2\alpha}{1-\alpha^{2}} & \frac{1+\alpha^{2}}{1-\alpha^{2}}-1 \end{bmatrix} = \frac{\alpha}{1-\alpha^{2}} \begin{bmatrix} \alpha & 1 \\ 1 & \alpha \end{bmatrix} $$
e il tensore di Almansi
$$ \mathbf {A} =\frac{1}{2} \bigl( \mathbf {I} - \mathbf {B} ^{-1} \bigr)= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1- \frac{1+\alpha^{2}}{1-\alpha^{2}} & \frac{2\alpha}{1-\alpha^{2}} \\ \frac{2\alpha}{1-\alpha^{2}} & 1-\frac{1+\alpha^{2}}{1-\alpha^{2}} \end{bmatrix} = \frac{\alpha}{1-\alpha^{2}} \begin{bmatrix} -\alpha & 1 \\ 1 & -\alpha \end{bmatrix} $$

1.8

(Scorrimento semplice)

Calcolare per la deformazione nota come simple shear o scorrimento semplice
$$ \left\{ \begin{aligned} x&=X+ \alpha Y \\ y&= Y \end{aligned} \right. $$
lo stiramento nelle varie direzioni e determinare la direzione di massimo stiramento, osservando se essa coincide con la diagonale del parallelogramma in cui si deforma un quadrato.

Svolgimento

La deformazione rappresentata in Fig. 1.19 per un quadrato e per un cerchio ha come gradiente di deformazione
$$ \mathbf {F} = \begin{bmatrix} 1\ &\ \alpha \\ 0\ &\ 1 \end{bmatrix} $$
e poiché \(\det \mathbf {F} =1\) allora la deformazione è isocora per ogni valore di \(\alpha\).
Fig. 1.19

Deformazione per scorrimento semplice (\(\alpha=0.5\)) di un quadrato (sopra) e di un cerchio (sotto). La linea tratteggiata indica la direzione di massimo stiramento nel quadrato di riferimento

Inoltre il tensore sinistro \(\mathbf {B} \) ed il tensore destro \(\mathbf {C} \) di Cauchy-Green
$$ \mathbf {B} = \mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}= \begin{bmatrix} 1+\alpha^{2} & \alpha \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} \qquad \mathbf {C} = \mathbf {F} ^{T} \mathbf {F} = \begin{bmatrix} 1 & \alpha \\ \alpha & 1+\alpha^{2} \end{bmatrix} $$
sono indipendenti dal punto del continuo.
Calcoliamo l’angolo di scorrimento \(\gamma\) dei versori della base \(\mathbf {i} _{1}\) e \(\mathbf {i} _{2}\) da
$$ \sin\gamma= \frac{ \mathbf {F} \mathbf {i} _{1}\cdot \mathbf {F} \mathbf {i} _{2}}{| \mathbf {F} \mathbf {i} _{1}| | \mathbf {F} \mathbf {i} _{2}|}= \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+1}} $$
(1.68)
Osserviamo che lo scorrimento non dipende da \(\mathbf {X} \) e per \(\alpha\) piccolo \(\sin \gamma=\alpha\). L’angolo di scorrimento \(\gamma\) è rappresentato in Fig. 1.19.
I quadrati del massimo e del minimo stiramento coincidono con gli autovalori di \(\mathbf {C} \), che sono
$$ \lambda=1+\dfrac{\alpha^{2}}{2}\pm\dfrac{\alpha}{2}\sqrt{\alpha^{2}+4} $$
I corrispondenti autovettori determinano le direzioni di stiramento critico nella configurazione di riferimento
$$ \mathbf {u} = \biggl(1,\dfrac{\alpha\pm\sqrt{\alpha^{2}+4}}{2} \biggr) $$
(1.69)
Lo stiramento \(\delta ( \mathbf {d} )\) nella direzione generica \(\mathbf {d} =(\cos\theta, \sin\theta)\) è
$$ \delta( \mathbf {d} )=| \mathbf {F} \mathbf {d} |=\sqrt{(\cos\theta+\alpha\sin \theta)^{2}+\sin^{2}\theta}= \sqrt{1+\alpha\sin 2\theta+ \alpha^{2}\sin^{2}\theta} $$
per cui la direzione di stiramento critico è data da
$$ \dfrac{\partial \delta^{2}( \mathbf {d} )}{\partial \theta}= 2\alpha\cos 2\theta+\alpha^{2} \sin 2\theta=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \theta=-\, \dfrac{1}{2}\arctan \dfrac{2}{\alpha}+k\dfrac{\pi}{2} $$
Quindi \(\theta=-\,[\arctan(2/\alpha)]/2\) è la direzione di minimo stiramento e \(\theta=[\pi-\,\arctan(2/\alpha)]/2\) quella di massimo stiramento. Qualche calcolo trigonometrico mostra l’equivalenza di queste direzioni con quelle identificate in (1.69).

