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Einleitung

  • Adalbert Duschek
Chapter

Zusammenfassung

Es ist sehr schwer und in einem strengen Sinn sogar wahrscheinlich ganz unmöglich, mit einigen Sätzen zu sagen, was Mathematik in ihrem Wesen eigentlich ist. Wenn in einem bekannten Lexikon Mathematik als „die Lehre von den Größen- und Raumbeziehungen“ erklärt wird, so ist das solange ein leeres Spiel mit Worten, als der Leser nicht schon gewisse Vorstellungen darüber hat, was eine Größe, was ein Raum ist und was man mit dem Wort „Beziehungen“ meint, und wenn man gar versucht, diese Begriffe scharf zu definieren, so kommt man bald in Schwierigkeiten, die kaum zu überwinden sind. Es bleibt schließlich kaum etwas anderes übrig, als sich auf den Standpunkt zu stellen, daß für die Mathematik gar nicht so sehr der Gegenstand selbst, sondern die Methode, die Art und Weise, wie der Mathematiker denkt und seine Schlüsse zieht, charakteristisch ist. Das führt auf Formulierungen wie die folgende: Mathematik treiben heißt, aus einem gegebenen System von scharf und eindeutig formulierten Aussagen, den Prämissen, mit Hilfe bestimmter, logisch einwandfreier Methoden andere Aussagen herzuleiten. Allerdings scheint mir, daß die Juristen ziemlich dasselbe tun; ihre Prämissen sind die von Parlament und Regierung erlassenen Gesetze und Verordnungen. Man wird aber kaum einmal Mathematik und Juristerei verwechseln, und das liegt wieder weniger an der Methode als am Gegenstand und dieser ist letzten Endes durch die Prämissen festgelegt, die gewisse, für den Gegenstand charakteristische Wörter enthalten. Charakteristisch für die mathematischen Prämissen ist das Auftreten des Zahlbegriffs in der Arithmetik, der Begriffe Punkt, Gerade, Ebene, Raum, der Länge einer Strecke, des Winkels zweier Geraden oder Ebenen in der Geometrie. Sie werden zugeben, daß dem Zahlbegriff, der ja mit den Längen und Winkeln auch in der Geometrie von wesentlicher Bedeutung wird, eine dominierende Rolle in der gesamten Mathematik zukommt.

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Literatur

  1. 1.
    Man vergleiche z. B., was HANS THIRRING in seinem „Homo Sapiens“ über den „Exaktheitsfimmel” der Mathematiker sagt (Band I, S. 186 f). Zweifellos war es vom didaktischen Standpunkt aus völlig falsch, wenn jener berühmte Mathematiker damals, als THIRRING sein erstes Semester an der Universität verbrachte, eine Vorlesung über Differential- und Integralrechnung ankündigte und dann ein Semester lang über die Grundlagen der Arithmetik sprach. Aber es ist leider in prinzipieller Hinsicht falsch, zu glauben, die Gültigkeit des kommutativen Gesetzes der Addition für irrationale Zahlen sei eine „Binsenwahrheit“. Es ist auch nicht so, wie THIRRING meint, daß einfach „die zu unbedenkliche Anwendung gewisser Operationen der höheren Mathematik in bestimmten Fällen zu falschen Ergebnissen führen kann”, sondern es ist leider so, daß noch zu Beginn des 19. Jahrhunderts die ganze Differential-und Integralrechnung völlig in der Luft hing, weil alles auf dem logisch völlig unhaltbaren Begriff der „unendlich kleinen Größen“ aufgebaut war. Der große Mathematiker LAGRANGE (vgl. die Fußnote zu § II, 2), gewiß ein einwandfreier Zeuge, sagte einmal, der Zustand der Mathematik sei wahrhaft beklagenswert, sie wimmle von Widersprüchen und wenn sie trotzdem zu so großen Erfolgen geführt habe, so liege das nur daran, daß Gott in seiner Allgüte es so gefügt habe, daß sich die Fehler gegenseitig aufheben. Ich werde versuchen, Ihnen im folgenden zu zeigen, nicht im Verlauf eines ganzen Semesters, sondern unter Beschränkung auf das Allerwichtigste, daß gerade die Klärung des Zahlbegriffs, vor allem des Begriffs der irrationalen Zahlen, der Zauberschlüssel ist, mit dem alle wesentlichen Schwierigkeiten der Analysis behoben werden können. Ein ganz erheblicher Teil der großen Fortschritte nicht nur der Mathematik, sondern auch der theoretischen Physik ist einzig und allein dem „Exaktheitsfimmel” der Mathematiker zu verdanken.Google Scholar
  2. 1.
    Man versteht unter Analysis jenen Teil der Mathematik, der sich auf den beiden fundamentalen Begriffen des Grenzwertes und der Funktion aufbaut. Beide werden im folgenden ausführlich diskutiert. Denjenigen von Ihnen, die sich näher über die hier nur sehr fragmentarisch angeschnittenen Grundlagenfragen informieren wollen, empfehle ich die beiden folgenden Bücher:Google Scholar
  3. F. WAISMANN, Einführung in das mathematische Denken (2. Auflage, Wien 1947), eine der besten „gemeinverständlichen“ Darstellungen.Google Scholar
  4. E. LANDAU, Grundlagen der Analysis (Leipzig 193o), für den angehenden Mathematiker bestimmt.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Wien 1956

Authors and Affiliations

  • Adalbert Duschek
    • 1
  1. 1.MathematikTechnischen HochschuleWienÖsterreich

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