Osserviamo che solo nel caso banale \(\alpha=0\) le direzioni principali coincidono con la diagonale del quadrato che si deforma nella diagonale del parallelogramma. La pendenza della direzione di massimo stiramento aumenta con \(\alpha\) a partire da un’inclinazione di 45 rispetto all’asse delle \(x\). Nella Fig. 1.19 la linea tratteggiata rappresenta la direzione di massimo stiramento del quadrato.

1.9

(Scorrimento non omogeneo isocoro)

Si studi la seguente deformazione finita
$$ \left\{ \begin{aligned} x&=X+ \alpha Y^{2} \\ y&= Y \end{aligned} \right. $$
facendo anche riferimento alla Fig. 1.20.
Fig. 1.20

In alto la configurazione di riferimento di un quadrato di lato \(L\) (a sinistra) e di un cerchio di raggio \(R\) (a destra). Al centro, i due corpi hanno subito la deformazione non omogenea isocora dell’Esercizio 1.9: \((x,y)=(X+ \alpha Y^{2}, Y)\), con \(\alpha L=1\) e \(\alpha R=1\) rispettivamente. In basso, i due corpi hanno subito la deformazione non omogenea non isocora dell’Esercizio 1.10: \((x, y)= (X+ \alpha X Y^{2}, Y)\), con \(\alpha L^{2}=1\) e \(\alpha R^{2}=1\)

Svolgimento

Si tratta di una deformazione non omogenea, il cui il gradiente di deformazione è
$$ \mathbf {F} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \alpha Y \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$
Poiché \(\det \mathbf {F} = 1\), anche questa deformazione, come lo scorrimento semplice dell’esercizio precedente, è isocora.
Il tensore di Cauchy-Green sinistro \(\mathbf {B} \) ed il tensore di Cauchy-Green destro \(\mathbf {C} \) sono
$$ \mathbf {B} = \mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}= \begin{bmatrix} 1+4 \alpha^{2}Y^{2} & 2 \alpha Y\\ 2 \alpha Y& 1 \end{bmatrix} \qquad \mathbf {C} = \mathbf {F} ^{T} \mathbf {F} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \alpha Y\\ 2 \alpha Y& 1+ 4 \alpha^{2}Y^{2} \end{bmatrix} $$
Osserviamo che \(\mathbf {B} \) e \(\mathbf {C} \), contrariamente all’esempio precedente, dipendono dal punto del corpo, di conseguenza dipendono dal punto anche gli stiramenti, gli angoli di scorrimento, le direzioni principali di stiramento. Per esempio, lo stiramento lungo l’asse delle \(x\) è omogeneo, mentre quello lungo l’asse delle \(y\), che è \(\sqrt{1+4\alpha^{2}Y^{2}}\), dipende da \(Y\). Allo stesso modo l’angolo di scorrimento \(\gamma\) dei versori della base \(\mathbf {i} _{1}\) e \(\mathbf {i} _{2}\) è dato da
$$ \sin\gamma= \frac{ \mathbf {F} \mathbf {i} _{1}\cdot \mathbf {F} \mathbf {i} _{2}}{| \mathbf {F} \mathbf {i} _{1}| | \mathbf {F} \mathbf {i} _{2}|}= \frac{2\alpha Y}{\sqrt{4\alpha^{2}Y^{2}+1}} $$
Osserviamo che \(\sin\gamma\) dipende dal punto, quindi l’angolo di scorrimento \(\gamma\) non è costante e nei punti dell’asse \(Y=0\) non c’è scorrimento.

1.10

(Scorrimento non omogeneo non isocoro)

Si studi la deformazione finita
$$ \left\{ \begin{aligned} x&=X+ \alpha X Y^{2} \\ y&= Y \end{aligned} \right. $$
(1.70)
facendo anche riferimento alla Figura 1.20.

Svolgimento

In questo caso si ha
$$ \mathbf {F} = \begin{bmatrix} 1+\alpha Y^{2} & 2 \alpha XY \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$
per cui \(\det \mathbf {F} = 1+\alpha Y^{2}\). Quindi, tranne il caso banale \(\alpha=0\), la deformazione non è isocora.
Inoltre il tensore di Cauchy-Green sinistro \(\mathbf {B} \) ed il tensore di Cauchy-Green destro \(\mathbf {C} \) sono
$$ \begin{aligned} & \mathbf {B} = \mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}= \begin{bmatrix} 4\alpha^{2} X^{2} Y^{2}+(1+\alpha Y^{2})^{2} & 2\alpha XY \\ 2\alpha XY & 1 \end{bmatrix} \\ & \mathbf {C} = \mathbf {F} ^{T} \mathbf {F} = \begin{bmatrix} (1+\alpha Y^{2})^{2} & 2\alpha XY (1+\alpha Y^{2}) \\ 2\alpha XY (1+\alpha Y^{2})& 1+4\alpha^{2} X^{2}Y^{2} \end{bmatrix} \end{aligned} $$
Calcoliamo l’angolo di scorrimento \(\gamma\) dei versori della base \(\mathbf {i} _{1}\) e \(\mathbf {i} _{2}\)
$$ \sin\gamma= \frac{ \mathbf {F} \mathbf {i} _{1}\cdot \mathbf {F} \mathbf {i} _{2}}{| \mathbf {F} \mathbf {i} _{1}| | \mathbf {F} \mathbf {i} _{2}|}= \frac{2\alpha X Y}{\sqrt{4\alpha^{2}X^{2} Y^{2}+1}} $$
osserviamo che lo scorrimento dipende dal punto e l’angolo di scorrimento risulta nullo nei punti degli assi \(X=0\) e \(Y=0\).

1.11

(Calcolo del volume e dell’area)

Un cubo di lato unitario \([0,\,1]\times [0,\,1] \times[0,\,1]\) nella configurazione di riferimento \(\mathcal{B}_{\ast}\) subisce in ogni piano con la normale lungo l’asse \(\mathbf{i}_{3}\) uno scorrimento non omogeneo e non isocoro descritto da (1.70). Calcolare il volume di ℬ e l’area della faccia \(X=1\) dopo la deformazione.

Svolgimento

L’elemento infinitesimo di volume \(dV_{ {\boldsymbol {p}} }\) nella configurazione di riferimento e il corrispondente elemento di volume \(dV_{ {\boldsymbol {x}} }\) nella configurazione deformata sono legati da
$$ dV_{ {\boldsymbol {x}} }=\det \mathbf {F} \, dV_{ {\boldsymbol {p}} } $$
per una parte di corpo \(\mathcal{P}\) il legame si traduce in forma globale in
$$ \int_{\mathcal{P}}dV_{ {\boldsymbol {x}} }= \int_{\mathcal{P}_{\ast}}\det \mathbf {F} \, dV_{ {\boldsymbol {p}} } $$
Calcoliamo il determinante di \(\mathbf {F} \)
$$ \det \mathbf {F} =1+\alpha Y^{2} $$
il volume del cubo \(\mathcal{C}\) dopo la deformazione è quindi, in unità di volume,
$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\bigl(1+\alpha Y^{2}\bigr) dX dY dZ=1+\frac{\alpha}{3} $$
Dunque nella deformazione il corpo ha incrementato il suo volume di
$$ \Delta V= \frac{\alpha}{3} $$
unità di volume.
Indicando con \(\mathbf {n} _{\ast}\) la normale ad una superficie di area infinitesima \(dA_{ {\boldsymbol {p}} }\) e \(\mathbf {n} \) la normale al corrispondente elemento di area \(dA_{ {\boldsymbol {x}} }\) nella configurazione deformata, risulta
$$ \mathbf {n} dA_{ {\boldsymbol {x}} }=(\det \mathbf {F} ) \mathbf {F} ^{-T} \mathbf {n} _{\ast} dA_{ {\boldsymbol {p}} } $$
Passando ai moduli troviamo il legame tra gli elementi di area infinitesimi corrispondenti nella deformazione
$$ dA_{ {\boldsymbol {x}} }=(\det \mathbf {F} ) | \mathbf {F} ^{-T} \mathbf {n} _{\ast}| dA_{ {\boldsymbol {p}} } $$
In forma globale, per una superficie \(\mathcal{S}\) il legame si traduce in
$$ \int_{\mathcal{S}}dA_{ {\boldsymbol {x}} }= \int_{\mathcal{S}_{\ast}}(\det \mathbf {F} ) | \mathbf {F} ^{-T} \mathbf {n} _{\ast}| dA_{ {\boldsymbol {p}} } $$
(1.71)
Dobbiamo calcolare l’area dopo la deformazione della faccia \(\mathcal{F}_{\ast}\) del cubo di normale uscente \(\mathbf {i} _{1}\). Calcoliamo quindi \(\mathbf {F} ^{-T}\)
$$ \mathbf {F} ^{-T}= \begin{bmatrix} \frac{1}{1+\alpha Y^{2}} & 0 & 0 \\ -\frac{2\alpha XY}{1+\alpha Y^{2}}& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$
e la funzione integranda di (1.71)
$$ \det \mathbf {F} \, \bigl\vert \mathbf {F} ^{-T} \mathbf {i} _{1} \bigr\vert = \bigl(1+\alpha Y^{2}\bigr) \biggl\vert \frac{1}{1+\alpha Y^{2}} \mathbf {i} _{1} -\frac{2\alpha XY}{1+\alpha Y^{2}} \mathbf {i} _{2} \biggr\vert =\sqrt{1+4 \alpha^{2} X^{2}Y^{2}} $$
In definitiva l’area della faccia di equazione \(X=1\), dopo la deformazione, risulta
$$ \begin{aligned} \int_{\mathcal{F}}dA_{ {\boldsymbol {x}} }&= \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \sqrt{1+4\alpha^{2} Y^{2}}dY dZ= \int_{0}^{1} \sqrt{1+4\alpha^{2} Y^{2}}dY \\ &= \frac{1}{4\alpha} \bigl[2\alpha\sqrt{1+4\alpha^{2}}+\log \bigl( \sqrt{1+4\alpha^{2}}+ 2\alpha \bigr) \bigr] \end{aligned} $$

1.12

(Determinazione di una deformazione)

Determinare una deformazione isocora piana \({\boldsymbol {x}} =\boldsymbol{\chi}({ \boldsymbol {X} })\) che trasformi le linee \(X= K\) (con \(K\) costante non nulla) in parabole con asse di simmetria la retta \(y=0\), che conservi il parallelismo delle linee \(Y=H\) mantenendo fissa la linea \(Y=0\), che trasformi l’asse \(X=0\) in \(x=0\) e che sia simmetrica rispetto a tale asse.

Svolgimento

Cerchiamo una deformazione piana
$$ \left\{ \begin{aligned} x&=x(X,Y) \\ y&=y(X,Y) \end{aligned} \right. $$
La richiesta che la deformazione trasformi le linee parallele all’asse \(X\) in rette parallele all’asse, lasciando fisso l’asse \(Y=0\), impone che la derivata prima di \(y(X,H)\), con \(H\) costante, sia nulla per ogni \(X\), cioè
$$ \frac{\partial y}{\partial X}=0 $$
in ogni punto. Possiamo quindi concludere che \(y=y(Y)\), con \(y(0)=0\) per la condizione che l’asse \(Y=0\) rimanga fisso.
Si richiede che la deformazione trasformi la retta \(X=K\) in una parabola con asse di simmetria \(y=0\). L’equazione di tale parabola è
$$ x(K,Y)=a(K) y^{2}(Y)+b(K) $$
Poiché per ipotesi l’asse \(Y=0\) viene lasciato fisso dalla deformazione
$$ x(K,0)=b(K)=K $$
In definitiva
$$ \left\{ \begin{aligned} x&=a(X)y^{2}(Y)+X \\ y&=y(Y) \end{aligned} \right. $$
(1.72)
Poiché la deformazione deve essere simmetrica rispetto all’asse \(y\)
$$ x(X,Y)=-x(-X,Y) $$
da cui ricaviamo la condizione
$$ a(X)=-a(-X) $$
(1.73)
Calcoliamo il gradiente di deformazione
$$ \mathbf {F} = \begin{bmatrix} a'(X)y^{2}(Y)+1 & 2 a(X)yy'\\ 0 & y'(Y) \end{bmatrix} $$
La deformazione deve essere isocora, quindi \(\det \mathbf {F} =1\)
$$ \bigl[a'(X) y^{2}(Y)+1 \bigr]y'(Y)=1 $$
(1.74)
da cui \(y'\ne 0\). Separando le variabili ricaviamo
$$ a'(X)=c \qquad cy^{2}(Y)= \frac{1}{y'(Y)}-1 $$
(1.75)
con \(c\) costante. Se \(c=0\), integrando la prima equazione, \(a(X)\) è costante e per la condizione (1.73), \(a(X)\equiv 0\). Risulta dunque da (1.72) che \(x=X\). La seconda equazione di (1.75) si riduce per \(c=0\) a \(y'(Y)=1\), che integrata, con la condizione \(y(0)=0\), ha per soluzione \(y=Y\). Concludendo, se \(c=0\) risulta \(x=X\) e \(y=Y\), ossia non c’è deformazione. Supporremo quindi \(c\ne0\).
Integrando la prima equazione di (1.75) otteniamo
$$ a(X)=cX+D $$
con D costante. Per la condizione (1.73) la costante \(D\) è nulla. In definitiva
$$ \left\{ \begin{aligned} x&=X\, \bigl[cy^{2}(Y)+1 \bigr] \\ y&=y(Y) \end{aligned} \right. $$
Affinché la deformazione sia invertibile è necessario che le parabole in cui si deformano le linee \(X=K>0\) abbiano concavità rivolta verso destra, cioè \(c>0\). Infatti se avessero concavità rivolta verso sinistra, le parabole del fascio intersecherebbero l’asse \(y\) e la deformazione non sarebbe invertibile. La funzione incognita \(y(Y)\) deve essere soluzione della seconda equazione di (1.75), con le condizioni \(y(0)=0\) e \(y'(0)=1\). Osserviamo che per (1.74) deve essere \(y'(Y)>0\), quindi \(y(Y)\) è una funzione strettamente crescente, inoltre
$$ \frac{1}{y'}-1=cy^{2}\ge0 \quad \Longrightarrow \quad 0< y'\le 1 $$
L’equazione differenziale (1.75) per \(y(Y)\) è una equazione a variabili separabili, la cui soluzione è espressa in forma implicita dall’equazione
$$ cy^{3}+3y-3Y=0 $$
La deformazione inversa è espressa da
$$ \left\{ \begin{aligned} X&=\frac{x}{cy^{2}+1} \\ Y&=\frac{1}{3} cy^{3}+y \end{aligned} \right. $$
Quindi in questo caso la deformazione inversa è esprimibile in forma esplicita, mentre la deformazione è espressa in forma implicita.

1.13

(Determinazione di una deformazione)

Determinare la deformazione finita, detta torsione semplice, che ruota intorno all’asse \(Z\) di un angolo proporzionale a \(Z\) ogni piano di equazione \(Z=\mathrm{cost.}\)

Svolgimento

Consideriamo un tensore che ruota attorno a \(Z\), di un angolo \(\alpha Z\), il generico piano normale all’asse
$$ \hat{ \mathbf {F} }= \begin{bmatrix} \cos{\alpha Z} & -\sin{\alpha Z} & 0\\ \sin{\alpha Z} & \cos{\alpha Z} & 0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} $$
Osserviamo che il tensore \(\hat{ \mathbf {F} }\), pur avendo la proprietà di ruotare ogni piano ortogonale a \(Z\) di un angolo proporzionale a \(Z\), non può rappresentare il gradiente della deformazione finita che cerchiamo. Infatti \(\hat{ \mathbf {F} }\) lascia i vettori paralleli a \(Z\) invariati, mentre la torsione semplice di un cilindro di asse \(Z\) non può lasciare rettilinee e parallele all’asse le fibre dirette come le generatrici, perché i punti di tali fibre, che hanno coordinata \(Z\) diversa, ruotano ciascuno attorno a \(Z\) di un angolo diverso (questa deformazione è illustrata nella Fig. 1.21).
Fig. 1.21

Torsione semplice di un cilindro (\(L=2R\), \(L\alpha=\pi/6\))

Cerchiamo dunque una deformazione
$$ \left\{ \begin{aligned} x&=x(X,Y,Z) \\ y&=y(X,Y,Z) \\ z&=Z \end{aligned} \right. $$
con le funzioni \(x=x(X,Y,Z)\) e \(y=y(X,Y,Z)\) soluzione di
$$ \left\{ \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial X}&=\cos{\alpha Z} \\ \dfrac{\partial x}{\partial Y}&=-\sin{\alpha Z} \end{aligned} \right. \qquad \left\{ \begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial X}&=\sin{\alpha Z} \\ \dfrac{\partial y}{\partial Y}&=\cos{\alpha Z} \end{aligned} \right. $$
(1.76)
rispettivamente.
È facile verificare che la soluzione del primo sistema di (1.76) è
$$ x(X,Y,Z)=X\cos{\alpha Z}-Y\sin{\alpha Z}+ g(Z) $$
con \(g(Z)\) funzione arbitraria. La richiesta che l’asse \(Z\) rimanga invariato nella deformazione si traduce, per la funzione \(x\), nella condizione \(x(0,0,Z)=0\), quindi \(g(Z)=0\).
In definitiva
$$ x(X,Y,Z)=X\cos{\alpha Z}-Y\sin{\alpha Z} $$
e quindi
$$ \frac{\partial x}{\partial Z}=-\alpha X\sin{\alpha Z}-\alpha Y\cos{\alpha Z} $$
Ragionando in modo analogo per la funzione \(y\) otteniamo
$$ y(X,Y,Z)=X\sin{\alpha Z}+Y\cos{\alpha Z} $$
e quindi
$$ \frac{\partial y}{\partial Z}=\alpha X\cos{\alpha Z}-\alpha Y\sin{\alpha Z} $$
In definitiva il gradiente di deformazione è
$$ \mathbf {F} = \begin{bmatrix} \cos{\alpha Z} & -\sin{\alpha Z} & -\alpha (X\sin{\alpha Z}+ Y\cos{\alpha Z})\\ \sin{\alpha Z} & \cos{\alpha Z} & \alpha (X\cos{\alpha Z}- Y\sin{\alpha Z})\\ 0&0&1 \end{bmatrix} $$

1.14

(Torsione semplice)

Un cilindro di equazione \(X^{2}+Y^{2}\le \bar{R}^{2}\), \(0\le Z\le L\), subisce una torsione semplice attorno all’asse \(Z\) descritta nell’Esercizio 1.13. Determinare nel generico punto del corpo \({\boldsymbol {p}} \) di coordinate cilindriche \((R,\,\Theta,\, Z)\), lo stiramento massimo e la sua direzione. Calcolare inoltre l’angolo di scorrimento tra il versore \(\mathbf {e} _{\Theta}=-\sin\Theta\, \mathbf {i} _{1}+ \cos \Theta\, \mathbf {i} _{2}\) e il versore \(\mathbf {i} _{3}\) dell’asse \(Z\).

Svolgimento

Per valutare gli stiramenti principali calcoliamo
$$ \mathbf {C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\alpha Y\\ 0 & 1 & \alpha X\\ -\alpha Y & \alpha X & 1+\alpha^{2}(X^{2}+Y^{2}) \end{bmatrix} $$
e i suoi autovalori, soluzioni dell’equazione
$$ (1-\lambda)^{3}+(1-\lambda)^{2}\alpha^{2}R^{2}-(1- \lambda)\alpha^{2}R^{2}= (1-\lambda)\bigl[(1- \lambda)^{2}-\lambda\alpha^{2}R^{2}\bigr]=0 $$
Oltre all’autovalore \(\lambda=1\), troviamo
$$ \lambda= 1+\frac{1}{2}\alpha R \bigl(\alpha R\pm \sqrt{4+ \alpha^{2} R^{2}} \bigr) $$
Quindi il massimo stiramento è la radice quadrata di
$$ \lambda_{\mathrm{max}}=1+\frac{1}{2}\alpha R \bigl(\alpha R+ \sqrt{4+\alpha^{2} R^{2}} \bigr) $$
La direzione di massimo stiramento è individuata dall’autovettore \(\mathbf {u} \) di \(\mathbf {C} \) corrispondente all’autovalore \(\lambda_{\mathrm{max}}\)
$$ \begin{aligned} \mathbf {u} &=-\alpha Y \mathbf {i} _{1}+ \alpha X \mathbf {i} _{2}+ \frac{1}{2}\alpha R \bigl(\alpha R+ \sqrt{4+ \alpha^{2} R^{2}} \bigr) \mathbf {i} _{3} \\ &=\alpha R \mathbf {e} _{\Theta}+ \frac{1}{2}\alpha R \bigl(\alpha R+ \sqrt{4+\alpha^{2} R^{2}} \bigr) \mathbf {i} _{3} \end{aligned} $$
(1.77)
In una torsione semplice il tensore \(\mathbf {F} \) trasforma il versore \(\mathbf {i} _{3}\) applicato nel punto generico \({\boldsymbol {p}} \) del corpo di coordinate cartesiane \(X=R\cos\Theta\), \(Y=R\sin\Theta\), \(Z\) in
$$ \mathbf {F} \mathbf {i} _{3}=-\alpha R\sin(\Theta+\alpha Z) \mathbf {i} _{1}+ \alpha R \cos(\Theta+\alpha Z) \mathbf {i} _{2}+ \mathbf {i} _{3} $$
mentre ruota il versore \(\mathbf {e} _{\Theta}\) appartenente ad un piano normale a \(Z\) di un angolo \(\alpha Z\)
$$ \mathbf {F} \mathbf {e} _{\Theta}=-\sin (\Theta+\alpha Z) \mathbf {i} _{1}+\cos (\Theta+ \alpha Z) \mathbf {i} _{2} $$
quindi gli stiramenti secondo \(\mathbf {i} _{3}\) e \(\mathbf {e} _{\Theta}\) sono rispettivamente
$$ \delta( \mathbf {i} _{3})= \vert \mathbf {F} \mathbf {i} _{3} \vert =\sqrt{\alpha^{2} R^{2}+1} \qquad \delta( \mathbf {e} _{\Theta})= \vert \mathbf {F} \mathbf {e} _{\Theta} \vert =1 $$
(1.78)
La seconda equazione di (1.78) mostra che, come era atteso, non c’è stiramento secondo \(\mathbf {e} _{\Theta}\).
In definitiva lo scorrimento \(\gamma\) tra \(\mathbf {e} _{\Theta}\) e \(\mathbf {i} _{3}\) in \({\boldsymbol {p}} \)
$$ \sin\gamma=\frac{ \mathbf {F} \mathbf {e} _{\Theta}\cdot \mathbf {F} \mathbf {i} _{3}}{ \vert\mathbf{F}\mathbf{e}_{\Theta}\vert \, \vert \mathbf {F} \mathbf {i} _{3} \vert }= \frac{\alpha R}{\sqrt{\alpha^{2} R^{2}+1}} $$
(1.79)
Osserviamo che in tutti i punti di un cilindro \(X^{2}+Y^{2}=R^{2}\), con \(0\le R \le \bar{R}\), l’angolo di scorrimento tra \(\mathbf {e} _{\Theta}\) e \(\mathbf {i} _{3}\) è lo stesso. Inoltre, da un confronto tra (1.77) e (1.79) con (1.69) e (1.68), possiamo concludere che la torsione semplice di un cilindro si riduce localmente ad uno scorrimento semplice di \(\alpha R\) secondo \(\mathbf {e} _{\Theta}\).

1.15

(Calcolo della lunghezza)

Si dimostri che data una curva \(\boldsymbol{\gamma}(\sigma)\) in \({\mathcal {B}}_{\ast}\), con \(0\le \sigma\le \bar{\sigma}\), la lunghezza della curva deformata è
$$ l= \int_{0}^{\bar{\sigma}} \biggl\vert \mathbf {U} \bigl(\boldsymbol{ \gamma}(\sigma)\bigr) \frac{d \boldsymbol{\gamma}}{d \sigma} \biggr\vert d\sigma $$
(1.80)
Si applichi (1.80) per calcolare la lunghezza di una generatrice del cilindro dell’Esercizio 1.14 dopo la deformazione.

Svolgimento

La curva \(\boldsymbol{\gamma}(\sigma)\) in \(\mathbf {B} _{\ast}\) si deforma tramite \(\boldsymbol {\chi}\) nella curva \(\boldsymbol{\chi}(\boldsymbol{\gamma}(\sigma))\) di ℬ. La lunghezza della curva deformata
$$ l= \int_{0}^{\bar{\sigma}} \biggl\vert \frac{d}{d\sigma} \boldsymbol{\chi} \bigl(\boldsymbol{\gamma}(\sigma)\bigr) \biggr\vert d\sigma $$
(1.81)
ma
$$ \frac{d}{d\sigma}\boldsymbol{\chi}\bigl(\boldsymbol{\gamma}( \sigma)\bigr)= \mathbf {F} \bigl(\boldsymbol{\gamma}(\sigma)\bigr)\frac{d \boldsymbol{\gamma}}{d \sigma} $$
(1.82)
quindi sostituendo (1.82) in (1.81), tenendo conto della decomposizione polare di \(\mathbf {F} \) e che \(\mathbf {R} \) è un tensore che preserva le lunghezze, otteniamo il risultato richiesto
$$ l= \int_{0}^{\bar{\sigma}} \biggl\vert \mathbf {R} \bigl(\boldsymbol{ \gamma}(\sigma)\bigr) \mathbf {U} \bigl(\boldsymbol{\gamma}(\sigma)\bigr) \frac{d \boldsymbol{\gamma}}{d \sigma} \biggr\vert d\sigma= \int_{0}^{\bar{\sigma}} \biggl\vert \mathbf {U} \bigl(\boldsymbol{ \gamma}(\sigma)\bigr)\frac{d \boldsymbol{\gamma}}{d \sigma} \biggr\vert d\sigma $$
Applichiamo adesso (1.80) per calcolare la lunghezza di una generatrice del cilindro dell’Esercizio 1.14 dopo la deformazione. L’equazione parametrica di una generatrice in coordinate polari è \(r=R\), \(\theta=\bar{\Theta}\), \(z=Z\), con \(0\le Z\le L\).
$$ \begin{aligned} l&= \int_{0}^{L} \bigl\vert \mathbf {U} \bigl(\boldsymbol{ \gamma}(Z)\bigr) \mathbf {i} _{3} \bigr\vert dZ = \int_{0}^{L} \bigl\vert \mathbf {F} \bigl(\boldsymbol{ \gamma}(Z)\bigr) \mathbf {i} _{3} \bigr\vert dZ \\ &= \int_{0}^{L} \bigl\vert -\alpha R\sin(\bar{ \Theta}+\alpha Z) \mathbf {i} _{1}+ \alpha R\cos(\bar{\Theta}+\alpha Z) \mathbf {i} _{2}+ \mathbf {i} _{3} \bigr\vert dZ=\sqrt{1+R^{2} \alpha^{2}}L \end{aligned} $$

1.16

(Normali a superfici)

Data la deformazione di simple shear o scorrimento semplice nello spazio
$$ \left\{ \begin{aligned} x&=X+ \alpha Y \\ y&= Y \\ z&=Z \end{aligned} \right. $$
Calcolare la normale alla superficie materiale \(X=\text{cost}\), \(Y=\text{cost}\) e \(Z=\text{cost}\) nella configurazione deformata e come si deformano i vettori lungo gli assi coordinati, osservando se e quando coincidono.

Svolgimento

Partendo dall’osservazione che
$$ \mathbf {F} = \begin{bmatrix} 1 & \alpha & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} $$
e che
$$ \mathbf {F} ^{-T}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -\alpha & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} $$
le normali alle superfici che nella configurazione di riferimento sono parallele ai piani coordinati sono
$$ (1,-\alpha,0)\quad (0,1,0)\quad (0,0,1) $$
Invece i vettori unitari paralleli agli assi coordinati si deformano in
$$ (1,0,0)\quad (\alpha,1,0)\quad (0,0,1) $$

Quindi, per esempio, il vettore unitario lungo l’asse \(X\) e la normale al piano \(X=\text{cost}\), identici nella configurazione di riferimento, non lo sono in quella deformata. Cosa analoga vale per i vettori lungo l’asse \(Y\). I vettori lungo l’asse \(Z\) invece coincideranno anche dopo la deformazione.

1.17

(Deformazioni infinitesime)

In una deformazione infinitesima il campo di spostamento infinitesimo è descritto dalle equazioni
$$ u_{x}=\epsilon (y+z)^{2} \qquad u_{y}= -2\epsilon xy \qquad u_{z}= \epsilon (x -z)^{2} $$
dove \(\epsilon\) è un parametro di piccolezza. Calcolare il tensore di deformazione infinitesima \(\mathbf {E} \). Calcolare nel punto \((-1, 2, 0)\) il coefficiente di variazione volumetrica, le deformazioni longitudinali nella direzione dei versori della base \(\mathbf {i} _{h}\), gli angoli di scorrimento tra i versori della base, le direzioni principali di deformazione e le deformazioni principali.

Svolgimento

Calcoliamo il gradiente dello spostamento infinitesimo
$$ \operatorname {Grad} \mathbf {u} =\epsilon \begin{bmatrix} 0 & 2(y+z) & 2(y+z) \\ -2y & -2x & 0 \\ 2(x-z) & 0 & -2(x-z) \end{bmatrix} $$
la cui parte simmetrica è il tensore di deformazione infinitesima \(\mathbf {E} \)
$$ \mathbf {E} =\epsilon \begin{bmatrix} 0 & z & x+y \\ z & -2x & 0 \\ x+y & 0 & -2(x-z) \end{bmatrix} $$
Nel punto \((-1,2,0)\) abbiamo
$$ \mathbf {E} =\epsilon \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} $$
e quindi il coefficiente di variazione volumetrica è
$$ \frac{\delta V}{V}= \operatorname {tr} \mathbf {E} = 4\epsilon $$
le deformazioni longitudinali lungo i tre assi coordinati sono
$$ \varepsilon_{1}=\varepsilon( \mathbf {i} _{1})=0\qquad \varepsilon_{2}=\varepsilon( \mathbf {i} _{2})=2\epsilon \qquad \varepsilon_{3}=\varepsilon( \mathbf {i} _{3})=2\epsilon $$
gli angoli di scorrimento
$$ \gamma_{12}=\gamma ( \mathbf {i} _{1}, \mathbf {i} _{2})=0\qquad \gamma_{13}=\gamma ( \mathbf {i} _{1}, \mathbf {i} _{3})=2\epsilon\qquad \gamma_{23}=\gamma ( \mathbf {i} _{2}, \mathbf {i} _{3})=0 $$
Le deformazioni principali sono gli autovalori di \(\mathbf {E} \) che si trovano risolvendo l’equazione
$$ \det \begin{bmatrix} -\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2-\lambda \end{bmatrix}=0 $$
Quindi le deformazioni principali sono
$$ \bar{\varepsilon}_{1}=2 \qquad \bar{\varepsilon}_{2}=1+ \sqrt{2}\qquad \bar{\varepsilon}_{3}=1-\sqrt{2} $$
e le corrispondenti direzioni principali sono individuate dai vettori
$$ \mathbf {v} _{1}= \mathbf {i} _{2} \qquad \mathbf {v} _{2}= \mathbf {i} _{1}+(1+\sqrt{2}) \mathbf {i} _{3} \qquad \mathbf {v} _{3}= \mathbf {i} _{1}+(1-\sqrt{2}) \mathbf {i} _{3} $$

Copyright information

© Springer-Verlag Italia S.r.l., part of Springer Nature 2019

Authors and Affiliations

  • Sandra Forte
    • 1
  • Luigi Preziosi
    • 2
  • Maurizio Vianello
    • 1
  1. 1.Dipartimento di MatematicaPolitecnico di MilanoMilanoItalia
  2. 2.Dipartimento di Scienze MatematichePolitecnico di TorinoTorinoItalia

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